Olimpiada de Matemáticas de la Escuela Secundaria: suma, diferencia, múltiples puntos de conocimiento y análisis de ejemplos
Problemas de suma y diferencia
Cuando se trata de "problemas de suma y diferencia", la gente de los grados superiores de la escuela primaria dirá: "¡Puedo calcular la suma y!" Los problemas de diferencias son demasiado simples. Sí, sabes la suma y la diferencia de dos números. Para encontrar los dos números, existe una fórmula de cálculo:
Número grande = (suma y diferencia) ÷2
Número decimal. = (suma y diferencia) )÷2
Puedo calcular y puedo usarlo de manera flexible para convertir algunos problemas de aplicación en problemas de suma y diferencia para calcular.
Veamos primero algunos ejemplos sencillos.
Ejemplo 1: en el examen final de Zhang Ming, la puntuación promedio en chino y matemáticas fue 95, y las matemáticas fueron 8 puntos más altas que las de chino. ¿Cuáles son las puntuaciones de Zhang Ming en estos dos cursos?
Solución: 95 por 2 es la suma de las puntuaciones en matemáticas y chino Sabemos que la diferencia entre las puntuaciones en matemáticas y chino es 8. Por lo tanto,
Puntuación de matemáticas = (95×2 8)÷2=99.
Puntuación china = (95×2-8)÷2=91.
Respuesta: Zhang Ming obtuvo 99 en matemáticas y 91 en chino.
Nota: La puntuación china también se puede calcular a partir de 95×2-99=91.
Ejemplo 2, hay tres números A, B y C. A más B es igual a 252, B más C es igual a 197 y C más A es igual a 149. Encuentra estos tres números.
Solución: De B C=197 y A C=149, sabemos que la diferencia entre B y A es 197-149 La pregunta nos dice que la suma de B y A es 252. Por lo tanto,
b =(252 197-149)÷2 = 150
A=252-150=102,
C=149-102=47 .
A: Los números A, B y C son 102, 150 y 47 respectivamente.
Nota: Existe una forma más sencilla.
(A B) (B C) (C A)=2×(A B C).
La fórmula anterior muestra que sumar tres números y dividir por dos es la suma de los tres números.
a B C =(252 197 149)÷2 = 299. Por lo tanto,
C=299-252=47,
B=299-149=150,
A=299-197=102.
Ejemplo 3: Las canastas A y B contienen 75 kilogramos de manzanas. Tome 5 kilogramos de manzanas de la canasta A y colóquelas en la canasta B. Las manzanas de la canasta A pesan 7 kilogramos más que las de la canasta. B. ¿Cuántos kilogramos hay en la canasta A y en la canasta B respectivamente?
Solución: Dibuja un diagrama esquemático sencillo.
Puedes ver que hay más manzanas en la cesta A que en la cesta B.
5 7 5=17 (kg)
Entonces la suma de A y B es 75, y la diferencia es 17.
El número de manzanas en la canasta = (75 17) ÷ 2 = 46 (kg).
El número de manzanas en la canasta B = 75-46 = 29 (kg).
A: Hay 46 kilogramos de manzanas en la canasta A y 29 kilogramos en la canasta B.
Ejemplo 4: Zhang Qiang compró un abrigo, un sombrero y un par de zapatos para 270 yuanes. El abrigo cuesta 140 yuanes más que los zapatos, y el abrigo y los zapatos cuestan 210 yuanes más que el sombrero. ¿Cuánto gastó Zhang Qiang en este par de zapatos?
Solución: Pensemos en abrigos y zapatos como la misma cosa. El precio total del abrigo y el sombrero es de 270 yuanes y la diferencia es de 265.438,00 yuanes.
La suma de los precios de abrigos y zapatos = (270 210) ÷ 2 = 240 (yuanes).
La diferencia entre el precio del abrigo y el precio de los zapatos es 140, por lo que
El precio de los zapatos = (240-140)÷2=50 (RMB).
Respuesta: Compre este par de zapatos por 50 yuanes.
Pongamos tres ejemplos más complejos.
Si puede calcular como la siguiente solución, puede decir que ha podido utilizar la solución de problemas de suma y diferencia de manera flexible.
Ejemplo 5: El tío Li tiene que ir a trabajar a las 3 p.m. Supuso que ya casi era hora de ir a trabajar. Fue a mirar el reloj de la casa. El reloj ya se había detenido a las 12:08:00. Salió de casa a toda prisa y miró el reloj de la fábrica. Todavía faltan 10 minutos para ir a trabajar. Son las 165438 de la noche.
Solución: Cuando llegué a la fábrica vi que el reloj eran las 2:50, y cuando salí de casa eran las 12:00. La diferencia era de 2 horas y 40 minutos, lo cual fue causado por. la hora en que se detuvo el reloj y el tiempo que pasó caminando por la carretera.
Tiempo en que se detiene el reloj Tiempo transcurrido en la carretera = 160 (minutos).
Cuando salgo del trabajo por la tarde, el reloj de la fábrica son las 11 y cuando llego a casa son las 9, una diferencia de 2 horas. Esto se debe a que el tiempo de parada del reloj se compensa en parte con el tiempo empleado en el viaje a casa.
Por lo tanto
El tiempo que el reloj se detiene - el tiempo empleado en viajar = 120 (minutos).
El problema ahora se ha transformado en un problema estándar de suma-diferencia.
Tiempo de parada del reloj = (160 120) ÷ 2 = 140 (minutos).
Tiempo de viaje=160-140=20 (minutos).
El reloj del tío Li se detuvo durante 2 horas y 20 minutos.
También existe una solución que puede calcular rápidamente el tiempo que el tío Li pasa en la carretera:
Según el reloj de casa del tío Li, sale a las 12 y llega a casa a las 9 de la noche. , afuera** * 8 horas y 50 minutos, incluidas 8 horas de trabajo y 10 minutos de trabajo. El tiempo restante es el tiempo que dedica a ir y venir al trabajo. Por tanto,
El tiempo que dedica. camino al trabajo = (8 horas y 50 minutos - 8 horas-10 minutos)÷2=20 minutos.
Tiempo de parada del reloj=2 horas 40 minutos-20 minutos
=2 horas 20 minutos.
Ejemplo 6: Xiao Ming compró dos tipos de tarjetas de felicitación por 21,4 yuanes, una es una tarjeta A por 1,5 yuanes y la otra es una tarjeta B por 0,7 yuanes. El dinero se acabó. Pero el vendedor calculó el número de hojas A como el número de B y el número de B como el número de A, y le pidió a Xiao Ming que le devolviera 3,2 yuanes.
Solución: La diferencia de precio entre la tarjeta A y la tarjeta B es 1,5-0,7=0,8 (yuanes). El vendedor reembolsó por error 3,2 yuanes a Xiao Ming, sabiendo que Xiao Ming compró la tarjeta A por 3,2÷0,8= más. que la carta B. 4 (piezas).
Ahora existen diferencias entre los dos tipos de cartas. Basta encontrar la suma de las dos cartas y el problema está resuelto. ¿Cómo encontrarlo? Tenga en cuenta
1,5×número de tarjetas en A 0,7×número de tarjetas en B=21,4.
1,5×Número de tarjeta B 0,7×Número de tarjeta A=21,4-3,2.
Como se puede ver en las dos fórmulas anteriores, la suma de los dos números de tarjeta es
[21,4 (21,4-3,2)]⊙(1,5 0,7)= 18 (tarjetas) .
Por tanto, el número de cartas es
(18 4)÷2=11 (cartas).
El número de cartas b es 18-11=7 (cartas).
Respuesta: Xiao Ming compró 11 tarjetas A y 7 tarjetas B.
Nota: Este problema también se puede solucionar utilizando el método de meter gallina y conejo en la misma jaula. Por favor vea la próxima conferencia.
Ejemplo 7: Hay dos rectángulos del mismo tamaño, combinados en dos rectángulos grandes, como se muestra a la derecha. El perímetro del rectángulo grande (a) es de 240 cm y el perímetro del rectángulo grande (b) es de 258 cm. ¿Cuáles son el largo y ancho originales del rectángulo en centímetros?
Solución: El perímetro del rectángulo grande (A) es el rectángulo original.
Largo×2 Ancho×4.
El perímetro del rectángulo grande (B) es el rectángulo original.
Largo × 4 Ancho × 2.
Entonces 240 258 es el rectángulo original.
Largo × 6 Ancho × 6.
La suma del largo y ancho del rectángulo original es
(240 258)÷6=83 (cm).
La diferencia entre el largo y el ancho del rectángulo original es
(258-240)÷2=9 (cm).
Por lo tanto, el largo y el ancho del rectángulo original son
Largo: (83 9)÷2=46 (cm).
Ancho: (83-9)÷2=37 (cm).
Respuesta: El rectángulo original mide 46 cm de largo y 37 cm de ancho.
Problemas múltiples
Cuando se conoce la suma o diferencia de dos números y se conoce la relación múltiple de los dos números, los dos números se pueden resolver inmediatamente. El "problema de la edad" común en la aritmética de la escuela primaria es un ejemplo típico de este tipo de problema. Veamos primero algunos ejemplos básicos.
Ejemplo 1, hay dos montones de piezas de ajedrez, el primer montón tiene 87 piezas y el segundo montón tiene 69 piezas. Luego, tome cuántas piezas de ajedrez del primer montón al segundo montón para que el número de piezas de ajedrez del segundo montón sea tres veces mayor que el del primer montón.
Solución: Hay 87 69 = 156 piezas de ajedrez en las dos pilas.
Para que el número de piezas de ajedrez de la segunda pila sea tres veces mayor que el de la primera pila, es necesario dividir las 156 piezas de ajedrez en 1 3 = 4 (piezas de ajedrez), es decir, cada una pieza de ajedrez tiene una pieza de ajedrez.
156(1 3)= 39(piezas).
Se deben guardar treinta y nueve yuanes en la primera pila y el resto se debe llevar a la segunda pila. Entonces, el número de piezas de ajedrez desde la primera pila hasta la segunda pila es
87-39=48 (piezas).
Respuesta: Tienes que llevar 48 yuanes del primer montón al segundo montón.
Ejemplo 2: Hay dos estanterías con 173 libros. Después de quitar 38 libros del primer piso, todavía quedan 6 libros en el segundo piso, el doble que en el primer piso. ¿Cuántos libros hay en el segundo piso?
Solución: Dibujamos el siguiente diagrama esquemático:
Contamos los libros restantes en el primer piso (después de quitar 38 libros) como 1 "libro", luego los libros del segundo piso Son 2 libros, 6 libros más. Luego retire estos 6 libros, es decir,
173-38-6=129 (libro)
Exactamente tres copias, cada una de las cuales es 129
÷ 3=43(esto).
Entonces, los libros del segundo piso son todos * * *
43×2 6=92 (libros).
a: Hay 92 libros en el segundo piso de la estantería.
Nota: Primero configuramos "1 copia" para tener una unidad de cálculo muy conveniente. Este es un enfoque común para la resolución de problemas en aplicaciones, especialmente si tiene varios problemas. El número de copias que se muestra en el diagrama esquemático es aún más obvio.
Ejemplo 3: Hay 975 alumnos en una escuela primaria. El número de niños en la escuela es cuatro veces menor que el de sexto grado, 23, y el número de niñas en la escuela es más de tres veces menor que el de sexto grado, 11. ¿Cuántos niños y niñas hay en la escuela?
Solución: Sea "1" el número de alumnos de sexto grado.
Hay entre 4 y 23 niños.
El número de niñas es 3 11.
Hay 7 estudiantes en la escuela——(23-11).
Cada porción es (975 12) ÷ 7 = 141 (persona).
Número de niños = 141×4-23 = 541 (personas).
Número de niñas=975-541=434 (personas).
Respuesta: 541 para niños y 434 para niñas.
El ejemplo 2 y el ejemplo 3 son el mismo tipo de problema, pero ligeramente diferentes. Por favor piénselo. ¿Cuál es la "diferencia"?
70 pares de zapatos de piel. En este momento, la cantidad de zapatos de cuero es exactamente el doble que la de zapatos de viaje. ¿Cuantos pares de zapatos hay?
Explicación: Para facilitar el cálculo, las zapatillas originales se cuentan como 4 acciones, se vende 1 acción y quedan 3 acciones. Entonces sumar 70 pares de zapatos de cuero originales es 3×2=6 (porciones). 400 70 serán 3 1 6 = 10 (acciones). Cada copia es
(400 70)÷10=47 (doble).
Las zapatillas originales miden 47×4=188 (par).
El zapato de piel original mide 47×6-70=212 (par).
Respuesta: 188 pares de zapatos de viaje y 212 pares de zapatos de cuero.
Establezca el número de copias de números enteros para que el cálculo sea simple y conveniente. En la aritmética de la escuela primaria, los decimales y las fracciones deben redondearse tanto como sea posible para facilitar el pensamiento y los cálculos. Por lo tanto, en los siguientes capítulos se utilizará "redondear tanto como sea posible".
El siguiente ejemplo será el contenido principal de esta sección: la cuestión de la edad.
Los problemas de edad son problemas comunes en la aritmética de la escuela primaria. Estos problemas a menudo tienen una condición "múltiple". El punto clave para resolver el problema de la edad es que la diferencia de edad entre dos personas siempre sigue siendo la misma.
Ejemplo 4: El padre tiene 50 años y la hija 14 años. ¿Hace cuántos años mi padre tenía cinco veces la edad de mi hija?
Solución: La diferencia de edad entre padre e hija se mantiene sin cambios en 36 años. Hace unos años tenía 36 años. Cuando la edad del padre es exactamente 5 veces mayor que la de su hija, el padre todavía es 36 años mayor que la hija. Este hombre de 36 años es (5-1) veces mayor que mi hija.
36÷(5-1)=9.
Mi hija tenía 9 años en ese momento, 14-9=5, que fue hace cinco años.
Hace cinco años, mi padre tenía cinco veces la edad de mi hija.
Ejemplo 5: Hay dos piscinas, una grande y otra pequeña. Hay 300 metros cúbicos de agua en el estanque grande y 70 metros cúbicos en el estanque pequeño. Ahora, después de inyectar cantidades iguales de agua en las dos piscinas, el agua de la piscina grande es tres veces mayor que la de la piscina pequeña. Pregunte cuántos metros cúbicos de agua hay en cada piscina.
Solución: Dibujar el siguiente diagrama esquemático:
Contamos la cantidad de agua inyectada en la piscina pequeña como 1 y la cantidad de agua inyectada en la piscina grande como 3. Se puede ver en la figura que, dado que la cantidad de agua inyectada en las dos piscinas es igual, el volumen de agua de la piscina grande (300-70) es 2.
Entonces cada porción es
(300-70)÷2=115 (metros cúbicos).
¿La cantidad de agua inyectada es
115-70=45 (metros cúbicos)?
Respuesta: Cada piscina debe llenarse con 45 metros cúbicos de agua.
El ejemplo 5 es exactamente igual a la pregunta sobre la edad. "Inyectar agua" equivale a "unos años después" en la pregunta de edad.
Ejemplo 6: Las edades combinadas de los dos hermanos son 55 años este año. Un año, mi hermano tenía la misma edad que mi hermano este año. Mi hermano tenía exactamente el doble de edad que él en ese momento. ¿Cuántos años tiene mi hermano este año?
Solución: Cuando la edad del hermano mayor es exactamente el doble que la del hermano menor, asumimos que la edad del hermano menor es 1 y la edad del hermano mayor es 2, entonces la diferencia de edad entre el hermano mayor y el el hermano menor tiene 1. La diferencia de edad entre ellos no cambiará, este año su diferencia de edad sigue siendo 1.
La pregunta también nos dice que la edad de mi hermano en ese momento es la misma que la edad de mi hermano este año, por lo que la edad de mi hermano este año también es 2 partes, y la edad de mi hermano este año debería ser 2 1 = 3 (partes).
Este año, la suma de las edades de los dos hermanos es
3 2=5 (acciones)
Cada acción 55÷5=11 (años ).
La edad de mi hermano este año es 11×3=33 (años).
Respuesta: Mi hermano tiene 33 años.
Como último ejemplo de esta sección, cambiaremos un poco la pregunta de edad.
Ejemplo 7: El padre tiene 38 años, la madre tiene 36 años y el hijo tiene 11 años.
¿Dentro de cuántos años la edad combinada de los padres será 4 veces la del hijo?
Solución: La suma de las edades de los padres ahora es
38 36=74.
Las 4 veces actuales la edad del hijo es 11×4=44 . La diferencia es.
74-44=30.
Pensando cuatro veces, el crecimiento anual será 1×4=4, y la suma de las edades de los padres será 1 1=2.
Para alcanzar la brecha de 30, ¿es necesario
30÷(4-2)=15 (años)?
Respuesta: Después de los 15 años, la suma de las edades de los padres es cuatro veces la del hijo.
Utilice las ideas de resolución de problemas del Ejemplo 6 para resolver el Problema 7 del Ejercicio 2. Quizás puedas dominar esta técnica de resolución de problemas.
Se pide a los lectores que piensen en esto. ¿Es la solución del ejemplo 7 diferente de la del ejemplo 5? ¿Cuáles son sus características?
También podemos utilizar la solución del Caso 15 para resolver el Caso 12. El método específico es el siguiente:
(14×5-50)÷(5-1)=5(años).
Pero cabe señalar que 14×5 es mayor que 50, por lo que lo es hace cinco años.
El problema del exceso y la deficiencia
Nueve capítulos de aritmética es el libro más colorido de la antigua China.
En su capítulo séptimo, se analizan un excedente y una deficiencia, el primero de los cuales, descrito en lenguaje moderno, es el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1: algunas personas compran algo juntas, cada persona contribuye con 8 yuanes, lo que resultará en 3 yuanes adicionales; si todos contribuyen con 7 yuanes, habrá una pérdida de 4 yuanes. Entonces, ¿cuántas personas hay? ¿Cuál es el precio?
Solución: Hay una diferencia entre "3 yuanes más" y "4 yuanes menos"
3 4=7 (yuanes).
Cada persona necesita 8-7=1 (yuanes) más.
Entonces sabemos que * * * hay 7÷1=7 (personas), y el precio es
8×7-3=53 (yuanes).
Respuesta: * * * *Siete personas lo compraron juntas por 53 yuanes.
Se puede decir que el 3 4 anterior es la diferencia entre las dos sumas, mientras que 8-7 es la diferencia entre cada copia. La fórmula de cálculo es
Diferencia total ÷diferencia por porción = número de porciones.
El contenido de este tipo de problemas tiene muchos cambios, formándose un tipo de problema que generalmente llamamos "exceso y escasez". Por favor vea más ejemplos.
Ejemplo 2: Entrega a los niños una bolsa de caramelos, de 10 caramelos cada una, y ya está. Si todos reciben 16 piezas, ninguno de los tres niños recibirá un caramelo. ¿Cuántas pastillas hay en esta bolsa?
Opción 1: A cada uno de los tres niños se le podrían haber dado 10 tabletas, y a algunos * * * les habían dado 10×3=30 (trozos). Si se le da a otros niños, cada niño puede sumar 16-10=6 (tabletas), para que los demás niños también lo hagan.
10×3÷(16-10)= 5 (personas).
Sumando estos tres niños, * * * quedan 5 niños 3 = 8 (personas). Esta bolsa de dulces ya está.
10×(5 3)=80 (granos).
Opción 2: Si sumas 16×3 caramelos, todos pueden sumar (1-10), y * * * tendrás un hijo.
16×3÷(16-10)= 8 (personas)?
Hay 80 caramelos en esta bolsa.
Hay 80 caramelos en esta bolsa.
Aquí 16×3 es la diferencia total, (16-10) es la diferencia de cada porción y 8 es el número de porciones.
Ejemplo 3, una clase de estudiantes salió a navegar. Calcularon que si se añadía un barco adicional, cada barco sólo tendría capacidad para seis personas. Si hay un barco menos, cada barco sólo tiene capacidad para 9 personas. ¿Cuántos estudiantes hay en esta clase?
Solución: Si cada barco lleva seis personas, se añadirá un barco más, lo que significa que ahora hay seis personas sin barco; si cada barco lleva nueve personas, se puede reducir un barco, es decir; Son nueve personas más en el barco. La diferencia en el número de personas que pueden tomar el barco es 6 9 = 15 (personas).
Esto se debe a que hay (9-6) personas más en cada barco, por lo que * * * hay un barco.
(6 9)÷(9-6)=5 (artículos)?
Hay 6×5 6=36 estudiantes en esta clase.
Hay 36 estudiantes en esta clase.
Ejemplo 4: Xiao Ming va al colegio desde casa. Si camina 80 metros por minuto, podrá llegar a la escuela 6 minutos antes de clase. Si camina 50 metros por minuto, llegará tres minutos tarde. ¿A qué distancia está la casa de Xiao Ming de la escuela?
Opción 1: Basado en el tiempo de casa a clase, compara la distancia recorrida a dos velocidades diferentes con la distancia de casa al colegio: Si caminas 80 metros por minuto, puedes caminar 80 veces más 6 metros si caminas 50 metros por minuto, caminarás 50×3 (metros) menos. Consulte el siguiente diagrama:
Por lo tanto, podemos encontrar que el tiempo que tarda Xiao Ming en ir de casa al aula es
(80×6 50×3)÷(80- 50)=21(minuto).
¿La distancia de casa a la escuela es
800×(21-6)=1200 (m)?
O 50×(21 3)=1200 (m).
La distancia desde la casa de Xiao Ming hasta la escuela es de 1.200 metros.
Opción 2: Tomar el tiempo que lleva caminar de casa a la escuela a 80 metros por minuto como punto de partida para pensar.
A una velocidad de 50 metros por minuto, se necesitan 6 3 = 9 (minutos) más. Los 50×9 (metros) caminados en estos 9 minutos solo compensaron los menos caminados al frente. Por lo tanto, ¿el tiempo necesario para recorrer 80 metros por minuto es 50×(6 3)÷(80-50)=15 (minutos)?
Veamos dos ejemplos más complejos.
Ejemplo 5: Se repartieron unas naranjas a varias personas. Cada persona tenía cinco naranjas, que eran 10 más. Si el número de personas se triplica y todavía faltan cinco personas, entonces a cada persona le faltan todavía ocho naranjas. ¿Cuántas naranjas hay?
Solución: Lo que hace que la gente se sienta difícil es la condición "tres veces más que cinco personas". Tenemos que cambiar eso primero.
Supongamos que hay 10 naranjas, 10 = 2×5, y pueden haber 5 personas más. Dejando de lado por el momento la condición de “cinco jóvenes”, solo consideramos tres veces el número de personas, lo que equivale a darle a cada persona 2×3=6 (uno) según el número de personas original.
A cada persona se le dan cinco o seis, el número total es diferente.
10 10 8=28 (piezas).
Entonces el número original de personas es 28÷(6-5)=28 (personas).
El número total de naranjas es 5×28 10=150.
Respuesta: Hay 150 naranjas.
Ejemplo 6, hay unas manzanas y unas peras. Si apilas 2 peras por cada 1 manzana, quedarán 5 manzanas cuando dividas las peras. Si hay 5 peras por cada 3 manzanas, quedarán 5 peras después de dividir las manzanas. ¿Cuántas manzanas y peras hay?
Opción 1: Suponemos que quedan 10 peras más, más las 5 manzanas restantes, todo dividido según el anterior "1 manzana, 2 peras". Según el posterior "3 manzanas y 5 peras", el número total de manzanas puede ser divisible por 3. Entonces, el primero se puede dividir en una pila grande y cada 3 pilas se pueden combinar.
Cada montón tiene tres manzanas, pero 1 pera (6-5=1). El número total de peras es diferente.
Imagínate sumar 10 y los 5 restantes = 15.
(10 5)÷(6-5)=15.
Se sabe que hay 15 montones y el número total de manzanas es
15×3=45(piezas).
El número total de peras es (45-5)×2=80.
Hay 45 manzanas y 80 peras.
Solución 2: Utilizar el método de diagramación.
El primero se divide en montones, usando el 1 para representar dos peras y cinco manzanas.
Para este último tipo de apilamiento, simplemente agrega tres manzanas para formar una pila con las cinco peras restantes. Las peras cuentan como cinco, las manzanas cuentan exactamente como tres.
Comparando las imágenes de arriba y de abajo, podemos ver que 5 3 = 8 (uno) es la "media porción" en la imagen de abajo, es decir, 1 es 16. La pera es 5, **hay 16 × 5 = 80 (uno). Apple tiene 16.