Matemáticas de primer grado en el primer volumen de secundaria: desigualdades lineales de una variable

1. Igualdad y Desigualdad

1. El concepto de ecuación:

Generalmente, las ecuaciones conectadas con el símbolo "=" se llaman ecuaciones. Nota: Los lados izquierdo y derecho de la ecuación son expresiones algebraicas.

2. El concepto de desigualdad:

Generalmente, utilice los símbolos "lt;" (o "≤"), "gt;" (o "≥"), "≠ "Las expresiones conexas se llaman desigualdades. Las desigualdades pueden contener o no números desconocidos)

3 Propiedades de las desigualdades:

(1) Se suma (o resta) el mismo número a ambos lados de la desigualdad (o (Ecuación), la dirección del signo de desigualdad permanece sin cambios.

(2) Ambos lados de la desigualdad se multiplican (o dividen) por el mismo número positivo y la dirección del signo de la desigualdad permanece sin cambios.

(3) Ambos lados de la desigualdad se multiplican (o dividen) por el mismo número negativo y la dirección del signo de la desigualdad cambia.

(4) Multiplica ambos lados de la desigualdad por 0 y el signo de desigualdad cambia a un signo igual.

El lenguaje numérico expresa de manera concisa las propiedades de las desigualdades -

1. Propiedad 1: Si agt; b, entonces a±cgt;

2. Propiedad 2: Si agt; b, cgt; 0, entonces acgt; bc (o a/cgt; b/c)

3. bc (o a/clt; b/c)

2. Desigualdades lineales univariadas

1. Definición:

Aquellas conectadas por signos de desigualdad contienen un número desconocido. , La ecuación en la que el grado de las incógnitas es todo 1, el coeficiente no es 0 y los lados izquierdo y derecho son números enteros se llama desigualdad lineal con una incógnita.

2. La secuencia general para resolver desigualdades lineales de una variable:

(1) Eliminar el denominador (use las propiedades de desigualdad 2 y 3) (2) Eliminar los corchetes (3 ) Transferir términos (usa la desigualdad) Propiedades 1) (4) Combina elementos similares. (5) Cambie el coeficiente del número desconocido a 1 (use las propiedades de desigualdad 2 y 3) (6) A veces es necesario expresar el conjunto solución de la desigualdad en el eje numérico

3. conjunto de la desigualdad:

Todas las soluciones de una desigualdad con incógnitas forman el conjunto de soluciones de esta desigualdad. Por ejemplo, el conjunto solución de la desigualdad x-5≤-1 es x≤4; el conjunto solución de la desigualdad x>0 son todos números reales distintos de cero. El proceso de encontrar el conjunto solución de una desigualdad se llama solución de la desigualdad. 2. Conjunto de soluciones de desigualdades lineales de una variable. Cambie la desigualdad a la forma de axgt; (1) Si agt 0, entonces el conjunto de solución es xgt; set es xlt; b/ a

4. Eje numérico:

La línea recta que especifica el origen, la dirección y la escala unitaria se llama eje numérico.

5. Grupo de desigualdades lineales de una variable:

(1) Generalmente, varias desigualdades lineales sobre el mismo número desconocido se combinan para formar un grupo de desigualdades lineales de una variable. (2) La parte común del conjunto solución de cada desigualdad en un grupo de desigualdades lineales de una variable se llama conjunto solución de este grupo de desigualdades lineales de una variable. El proceso de encontrar el conjunto solución de un grupo de desigualdades se llama resolver el grupo de desigualdades. 1. Comparación de expresiones algebraicas: (1) Utilice el método de recta numérica; (2) Método de comparación directa; (3) Método de comparación de diferencias; (4) Método de comparación de cocientes. (Al comparar expresiones algebraicas, el método de discusión de clasificación también debe usarse apropiadamente)

6. Método de representación del conjunto solución de desigualdades:

(1) Expresado por desigualdades: Generalmente, Una desigualdad que contiene números desconocidos tiene innumerables soluciones y su conjunto de soluciones es un rango. Este rango se puede expresar mediante la desigualdad más simple. Por ejemplo: el conjunto de soluciones de x-1≤2 es x≤3. (2) Representado por un eje numérico: el conjunto de soluciones de una desigualdad se puede expresar intuitivamente en el eje numérico, lo que ilustra vívidamente que la desigualdad tiene infinitas soluciones. Cuando se utiliza el eje numérico para expresar el conjunto de soluciones de una desigualdad, dos puntos. Se debe prestar atención a: uno es determinar la línea límite y el otro es establecer la dirección.

7. Aplicación integral de desigualdades lineales y funciones lineales de una variable:

Generalmente, primero se encuentra la expresión de la función y luego se resuelve la desigualdad simplificándola.

8. Pasos para resolver el conjunto de desigualdades lineales de una variable:

(1) Encontrar el conjunto solución de cada desigualdad (2) Encontrar el común* del conjunto solución; de cada parte de desigualdad ** (generalmente use el eje numérico) (3) Use lenguaje de símbolos algebraicos para expresar la parte común **. (También se puede decir que está sacando una conclusión)

9. Conjuntos de soluciones de varios grupos de desigualdades comunes:

(1) Respecto al grupo de desigualdad x {xgt; a} { xgt; El conjunto solución de b} es: xgt; b (2) El conjunto solución del grupo de desigualdades {xlt; a} {xlt; b} sobre x es: El conjunto solución de b} es: alt; (4) El conjunto solución del grupo de desigualdad x {xlt; a} {xgt; b} es el conjunto vacío.

10. Los conjuntos solución de varios grupos de desigualdades especiales:

(1) Respecto a la desigualdad x (grupo): el conjunto solución de {x≥a} {x≤a} es: x=a (2) Respecto a la desigualdad x (grupo): {xgt; a} El conjunto solución de {xlt; a} es el conjunto vacío.

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Ejemplo 3 Resuelva las siguientes desigualdades: 2x-1lt; 2x). 6 ≤ x -3 6x, 3x≤-9, x≤-3. Ejemplo 4 Cuando x toma qué valor, el valor de la expresión algebraica es 1 mayor que el valor de ? La solución se basa en el significado de la pregunta y obtenemos -gt; 1, 2 (x 4) - 3 (3x - 1)gt; 7xgt; -5, obtenemos xlt; 5/7 Por lo tanto, cuando x toma cualquier número menor que 5/7, el valor de la expresión algebraica es 1 mayor que el valor de 1. Ejercicio 1. Entre las siguientes desigualdades, ¿cuáles son desigualdades lineales de una variable [ ] A. 3x(x 5)gt; 3x2 7; x2≥0; xy-2lt; x ygt;5． 2. La solución de la desigualdad 6x 8gt; 3x 8 es [ ]　3. La solución de 3x-7≥4x-4 es [ ]　A. x≥3; x≤3; x≥-3; x≤-3． 4. Si |m-5|=5-m, entonces el rango de valores de m es [ ]　A. mg; 5; B. m≥5; mlt; 5; metro≤5. [ ] A. xgt;15;B． x≥15; xlt;15;D． x≤15． 6． Si la solución de la ecuación 3x 3k=2 respecto de x es positiva, entonces el valor de k es [ ]　C. k es cualquier número real; Ninguna de las respuestas anteriores es correcta. 7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? [ ] A. x=2 es una solución de la desigualdad 3xgt 5; x=2 es la solución de la desigualdad 3xgt;5; x=2 es la única solución a la desigualdad 3xgt;5; D. x=2 no es una solución a la desigualdad 3xgt;5. [ ] A. ygt;0;B． ylt; 0; y=0; Nada de lo anterior es correcto. 9． ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? [ ] D. Hay un número finito de soluciones positivas para xlt;3. [ ] A. x≤4; x≥4; xlt;-2;B． xgt;-2; xlt; 2; xgt; 2, [ ] A. Un número entero mayor que 2; B. Un número entero no menor a 2; 2;D. x≥3． [ ] A. Innumerables; B. 0 y 1; 1;D. Nada de lo anterior es correcto. [ ] A. xgt;1;B． x≤1; x≥1; x.gt;1. [ ] A. 2x-3x-3lt; 6, -xlt; 2x-3x 3lt; 6, -xlt 3, xgt; 2x-3x 1lt; 6, -xlt 5, xlt; 2x-3x 3lt;1,-xlt;-2,xlt;2. (2) Resolver desigualdades lineales de una variable 16.31. 26．3x-2(9-x)gt;3(7 2x)6x)． 27,2(3x-3(4x 5)≤x-4(x-7)　28,2(x-1)gt; 3(x-1)-x-5. 29,3[-2(y- 7)]≤4y. 31.15-(7 5x)≤ (5-3x). Para dos números reales cualesquiera a, b, la relación es agt; b, a=b, alt y solo uno de b es verdadero. a-bgt; 0, hay agt; b, Cuando a-b=0, hay a=b: Cuando a-blt; 0, hay alt;

Edite estas preguntas de Word sobre desigualdades lineales. en una variable:

1. Un libro en inglés tiene 98 páginas. Zhang Li no ha terminado de leerlo durante 7 días (una semana), pero Xiao Ming lo ha terminado en promedio en menos de una semana. más que Zhang Li todos los días Lee 3 páginas más, ¿cuántas páginas lee Xiao Ming todos los días? Solución: Supongamos que Zhang Li lee x páginas todos los días, luego Xiao Ming lee (x 3) páginas, según el significado de la pregunta.

, obtiene: {98/xgt;7　{98/(x 3)lt;7 Resuelve: 11lt; 3 libros, entonces quedan 8 libros, si cada estudiante al frente recibe 5 libros, entonces la última persona recibe menos de; 3 libros. ¿Cuantos libros hay? ¿Cuantos estudiantes hay? Solución: Supongamos que hay x estudiantes Del significado de la pregunta, obtenemos: {3x 8-5(x-1)≥0 Puede tomar un número entero ∴ Puedes terminarlo en 20 a 22 minutos. ¿Aproximadamente cuántas toneladas más de agua se pueden bombear por minuto con una bomba de agua tipo B que con una bomba de agua tipo A? Solución: Supongamos que el tipo B bombea x toneladas por minuto Según la pregunta obtenemos: {20x≤1.1*30| , un campo de fútbol rectangular tiene una longitud de X metros y un ancho de 70 metros. de 350 metros y el área es menor de 7650 metros cuadrados, encuentre el rango de valores de: La longitud del campo de fútbol utilizado para competiciones internacionales está entre 100 y 110 metros, y el ancho está entre 64 y 75 metros) 5. Hay 6 metros cúbicos de agua a 18 grados centígrados en el recipiente, y ahora se necesitan 8 metros cúbicos para verter agua en él para que la temperatura del agua mezclada en el recipiente no sea inferior a 30 grados centígrados ni superior a 36 grados centígrados. ¿Cuál debería ser el rango de temperatura de los 8 metros cúbicos de agua inyectados? 6. Hay varias bolas rojas y blancas. Se sabe que el número de bolas blancas es menor que el de bolas rojas, pero hay el doble de bolas blancas que de rojas. Si cada bola blanca se cuenta como 2, cada bola roja. La bola se cuenta como 2. Como número 3, el número total es 60. ¿Cuántas bolas blancas y rojas hay? 7. Hay 25 preguntas de opción múltiple en un examen. Si respondes una pregunta correctamente, obtendrás 4 puntos. Si respondes una pregunta incorrectamente, perderás 2 puntos. 0 puntos Si Xiao Ming quiere asegurarse de que la puntuación de la prueba sea superior a 60 puntos, entonces debe al menos responder correctamente a la pregunta X, ¿cuál es la desigualdad que debe satisfacerse? 8. Una empresa necesita grabar un lote de discos ópticos (el número total no supera los 100). Si contrata a una empresa profesional para grabar, cada disco costará 10 yuanes (incluida la tarifa del disco en blanco si la empresa lo graba); Por sí solo, además de la tarifa de alquiler del equipo de 200 yuanes, cada disco se grabará. También cuesta 5 yuanes (tarifa de disco en blanco). Pregunta: Para grabar estos discos, ¿debería contratar a una empresa experta para que los grabe y ahorrar dinero, o debería grabarlos yo mismo? 9. Una escuela tiene una fábrica que ha producido un lote de productos nuevos. Hay dos planes de ventas. Plan 1: venda este lote de productos a principios de este semestre y podrá obtener una ganancia de 30.000 yuanes. Una ganancia de 30.000 yuanes, puede obtener otra ganancia de 4,8 reinvirtiéndola al final de este semestre. Opción 2: si vende este lote de productos al final de este semestre, puede obtener una ganancia de 35.940 yuanes. Si tiene que pagar el 0,2 del capital invertido, pregunte: (1) ¿Cuántos yuanes se invierten en este lote de productos? ¿Las ganancias del Plan 1 y del Plan 2 son las mismas? (2) Discuta cuál del Plan 1 y del Plan 2 es más rentable según la cantidad de capital requerido. 10. Un barco tardó 10 horas en navegar desde el punto A en el curso superior de un río hasta el punto B en el curso inferior de un río a una velocidad constante. Le tomó menos de 12 horas regresar del punto B al punto A en. una velocidad constante. La velocidad del río en esta sección es de 3 kilómetros/hora. La velocidad en aguas tranquilas V de un barco que viaja de un lado a otro permanece sin cambios.