¿Cuál es la imagen de una función de potencia?

Imagen y=√x, donde x≥0, y≥0

Una función en la forma y=x^a (a es una constante), es decir, la la base es la potencia de la variable independiente. Una función cuya variable dependiente es un exponente constante se llama función potencia.

Dominio y rango de valores: Cuando a es de diferentes valores, los diferentes casos del dominio de la función potencia son los siguientes: si a es cualquier número real, entonces el dominio de la función son todos los números reales mayores que 0, si a es un número negativo, entonces x no debe ser 0, pero en este momento también se debe determinar el dominio de la función en función de la paridad de q, es decir, si q es un número par al mismo tiempo; tiempo, x no puede ser menor que 0.

En este momento, el dominio de la función son todos los números reales mayores que 0; si q es un número impar, el dominio de la función son todos los números reales distintos de 0. Cuando x es un valor diferente, las diferentes situaciones del rango de la función potencia son las siguientes: cuando x es mayor que 0, el rango de la función es siempre un número real mayor que 0. Cuando x es menor que 0, solo si q es un número impar al mismo tiempo, el rango de valores de la función es un número real distinto de cero. Sólo cuando a es un número positivo, 0 entra en el rango de valores de la función

Información ampliada

Propiedades: Para que el valor de a sea un número racional distinto de cero, es Es necesario dividirlo en varios casos para discutir las características respectivas

En primer lugar, si a=p/q, q y p son números enteros, entonces x^(p/q)=qth raíz (x a la pésima potencia), si q es un número impar, el dominio de la función es R, si q es un número par, el dominio de la función es [0, ∞). Cuando el exponente n es un entero negativo, suponiendo que a=-k, entonces x=1/(x^k).

Obviamente x≠0, el dominio de la función es (-∞, 0)∪(0, ∞). Por lo tanto, podemos ver que las restricciones sobre x provienen de dos puntos. se puede usar como denominador. No puede ser 0. Primero, es posible que no pueda ser un número negativo bajo raíces pares. Entonces podemos saber:

Las dos posibilidades de ser 0 y números negativos. se eliminan, es decir, para xgt; 0, entonces a puede ser cualquier número real;

Se excluye la posibilidad de ser 0, es decir, para todos los números reales xlt;0 y xgt;0, q no puede ser un número par;

Se excluye que sea un número negativo. Esta posibilidad significa que para todos los números reales donde x es mayor e igual a 0, a no puede ser negativo.

Para resumir, podemos obtener que cuando a tiene valores diferentes, los diferentes dominios de definición de la función de potencia son los siguientes:

Si a es cualquier número real, entonces el dominio de la función son Todos los números reales mayores que 0;

Si a es un número negativo, x no debe ser 0, pero en este momento también se debe determinar el dominio de la función en función de la paridad de q , es decir, si q es un número par al mismo tiempo, entonces x no puede ser menor que 0, entonces el dominio de la función son todos los números reales mayores que 0, si q es un número impar al mismo tiempo, el dominio; de la función son todos los números reales distintos de 0.

Cuando x es mayor que 0, el rango de la función es siempre un número real mayor que 0.

Cuando x es menor que 0, solo si q es un número impar al mismo tiempo, el rango de valores de la función es un número real distinto de cero.

Sólo cuando a es un número positivo, 0 entra en el rango de valores de la función.

Dado que x es mayor que 0, es significativo para cualquier valor de a, por lo que las situaciones respectivas de la función de potencia en el primer cuadrante se dan a continuación.

Puedes ver:

(1) Todos los gráficos pasan por (1, 1).

(2) Cuando a es mayor que 0, la función de potencia es una función monótonamente creciente, y cuando a es menor que 0, la función de potencia es una función monótonamente decreciente.

(3) Cuando a es mayor que 1, la gráfica de la función de potencia es cóncava; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la gráfica de la función de potencia es convexa.

(4) Cuando a es menor que 0, cuanto más pequeño es a, mayor es la inclinación del gráfico.

(5) Si a es mayor que 0, la función pasa (0, 0); si a es menor que 0, la función no pasa (0, 0).

(6) Obviamente la función potencia es ilimitada.