Análisis especial de los problemas de viajes en las Olimpiadas de escuelas primarias
1 Trazo simple: distancia = velocidad × tiempo
. 2. Problema de encuentro: suma de distancia = suma de velocidad × tiempo
3 Problema de persecución: diferencia de distancia = diferencia de velocidad × tiempo
Mantenga una comprensión firme de estas tres cantidades y sus tres relaciones. Descubrirás que hay muchas formas de solucionar los problemas de viaje.
Por ejemplo, el "problema de viaje de varias personas" es en realidad el "problema de viaje de tres personas" más común.
Existe un problema verbal: "Un automóvil viaja desde A a B a una velocidad de 48 Kilómetros, ¿cuántos kilómetros hay entre A y B en 5 horas? "Creo que los estudiantes pueden resolver rápidamente el problema, que es 48 × 5 = 24O (km), por lo que la distancia entre A y B es 24o km. Sin embargo, cuando nos enfrentamos a problemas de viaje más complejos, a menudo sentimos que no sabemos por dónde empezar. De hecho, siempre que se trate de una pregunta sobre viajes, por complicada que sea, se puede responder de acuerdo con la relación cuantitativa básica de "distancia = velocidad × tiempo". Respondamos algunas preguntas juntos.
Ejemplo: Dos coches parten de direcciones opuestas A y B al mismo tiempo. El auto A viajaba a 48 kilómetros por hora y el auto B viajaba a 50 kilómetros por hora. Se encontraron cinco horas después. Encuentra la distancia entre a y b.
Análisis: Encuentra la distancia entre dos lugares, es decir, la distancia original entre los dos autos, es decir, encuentra la suma de la distancia recorrida por los dos autos en cinco horas. De acuerdo con "distancia = velocidad × tiempo", primero podemos calcular cuántos kilómetros por hora viajan los dos autos uno tras otro, y luego multiplicar por el tiempo de encuentro para obtener el número de kilómetros entre los dos lugares.
(48 5o) × 5 = 490 kilómetros
A: La distancia entre A y B es 490 kilómetros.
Ahora haremos ejercicios adaptados basados en este tema.
1. Cambie la condición original "Nos encontramos en 5 horas" a "En 5 horas, todavía queda una distancia de 15 kilómetros", y el problema permanece sin cambios.
Podemos analizarlo basándonos en la pregunta original. La diferencia es que los dos coches aquí no se encontraron y todavía estaban a 15 kilómetros de distancia. De esta forma, la distancia entre ambos lugares no es solo la suma de la distancia recorrida por los dos autos en 5 horas, sino también los 15 kilómetros que no fueron recorridos. Puedes responder esto.
(48 5O)×5 15
=49O 15
= =5O5 (km)
A: entre A y B La distancia entre ellos es de 5O5km.
2. Modificar el original "Dos vehículos salen de direcciones opuestas de A y B al mismo tiempo" por "Dos vehículos A y B salen de direcciones opuestas de A y B respectivamente, y un vehículo. sale con 1 hora de antelación." , otras condiciones y cuestiones permanecen sin cambios.
Análisis: La idea de resolver este problema es la misma que la original, la diferencia es que los dos autos originales partieron de dos lugares al mismo tiempo. ". La distancia entre A y B es la suma de la distancia recorrida por los autos A y B. De esta manera, la distancia recorrida por el automóvil A y el automóvil B se puede determinar completamente y luego se pueden combinar las dos partes. La ecuación es,
48× (1 5) = 288 kilómetros
5o× 5 = 25o (km)
288 25o = 538 kilómetros
También puedes calcular la suma de las distancias recorridas por el auto A y el auto B en 5 horas, más la distancia recorrida por el auto A en 1 hora. La fórmula es,
(48 5 grados) × 5 = 49 grados (km)
49O 48 = 538 kilómetros
A: entre A y B La La distancia es de 538 kilómetros.
En este punto, hemos adaptado la pregunta original dos veces. El problema original comenzó en dos lugares al mismo tiempo y finalmente se encontró. Después de la primera adaptación, se convirtió en un problema de aplicación comenzar desde dos lugares al mismo tiempo y al final no encontrarse. Después de la segunda adaptación, se convirtió en un problema verbal que partía de dos lugares al mismo tiempo y finalmente se encontraba. Pero no importa cómo cambie, no hemos dejado la relación cuantitativa más básica "distancia = velocidad × tiempo" para pensar y responder. Se puede decir que "comienza desde sus antepasados y nunca cambia".
3. El problema original fue adaptado por tercera vez, convirtiéndolo en un problema verbal sobre movimiento mutuo que no es "simultáneo" ni encuentro.
Dos coches parten de A y B respectivamente y van en direcciones opuestas. Tres horas después, el automóvil A sale de B y cinco horas después, la distancia entre los dos automóviles es de 15 kilómetros. El auto A viaja a 48 kilómetros por hora y el auto B viaja a 50 kilómetros por hora. ¿Cuántos kilómetros hay entre A y B?
Con base en el análisis de las preguntas anteriores, las respuestas se enumeran de la siguiente manera:
(48 5 grados) × 5 = 49 grados (km)
49O 48 15 = 553 kilómetros
A: La distancia entre A y B es 553 kilómetros.
Este problema se ha solucionado. Creo que eres lo suficientemente inteligente como para contarles a tus compañeros la solución.
Ejemplo 1 Dos personas, A y B, partieron de dos lugares separados por 30 kilómetros y caminaron uno hacia el otro al mismo tiempo. A caminó a 6 kilómetros por hora y B caminó a 4 kilómetros por hora. P: ¿Cuántas horas se reunieron?
El análisis muestra que la distancia entre el Partido A y el Partido B es de 30 kilómetros, y la distancia entre el Partido A y el Partido B se acortará en 6 4 = 10 kilómetros por hora, que es la suma de las dos velocidades (denominada suma de velocidades), entonces, ¿cuántos 10 en 30 kilómetros se encontrarían kilómetros en unas pocas horas?
Solución: 30 ÷ (6 4)
=30÷10
= 3 horas
Se reunieron tres horas después.
El ejemplo 1 es un problema de encuentro típico. Existe una relación cuantitativa básica en el problema del encuentro:
Distancia = velocidad y x tiempo.
Ejemplo 2: Un tren de mercancías circula del punto A al punto B a las 6:00 de la mañana, con una velocidad media de 45 kilómetros por hora. Cierto tren de pasajeros parte de B a A con una velocidad promedio de 15 kilómetros por hora. Como todos sabemos, los autobuses de pasajeros circulan dos horas más tarde que los camiones. Al mediodía 65, 438 02, los dos trenes pasaron al mismo tiempo por una estación en el camino y luego continuaron avanzando. Pregunta: Cuando el tren de pasajeros llega a A, ¿a cuántos kilómetros se encuentra el tren de carga de B?
El análisis muestra que la velocidad del camión es de 45 kilómetros por hora y el automóvil de pasajeros es 15 kilómetros más rápido que el camión, por lo que la velocidad del automóvil de pasajeros es (45 15) kilómetros por hora. Cuando los dos autos se encuentran a las 12 del mediodía, el camión ha estado funcionando durante (12-6) horas y el automóvil de pasajeros ha estado funcionando durante (12-6-2) horas. De esta manera, la distancia entre A y B puede ser. encontró. Finalmente, cuando el taller de autobuses ha llegado completamente a A, se puede encontrar la distancia entre el camión y B.
Solución: ①La distancia entre A y B es:
45×(12—6) (45 15)×(12—6—2)
=45×6 60×4
= 510(km).
(2) El tiempo necesario para que el autobús complete el recorrido es:
510÷(45 15)
=510÷60
= 8,5 horas.
(3) Cuando el autobús llega a la ubicación a, la distancia entre el camión y la ubicación B:
510—45×(8.5 2)
= 510-472,5
= 37,5 (km).
Respuesta: Cuando el autobús llega a A, el camión todavía está a 37,5 kilómetros de B.
Ejemplo 3 Dos trenes viajan en direcciones opuestas. El automóvil A viaja a una velocidad de 36 kilómetros por hora y el automóvil B viaja a una velocidad de 54 kilómetros por hora. Cuando dos trenes están en la vía equivocada, un pasajero en el vagón A descubre que tarda 65,438 04 segundos en pasar desde la parte delantera del vagón B a través de su ventana hasta la parte trasera del vagón B a través de su ventana, así que encuentre la longitud del vagón B.
El análisis debe primero unificar las unidades: la velocidad del carro A es 36000÷3600 = 10 (metros) segundos, y la velocidad del carro B es 54000÷3600 = 15 (metros) segundos. En esta pregunta, el movimiento del automóvil A en realidad puede considerarse como si el número de pasajeros en el automóvil A fuera 65438 por segundo.
Sólo necesitamos estudiar el siguiente proceso de movimiento: a partir del momento en que la parte delantera del automóvil B pasa por la ventana del pasajero de A, la parte delantera del automóvil B y el pasajero de A comienzan a moverse en la dirección opuesta durante 14 segundos, y la distancia entre la parte delantera del automóvil B y el pasajero de A aumenta cada segundo (10 15) metros, por lo que al final de 14 segundos, la distancia entre la parte delantera del automóvil y los pasajeros es (10 15) × 14 = 350 (m), y dado que la parte trasera del automóvil es lo último que ven los pasajeros, la suma de las distancias recorridas por la parte delantera del automóvil y los pasajeros debe ser exactamente igual a la longitud de la carrocería del automóvil, es decir, la longitud del automóvil es igual a la longitud de la carrocería.
Solución: (10 15) × 14
= 350 metros
Respuesta: La longitud del vagón B es 350 metros.
También podemos llamar al ejemplo 3 un problema de movimiento de oposición. Para el problema de la oposición, la relación básica del problema del encuentro sigue siendo válida.
Ejemplo 4 Dos vehículos A y B parten de A y B al mismo tiempo, viajan uno hacia el otro y se encuentran por primera vez a 64 kilómetros de B. Después de encontrarse, los dos vehículos continúan conduciendo. a la velocidad original Después de llegar al punto de partida del otro, inmediatamente vuelva sobre sus pasos. En el camino, los dos coches se encontraron por segunda vez a una distancia de 48 kilómetros. ¿Cuántos kilómetros hay entre los dos puntos de encuentro?
El análisis muestra que cuando dos automóviles, A y B, * * *, completaron juntos un viaje AB, el automóvil B recorrió 64 kilómetros. Como puedes ver en la imagen de arriba, cuando se encontraron por segunda vez, * * * hicieron tres viajes AB. Por lo tanto, podemos entender que el auto B * * * recorrió tres 64 kilómetros. Como se puede ver en la imagen de arriba, después de restar 48 kilómetros, es exactamente igual a un viaje AB.
Solución: ①La distancia entre AB es
64×3-48
=192-48
= 144 (km).
(2) La distancia entre las dos intersecciones es
144-48-64
= 32 (km).
Respuesta: La distancia entre los dos puntos de encuentro es de 32 kilómetros.
Ejemplo 5 Dos personas, A y B, parten de A y B, que están a 100 kilómetros de distancia, y caminan hacia la otra al mismo tiempo. Durante la caminata, el auto de A se averió y tomó una hora repararlo. Cuatro horas después de partir, A y B se encontraron y descubrieron que el auto de A iba dos veces más rápido que B. El auto de A había sido reparado cuando se encontraron.
El análisis muestra que la velocidad de A es el doble que la de B. Por lo tanto, si B viaja durante 4 horas, A solo necesita 2 horas. Por lo tanto, el tiempo necesario para que A recorra 100 kilómetros es (4-. 1 4 ÷ 2 ) = 5 horas. Por tanto, se puede calcular la velocidad de A.
Solución: La velocidad de A es:
100÷(4-1 4÷2)
= 10o ÷ 5 = 20 (km/h) .
La velocidad de B es: 20 ÷ 2 = 10 (km/h).
Respuesta: La velocidad de A es de 20 kilómetros/hora, la velocidad de B es de 10 kilómetros/hora.
Ejemplo 6 Un tren tarda 25 segundos en pasar por una vía de 250 metros de largo. túnel, y se necesitan 210 metros para pasar. El túnel largo tarda 23 segundos. Si un tren se encuentra con otro tren que tiene 150 metros de largo y viaja a 72 kilómetros por hora, ¿cuántos segundos tardará el tren en cruzar la línea por error?
Para analizar y solucionar este tipo de problemas de aplicación, primero debemos aclarar varios conceptos: El paso de un tren por un túnel se refiere al tiempo que transcurre desde que el tren entra en el túnel hasta el final del mismo. Tren saliendo del túnel. Por lo tanto, la distancia recorrida por el tren durante este proceso es igual a la longitud del tren más la longitud del túnel cuando dos trenes se encuentran, el paso incorrecto del tren se refiere al tiempo desde que se encuentran los frentes de los dos trenes hasta que se cruzan; Las partes traseras de los dos trenes se separan. En realidad, este proceso consiste en moverse en direcciones inversas desde la intersección inicial, siendo la suma de las distancias recorridas por los dos trenes durante este tiempo igual a la suma de sus longitudes. Entonces, el tiempo que se tarda en adelantar a un tren por error es igual a la suma de longitudes dividida por la suma de velocidades.
Un tren tarda 25 segundos en pasar por un túnel de 250 metros, y 23 segundos en pasar por un túnel de 210 metros, por lo que cuando el tren recorre (250-210) metros, tarda ( 25-23) segundos. A partir de esto, la velocidad del tren es (250-210).
Solución: Según otro tren, su velocidad es de 72 kilómetros por hora, por lo que su velocidad es:
72000 ÷ 3600 = 20 (m/s),
La velocidad del tren es:
(25o-210) ÷ (25-23) = 40 ÷ 2 = 20 (m/s)
La longitud del tren es:
p>20× 25-250 = 500-250 = 250 (metros),
La hora de salida de estos dos trenes es:
( 250 150)÷(20 20)= 400÷40 = 10(segundos).
Respuesta: El número de tren equivocado es de 10 segundos.
Ejemplo 7 Tres vehículos A, B y C parten del lugar A al lugar B al mismo tiempo. Las velocidades de los dos vehículos son de 60 kilómetros por hora y 48 kilómetros por hora respectivamente. Un camión que viene en sentido contrario se encuentra con estos tres vehículos 5 horas, 6 horas y 8 horas después de su partida.
El análisis muestra que el coche A es 60-48 = 12 (km) más rápido que el coche B por hora. Después de 5 horas, el auto A recorrerá 12 car_encounter=65433.
Después de que el camión se encuentra con A, tarda 8-5 = 3 (horas) en encontrarse con C. En este momento, C ha estado caminando durante 8 horas. Por lo tanto, la suma de la distancia recorrida por el camión en 3 horas y la distancia recorrida por C en 8 horas es igual a la distancia recorrida por A en 5 horas. Por tanto, también se puede obtener la velocidad de C, que debería ser: (60× 5-12× 3).
Solución: La velocidad del camión:
(60-48) × 5 ÷ (6-5)-48 = 12 (km/h),
La velocidad del vagón C:
(60× 5-12× 3) ÷ 8 = 33 (km/h),
a: La velocidad del tren C es 33 kilómetros por hora.
Nota: En esta lección, "metros/segundo" y "km/h" son unidades de velocidad. Por ejemplo, 5 metros/segundo significa caminar 5 metros por segundo.