Se sabe que la ecuación cuadrática sobre X (a-1)x^2 (2-3a)x 3=0

Se sabe que la ecuación cuadrática de una variable aproximadamente Cuando es un número real, esta ecuación siempre tiene dos raíces reales

(2) Si m, n (m

(3) Bajo la condición de que se establezca (2), la línea recta l se gira en sentido antihorario alrededor del punto A por un ángulo α (0°<α<90°) para obtener la línea recta l', l' cruza el eje y en el punto P para dibujar una línea paralela al eje x, y cruza la imagen de la inversa de arriba función proporcional y=k/x con el punto Q. Cuando el área del cuadrilátero APQO' es 9- 3 raíz 3/2, encuentra el ángulo El valor de α

(Cambié la condición 1 /m 1/n=3/4 a 4/3, de lo contrario el resultado será muy problemático!)

Solución: (1). 1)=9a?-24a 16=(3a-4)?≧0 es cierto para cualquier a, ∴Cuando a≠1 (si a=1, entonces la ecuación principal

ya no es cuadrática ecuación), esta ecuación siempre tiene dos raíces reales (es raíz múltiple cuando a=4/3.)

(2).1/m 1/n=(m n)/mn=[- (2-3a)/(a-1)]/[3/(a-1)]=(3a-2)/3=a-(2/3) =4/3, entonces a=2/3 4 /3=2

Debido a que m y n son las raíces de la ecuación, entonces m n=-(2-3a)/(a-1), mn =3/(a-1), entonces la Se obtiene la fórmula anterior.

Sustituye el valor de a en la ecuación original y simplifica: x?-4x 3=(x-1)(x-3)=0, entonces m=1, n=3.

Entonces línea recta L: punto de intersección A (-3, 0) entre y=x 3 y el eje x, punto de intersección B (0, 3) con el eje y suponemos que el origen de las coordenadas; es simétrica respecto a L

Las coordenadas del punto O′ son (p, q), entonces el punto medio de OO′ (p/2, q/2) está en la recta L, entonces q/2 =(p/2) 3,

Simplifica para obtener q=p 6.............(1) y OO′⊥L (las pendientes de los dos); se convierten en recíprocos negativos), ∴q/p=-1, Es decir, q=-p.........(2)

(1)(2) Resolver simultáneamente: -p =p 6, entonces p=-3, q =3;

El punto O′ (-3, 3) está en la función proporcional inversa y=k/x, por lo que sustituyendo sus coordenadas en k=pq =-9; luego obtenemos la función proporcional inversa: y=- 9/x

(3) El ángulo de inclinación de la recta L es de 45° después de girarla en sentido contrario a las agujas del reloj alrededor del punto A en un ángulo agudo. α, el ángulo de inclinación de la recta L′ es 45° α Por lo tanto, la pendiente de L′ es tan(45° α), su ecuación es y=[tan(45° α)](x 3), y la la coordenada de su punto de intersección P con el eje y es (0, 3tan(45° α));

Sustituyendo y=3tan(45° α) en la ecuación de la función proporcional inversa, obtenemos x= -9/[3tan(45° α)]=-3cot(45° α), entonces las coordenadas de la intersección Q son

(-3cot(45° α), 3tan(45° α) ); entonces las coordenadas de cada vértice del cuadrilátero APQO′ son las siguientes:

A(-3, 0); P(0, 3tan (45° α)); ° α), 3tan(45° α)); O′(-3, 3); más un poco de B(0, 3).

Por lo tanto, el área S del cuadrilátero APQO′=el área S del trapezoide BPQO′? el área S? del cuadrado AOBO′-el área S de △AOP;

donde S?=(1/2)[3cot( 45° α) 3 )[3tan(45° α)-3]=(9/2)[(cuna(45° α) 1]/[tan(45° α)-1]

=(9/2 )[1 tan(45° α)-cot(45° α)-1]=(9/2)[(1 tanα)/(1-tanα)-(1-tanα)/(1 tanα)]

=18tanα/(1-tan?α)

S?=3×3=9; S?=(1/2)×3×3tan(45 ° α)=( 9/2)tan(45° α)=(9/2)[(1 tanα)/(1-tanα)]

Entonces obtenemos una ecuación: 18tanα/(1 -tan?α) 9-(9/2)[(1 tanα)/(1-tanα)]=9-3√3/2

Es decir, 18tanα/(1-tan?α) -(9/ 2)[(1 tanα)/(1-tanα)]=-3√3/2

36tanα-9(1 tanα)?=-3(√3)(1- tan?α)

Simplifica y obtiene (9 3√3)tan?α-18tanα 9-3√3=0

Entonces tanα={18-√[(324 -4(9 3) √3)(9-3√3)]}/[2(9 3√3)]=[18-√(324-216)]/[2(9 3√3)]

=(18-√108)/[2(9 3√3)]=(18-6√3)/[2(9 3√3)]=(3-√3)(3 √ 3)=(1 -√3/3)/(1 √3/3)=tan(45°-30°)

=tan15°, es decir, α=15°

(Nota : no hay

Puede tomar un signo positivo, porque si toma un signo positivo, tanα=1, α=45°, en este momento, el eje L′⊥x no tiene intersección con el eje y, es decir, los cuatro lados forman un segmento de recta, ya no existe un cuadrilátero. )