Los logros matemáticos de Hassler Whitney
Teoría de grafos
Whitney estuvo interesado en el problema de los cuatro colores durante toda su vida. Sus primeros y últimos artículos matemáticos versaron sobre el problema de los cuatro colores. Dio proposiciones equivalentes al problema de los cuatro colores y estudió el problema de reducibilidad. A partir del problema de los cuatro colores, estudió la teoría general de grafos, especialmente las condiciones para que dos grafos sean homeomórficos: por ejemplo, G y G' son dos grafos conectados y ninguno contiene los arcos de ab, ac y ad. Dos gráficas son homeomórficas si existe una correspondencia uno a uno entre dos arcos con un vértice común y dos arcos con un vértice común de otra gráfica. Define la conectividad de los gráficos. Se dan las condiciones necesarias y suficientes para la n-reconexión (la llamada n-reconexión se refiere a un gráfico con al menos n 1 vértices, que no se puede desconectar eliminando n-1 o menos vértices y los arcos que los conectan. Si Si se reconecta el grafo Gn, pero no n 1, su conectividad es n). También definió el dual G' del gráfico G y demostró que el gráfico G puede desconectarse.
Su tesis doctoral versó sobre el problema de coloración de gráficas, en la que demostró y calculó la fórmula de M(λ), donde M(λ) es el número de métodos de coloración diferentes para una gráfica con λ colores. , introdujo un conjunto de números mij, que no solo se pueden usar para calcular M(λ), sino que también definen las invariantes topológicas del gráfico G;
donde r es el rango del gráfico G, n. es el grado cero de G. Usó estos invariantes para estudiar la clasificación de gráficos.
El mayor logro de Whitney en la teoría combinatoria fue la introducción de la teoría matroide, una teoría abstracta de correlación lineal. Incluye no sólo la teoría de grafos como caso especial, sino también la teoría de redes, la geometría sintética y la teoría transversal. Su punto de partida es simple. Considere las columnas C1, C2, ..., Cn de la matriz M. Un subconjunto de estas columnas es linealmente independiente o linealmente dependiente.
(1) Cualquier subconjunto de un conjunto independiente también es independiente
(2) Si Np y Np 1 son conjuntos independientes de columnas P y p 1, Np más Np 1 A; La columna en constituye un conjunto independiente de p 1.
Llamó matroide al sistema que satisface estas dos condiciones y extendió las propiedades de muchos gráficos a matroides.
Mapeo diferenciable y teoría de la singularidad
(1) Continuación analítica de funciones diferenciables La principal contribución de Whitney a la topología es el establecimiento de la topología diferencial. Por lo tanto, los mapeos continuos considerados en topología deben generalizarse a casos diferenciables. Whitney sentó las bases para esto en sus primeros trabajos (1932-1942).
En 1925, el matemático soviético улысон (uryson) demostró que si a es un conjunto cerrado (acotado o ilimitado) en el espacio euclidiano n-dimensional e y f(x) es una función continua definida en a, Entonces f puede extenderse al conjunto e. Si f(x) pertenece a Cm en a, entonces f y f son iguales en a, y la derivada de f de orden m es igual a la derivada de f. a es un subconjunto arbitrario Situación. En este momento, 1 se puede reducir en el conjunto abierto que contiene a. También estudió la diferenciabilidad del resto de la expansión de Taylor, que es muy importante para el estudio de la teoría de la singularidad.
(2) Teoría de la singularidad La teoría de la singularidad es una de las creaciones más importantes de Whitney. Se origina a partir de problemas de incrustación e inmersión diferenciales. La singularidad es una generalización del punto crítico. En 20942, estudió por primera vez la singularidad del mapeo diferencial F del espacio euclidiano N-dimensional En a E2n-1. Se descubre que si cambia ligeramente F, puede obtener f*. Su singularidad es una singularidad de arco, que se puede transformar en la forma estándar:
yi=xi(i=2,...,n),
ym i-1= xixi( i=2,…,n).
En 1955 clasificó por primera vez los tipos de singularidades en los planos E2 a E; el resultado fue que solo había dos tipos, uno era plegado y el otro era Cusp, y su estándar era.
A través de este artículo se creó la teoría de la singularidad.
En 1956, clasificó algunos casos de singularidades del mapa diferencial En→Em y obtuvo formas estándar, incluidas n≥m)=(4^2,3 y (n,m)=(4,4), (5, 5 ), (5, 4), (n, 2n-2. Poco conocido en ese momento. Este problema fundamental de la clasificación de singularidades, junto con otras cuestiones, se convirtió en un tema candente en la teoría de la singularidad. En el mismo año, R. Thorm hizo un gran avance utilizando su teoría transversal y su teoría del plegamiento universal, y esta investigación se convirtió en la base de su teoría de la catástrofe. Más tarde, J. Mather estableció la teoría de la estabilidad en la Unión Soviética en 1968-1971. La escuela soviética dirigida por el matemático B. ирнолъв. ha logrado logros brillantes en teoría y aplicación.
En 1948, también publicó "Sobre el ideal de dos funciones diferenciables", abriendo otro capítulo en la nueva dirección de la teoría de la singularidad. hizo grandes avances en esta área, incluida la demostración del "teorema preliminar"
(3) Teoría de grados La teoría de grados es la última teoría de Whitney, en cierto sentido, también es una continuación natural de la teoría de la singularidad. Los espacios y variedades euclidianas tienen buenas estructuras homogéneas (localmente tienen la misma estructura), pero esto no se cumple ni siquiera para las variedades algebraicas. En particular, existen singularidades en las variedades algebraicas reales heredadas de la geometría analítica. Variedades algebraicas reales, que analiza la descomposición de variedades en variedades. En 1957, Whitney introdujo el concepto de estratificación, que descompone variedades algebraicas y analíticas en capas, que luego desarrolló Tom en la teoría de conjuntos jerárquicos. cualquier conjunto semianalítico tiene una capa de Whitney. En 1965, Whitney definió corte para variedades analíticas. Se consideran los conceptos de vectores, familias de planos tangentes y conos tangentes, y se considera la coordinación de conjuntos tangentes. Topología popular diferencial
Aunque Poincaré e incluso Riemann han estudiado la topología diferencial, debido a la falta de herramientas, Whitney realmente creó la topología de variedades diferenciales y sentó las bases teóricas para las variedades diferenciales. en su artículo de 1936 "Múltiples diferenciales". Definición intrínseca de variedad. Defina la estructura Cr arriba (1≤r≤∞) Demostró que todas las estructuras Cr de la variedad Cr contienen un sistema de coordenadas C∞, y su estructura C∞ es única. La estructura se llama microestructura o estructura diferencial o estructura suave de la variedad, y la variedad correspondiente se llama variedad emblema o variedad diferencial o variedad suave. Existe una diferencia esencial entre una variedad diferencial y una variedad topológica. cualquier estructura diferencial o estructuras diferenciales múltiples, pero cualquier estructura diferencial permite estructuras analíticas reales y métricas de Riemann, que es también lo que Whitney demostró en este artículo, demostró algunos teoremas básicos, especialmente los teoremas de incrustación y inmersión: cualquier diferencial N-dimensional. La variedad se puede incrustar diferencialmente en R2n 1 (espacio euclidiano unidimensional 2n). En 1944, mejoró que la variedad diferencial N-dimensional se puede incrustar en R2n, inmersa en R2n-1. Para algunas variedades estos resultados ya son perfectos. Este trabajo abrió un campo importante de variedades diferenciales, y desde entonces muchos topólogos como Wu Wenjun han hecho contribuciones.
Haces de fibras y clases indicadoras
Whitney definió por primera vez el verdadero "espacio de fibras" en 1935, y luego lo llamó "espacio esférico". En 1940, lo cambió por "bola". grupo". En 1937 y 1941, hizo dos informes sobre este tema, incluyendo muchos resultados fundamentales, y planeaba hacerlo. Nunca se terminó. Su interés siempre se ha centrado en las "clases especiales". Él definió de forma independiente este tipo de clase de característica en 1936 y el matemático suizo E. Stiefel en 1935, más tarde llamada clase de característica Stiefel-Whitney. Su propósito era estudiar la topología de variedades diferenciales con clases características. En este sentido, el plexo fibroso es sólo una herramienta, por lo que su definición no es clara en todos los detalles, pero sí muy general.
De 1940 a 1950, los haces de fibras se convirtieron en la principal herramienta para estudiar muchos problemas topológicos (especialmente problemas de homotopía, homología y geometría diferencial). En 1951, la publicación de la monografía de N.E. Steenrod "Fiber Bundle Topology" marcó la madurez de la teoría de los haces de fibras. su contribución es particularmente destacada.
(1) Problema de clasificación Desde el principio, Whitney estudió principalmente el problema de clasificación de los tractos de fibras. En 1937, obtuvo el espacio de clasificación de haces esféricos, es decir, la variedad de Glassman Gn, R, y afirmó que el espacio base es B y la clase isomorfa del haz esférico de rango R es [B, Gn, R], es decir, B a Gn, clase de homotopía (nr) del mapeo R.
Whitney también sabía que el espacio del cúmulo esférico con B como espacio base sólo depende del tipo de homotopía de B. Este hecho fue demostrado por J. Feldbau en 1939. Por otro lado, ya en 1935, Whitney construyó un nuevo haz de fibras g*(ξ) para el haz de fibras ξ y el mapa continuo G: b’→b.
(2) Clase característica Stiefel solo considera la clase característica del paquete tangente de variedades diferenciales, mientras que Whitney considera un rango mucho más amplio. Creía que el espacio base b de cualquier grupo de bolas (e, b, p) también podría ser cualquier complejo simple localmente finito. Definió la clase característica como la clase de homología de coeficientes enteros de la variedad Stiefel Sn, m. Señaló el grupo de homología de Sn, m.
En 1937, definió las clases sexuales en términos de cohomología. En 1940, señaló que para el mapeo continuo,
g: B'0→B,
Si E'=g*(E) es una devolución de llamada de E, entonces< /p >
Wr(E')=g*(Wr(E)).
Al mismo tiempo, dio la fórmula de suma de Whitney: definir los retornos de dos grupos esféricos e′ y e″ en el mismo espacio base.
Donde ∪área curva, He Señaló que cuando r ≥ 4, la prueba era "extremadamente difícil". En 1941, solo dio la prueba de que E y E 'son haces de líneas, que fue dada por Wu Wenjun en 1948. También se utilizó el haz de vectores en lugar de. el paquete esférico. En el mismo año, Chen Shengshen también publicó otra prueba.
Whitney también dio el concepto de clases de indicadores e incluso la serie de potencias formales de clases de indicadores: la base teórica de la clase de demostración de Whitney. Posteriormente, Milnauer abrió la teoría de las clases deícticas basándose en los cuatro teoremas propuestos por Whitney, así como otras clases deícticas, especialmente Pontryagin (понт) (3) La aplicación de las clases deícticas. Un papel extremadamente importante en topología y geometría. El propio Whitney utiliza principalmente cursos deícticos para aprender la inmersión. Por ejemplo, demostró que la proyección real de 8 dimensiones no se puede sumergir en R14, pero sí en R15. Fue desarrollado más tarde por Wu Wenjun y otros.
Topología algebraica
1935 es el punto de inflexión de la topología algebraica El establecimiento de la teoría de la homología y la ética de la homología Cuarenta años después de que Poincaré introdujera el concepto. de homología, cuatro matemáticos introdujeron el concepto de homología casi simultáneamente e independientemente, a saber, J.W Alexander, Whitney y E. Cech (Cech) y A.H. Andrey Kolmogorov (колмогоров), los otros tres en 1937 en la teoría de la homotopía. -Criterio de Hurewicz Si X es un complejo de células finitas local de n dimensiones e Y es un espacio conectado de n dimensiones (n-1), entonces F, G: X→ Y es homotopía
HN(. Y;z)→Hn(X;z).Inferir de esto
[X, x0; y, y0] úHn(X; πn( Y))
Existe una correspondencia uno a uno. Estas condiciones no necesariamente se cumplen para mapeos en diferentes dimensiones. Whitney dio las condiciones algebraicas de homotopía para mapeos complejos bidimensionales a espacios proyectivos bidimensionales o tridimensionales. , pero no publicado. En 1941, H.E. Robbins generalizó la clasificación homotópica de asignaciones de complejos bidimensionales a espacios arbitrarios.
Posteriormente, Olum lo simplificó y lo popularizó a gran escala. Para complejos tridimensionales, Pontryagin en 1941 consideró su clasificación de homotopía mapeándola a S2, donde se aplicó por primera vez el producto superior recién surgido. De hecho, Whitney ya había obtenido los resultados correspondientes ya en 1936. Estudió conectividad simple en 1948. Sobre esta base, se dan las condiciones necesarias y suficientes para dos homotopías de mapeo continuo en el complejo tridimensional K a R y las clases de obstáculos para la expansión del mapeo. También cabe señalar que Whitney introdujo el concepto de productos tensoriales de grupos abelianos en 1938, que es una herramienta esencial para la topología algebraica y el álgebra homóloga.
Teoría integral geométrica
Durante 1946-1957, Whitney estableció la teoría integral geométrica, que es una teoría integral más general, como la dimensión R en la integral espacial N-dimensional. A partir de esto, dio explicaciones analíticas para las cadenas cerradas superiores y sinuosas, como que las cadenas geométricas son funciones en cadenas singulares de "posiciones generales". Reemplazó las condiciones de diferenciabilidad en la teoría de la forma diferencial externa de E Cartan y G de Rham con condiciones de Lipschitz. La teoría integral resultante es equivalente a la teoría de la homología algebraica, y lo mismo ocurre con los espacios de Lipschitz más generales, incluidos los poliedros y la vecindad absoluta. La contracción de Kernel como su caso especial, especialmente el teorema de Stokes, se extiende al espacio de Lipschitz. Su teoría se resume en ""