Cómo abstraer las matemáticas en los exámenes de matemáticas de la escuela primaria
1. ¿Qué es el método abstracto matemático?
El método abstracto matemático es un método abstracto científico. Se basa en la consideración de problemas y el análisis de diversos hechos empíricos.
Observar, analizar, sintetizar y comparar, dejar de lado el fenómeno, la exterioridad y la contingencia de las cosas en la mente de las personas, extraer la esencia, la interioridad y la inevitabilidad de las cosas, y revelarlas desde la forma espacial y relación cuantitativa La naturaleza y las leyes de las cosas objetivas, o extraer uno de sus atributos como un nuevo objeto matemático basado en el conocimiento matemático existente, para lograr el propósito de comprender la naturaleza y las leyes de las cosas. Por ejemplo, el concepto de "punto" en geometría se abstrae de cosas concretas como puntos de agua, gotas de lluvia, puntos de inicio y puntos finales en el mundo real. Abandona diversas propiedades físicas y químicas de las cosas, independientemente de su tamaño, y sólo conserva las propiedades de su posición.
2. Características básicas de la abstracción matemática
La abstracción matemática tiene tres características básicas:
1. En la abstracción matemática, todos los demás atributos de los objetos objetivos son Descartar y mantenga solo el atributo de cantidad. Se mide aquí.
Con el desarrollo de la práctica humana, el concepto se vuelve cada vez más rico en contenido. La llamada cantidad en las matemáticas clásicas generalmente se refiere a los dos significados básicos de "forma" y "número", mientras que la cantidad en las matemáticas modernas generalmente se refiere al sistema de estructura de relaciones matemáticas.
2. La abstracción matemática es una actividad constructiva, es decir, "construir" objetos matemáticos correspondientes con la ayuda de definiciones claras.
Se denomina "construcción lógica" de objetos matemáticos. Sólo a través de este tipo de construcción lógica se pueden transformar los objetos matemáticos de las actividades de pensamiento interno a una existencia independiente "externa", y las conclusiones matemáticas correspondientes pueden deshacerse de la "individualidad" necesaria para las actividades de pensamiento y obtener la "individualidad" necesaria para el conocimiento científico. .universalidad". Por ejemplo, el concepto de verticalidad puede tener diferentes imágenes mentales para diferentes personas, pero las matemáticas estudian las conclusiones lógicas que se pueden deducir de la definición de este concepto, por lo que este es un conocimiento objetivo.
3. La abstracción matemática tiene niveles ricos. Puede abstraerse de cosas objetivas del mundo real o de números existentes.
Resumen Basada en el aprendizaje de conocimientos, su nivel de abstracción supera con creces la abstracción general de otras ciencias. Una característica importante del desarrollo de las matemáticas modernas es que sus objetos de investigación se han expandido desde las relaciones y formas intuitivas de las cantidades hasta las posibles relaciones y formas de las cantidades. Esto demuestra el especial apogeo de la abstracción matemática. Estos conceptos altamente abstractos están muy alejados del mundo real y a menudo se los denomina "imaginación libre y creación mental".
En tercer lugar, tipos de abstracción matemática
Los métodos comunes de abstracción matemática incluyen la abstracción idealizada, la abstracción equivalente, la abstracción fuerte y la abstracción débil. Las descripciones específicas son las siguientes:
1. Abstracción idealizada
La abstracción idealizada es un tipo especial de abstracción matemática que simplifica y mejora cosas o fenómenos objetivos en términos de cantidad.
El procesamiento de la bondad abstrae las propiedades y relaciones cuantitativas que son necesariamente inherentes a las cosas o fenómenos objetivos en su realidad real, y refiere las características cuantitativas que, en principio, no pueden pertenecer a sus imágenes originales reales, a la connotación. del concepto. Por ejemplo, la introducción de conceptos básicos como puntos, líneas y superficies en geometría es el resultado de la idealización y la abstracción.
Los conceptos matemáticos obtenidos a través de abstracciones idealizadas pueden no ser consistentes con los prototipos. Por ejemplo, en el mundo real es imposible encontrar un punto sin tamaño, una línea sin espesor o una superficie sin espesor. Y estos conceptos matemáticos de puntos, líneas y superficies reflejan las propiedades de las cosas objetivas de manera más profunda, más correcta y más completa, por lo que no están lejos de las cosas, sino más cerca de ellas. Se puede ver que la abstracción idealizada es la unidad dialéctica de la forma abstracta subjetiva y el contenido objetivo concreto. Este enfoque no sólo es importante para los conceptos matemáticos, sino también esencial para construir modelos matemáticos. Euler utilizó métodos de idealización y abstracción para transformar el problema de los siete puentes de Königsberg en un modelo matemático del problema de un golpe.
Los resultados de la idealización y la abstracción muestran diversas formas estructurales en matemáticas, incluyendo tanto expresiones gráficas como analíticas, tanto matemáticas concretas como sistemas de símbolos abstractos generales.
2. Abstracción equivalente
La abstracción equivalente consiste en utilizar la relación de equivalencia para dividir un conjunto conocido y luego "identificar" los elementos equivalentes en él.
Y una forma de conseguir nuevos escenarios. Su significado específico es que si una relación binaria en el conjunto satisface las siguientes tres condiciones:
(1) La reflexividad está relacionada con cualquier suma, es decir;
(2) Si la simetría es, entonces, donde;
(3) Transitividad Si,, entonces, donde,
Se llama relación de equivalencia on. Se puede observar que la división resultante la convierte en la unión de varias "clases de equivalencia". Los elementos equivalentes están en la misma clase de equivalencia y los elementos no equivalentes están en diferentes clases de equivalencia. Entonces, los elementos en la misma clase de equivalencia son "idénticos", es decir, los elementos equivalentes se consideran lo mismo en un sentido abstracto. De esta manera, una clase de equivalencia condensa visualmente un nuevo elemento abstracto. Todos estos elementos forman un nuevo conjunto, el conjunto de cocientes sobre . El proceso de a es el proceso de abstracción equivalente. Por ejemplo, en teoría elemental de números, si la suma de números enteros es divisible y tiene el mismo resto, se dice que la suma es congruencia modular, denotada por. Obviamente, la relación de congruencia es una relación de equivalencia basada en el sistema de números enteros. Como otro ejemplo, los números racionales pueden verse como la clase de equivalencia de pares de números enteros.
El método de abstracción equivalente es uno de los métodos comunes basados en el nuevo sistema matemático y se utiliza ampliamente en la investigación matemática. Muchos conceptos importantes en matemáticas se derivan de esto y este método a menudo puede desempeñar un papel en la resolución de problemas.
3. Abstracción fuerte
La abstracción fuerte también se denomina abstracción estructurada mejorada. Se refiere a fortalecer la estructura original mediante la introducción de nuevas características para completar la abstracción.
La nueva estructura resultante es un caso especial de la estructura original. En otras palabras, la abstracción fuerte es un método abstracto que construye nuevos conceptos ampliando la connotación de los conceptos originales. Por ejemplo, basándose en el concepto de cualquier triángulo, si se refuerzan las restricciones de atributos de "lados" y dos lados son iguales o tres lados son iguales, se obtendrán dos nuevos conceptos de triángulo isósceles o triángulo equilátero si las restricciones sobre el; Los atributos de "ángulos" se fortalecen, por ejemplo, si se requiere que un ángulo sea recto, a través de una abstracción tan fuerte, se puede obtener el concepto de triángulo rectángulo. Para poner otro ejemplo, introducir el concepto de continuidad en el concepto de función constituye el concepto de función continua.
4. Abstracción débil
Si es abstracta, también se le llama abstracción extendida del concepto. Se refiere a seleccionar una característica del prototipo y debilitar las limitaciones de esta característica.
Abstracto, obteniendo así un proceso estructural más amplio que la estructura original. Los prototipos son un caso especial de abstracción débil. La abstracción débil es un método de abstracción matemática que crea nuevos conceptos reduciendo la connotación de los conceptos originales. Por ejemplo, la congruencia tiene las propiedades de áreas iguales y formas similares. Si partimos de este concepto, podemos debilitar la restricción de "áreas iguales", conservar las propiedades de "formas similares" y utilizar un método de abstracción débil para obtener el concepto de formas similares.
En términos generales, si algunas cosas y objetos concretos e intuitivos que las personas reconocen por primera vez tienen una estructura de contenido muy rica, entonces podemos utilizar un método de abstracción débil para introducir nuevos conceptos.
En términos generales, si la gente sabe que la estructura del contenido de las cosas y los objetos es pobre o no lo suficientemente rica, entonces podemos utilizar métodos de abstracción sólidos para introducir nuevos conceptos. Por supuesto, también se puede utilizar para analizar la estructura jerárquica de los conceptos matemáticos y comprender la relación entre el conocimiento matemático basándose en las características completamente opuestas del pensamiento abstracto débil. Por ejemplo, en un cuadrilátero, al agregar la condición de que "dos pares de pares son paralelos respectivamente", el concepto de paralelogramo se puede obtener mediante una abstracción fuerte eliminando la restricción de "dos pares de lados opuestos son paralelos" en el; concepto de paralelogramo, se puede obtener un cuadrilátero utilizando un concepto de abstracción débil. Se puede ver que el concepto de paralelogramo en geometría elemental ocupa una posición particularmente importante entre varios conceptos de cuadriláteros: no es solo el resultado de una fuerte abstracción de cuadriláteros y trapecios arbitrarios, sino también el punto de partida de otros conceptos como rectángulo, rombo. , cuadrado, etc. También es el punto de partida de abstracciones débiles como trapecios y cuadriláteros.