La historia de la geometría
La formación y desarrollo de la geometría experimental
La geometría se originó a partir de la observación de la forma y disposición de las estrellas en el cielo, y de actividades prácticas como medir la tierra, medir el volumen, hacer utensilios y necesidades de dibujo gráfico. La gente ha acumulado una rica experiencia geométrica basada en la observación, la práctica y la experimentación, y ha formado muchos conceptos aproximados que reflejan la relación entre algunos hechos empíricos y la geometría experimental.
La geometría estudiada en la antigua China, el antiguo Egipto, la antigua India y Babilonia era básicamente el contenido de la geometría experimental.
Por ejemplo, el teorema de Pitágoras, conocimiento de medición simple, se descubrió muy temprano en la antigua China. "Mo Jing" tiene "un (círculo), uno de los cuales tiene la misma longitud" y "plano (paralelo), uno de los cuales tiene la misma altura". Los antiguos indios creían que "el área de un círculo es igual al área de un rectángulo, la base de un rectángulo es igual a medio círculo y la altura de un rectángulo es mayor que el radio de un círculo. "
2. La formación y desarrollo de la geometría teórica.
Con los intercambios comerciales y culturales entre el antiguo Egipto y Grecia, el conocimiento geométrico egipcio se fue introduciendo gradualmente en la antigua Grecia.
Muchos matemáticos de la antigua Grecia, como Tales, Pitágoras, Platón y Euclides, hicieron grandes contribuciones al estudio de la geometría.
En particular, Platón introdujo métodos de pensamiento lógico en la geometría y estableció definiciones detalladas y axiomas claros como base de la geometría. Luego, Euclides escribió los trece volúmenes de "Elementos de Geometría" basándose en los conocimientos de geometría de sus predecesores y de acuerdo con un estricto sistema lógico, sentando las bases de la geometría teórica (también conocida como geometría inductiva, geometría deductiva, geometría axiomática, geometría de Euclides). geometría, etcétera). ) y se convirtió en una obra maestra famosa de la historia.
Aunque "Elementos de Geometría" tiene algunos fallos, como axiomas incompletos y en ocasiones recurrir a la intuición. , es una obra maestra de las matemáticas antiguas, con una argumentación rigurosa y una influencia de gran alcance. El método axiomático utilizado señaló la dirección del desarrollo futuro de las matemáticas e incluso se convirtió en un hito en la historia de la civilización humana y un tesoro en el patrimonio cultural de toda la humanidad.
3. El surgimiento y desarrollo de la geometría analítica.
En el siglo III d.C. aparecieron elementos de la geometría que sentaron las bases de la geometría teórica.
Al mismo tiempo, la gente también investigó un poco sobre las secciones cónicas y descubrió muchas propiedades de las secciones cónicas.
Pero durante mucho tiempo después de eso, la teología ocupó una posición dominante en la sociedad feudal y la ciencia no recibió la atención que merecía.
No fue hasta los siglos XV y XVI d.C. cuando el capitalismo europeo comenzó a desarrollarse. Con las necesidades reales de producción, las ciencias naturales se desarrollaron rápidamente.
El Descartes francés descubrió que la geometría euclidiana dependía demasiado de los gráficos, mientras que el álgebra tradicional estaba completamente sujeta a fórmulas y leyes. Creen que el método tradicional de estudiar secciones cónicas solo se centra en la geometría e ignora el álgebra. Abogan firmemente por la combinación de geometría y álgebra para aprender de las fortalezas de cada uno. Esta es una nueva forma de promover el desarrollo de las matemáticas.
Bajo la guía de esta idea, Descartes propuso el concepto de un sistema de coordenadas plano, se dio cuenta de la correspondencia entre puntos y pares de números y utilizó una ecuación con tres espadas en ambos lados para representar secciones cónicas, formando una serie de nuevas teorías y métodos de los que surgió la geometría analítica.
La aparición de la geometría analítica ha ampliado enormemente el contenido de investigación de la geometría y promovido su mayor desarrollo.
En los siglos XVIII y XIX, debido a las necesidades de la ingeniería, la mecánica y la geodesia, surgieron otras ramas de la geometría como la geometría pictórica, la geometría proyectiva, la geometría afín y la geometría diferencial.
4. El surgimiento y desarrollo de la geometría moderna.
En el proceso de desarrollo de la geometría elemental y la geometría analítica, la gente descubrió constantemente que los "Elementos de la Geometría" no eran lógicamente rigurosos, y constantemente enriquecieron algunos axiomas, especialmente tratando de probar el quinto postulado de que "una línea recta y otros dos "Cuando dos rectas se cruzan, cuando la suma de los ángulos interiores de un mismo lado es menor que dos ángulos rectos, las dos rectas se cortan de este lado". El fracaso impulsó a la gente a reexaminar la base lógica de. geometría, y logró resultados de investigación sobresalientes en dos aspectos.
Por un lado, se parte de cambiar el sistema de axiomas de la geometría, es decir, sustituir el quinto postulado de la geometría euclidiana por una proposición que contradice el quinto postulado de la geometría, conduciendo así a un avance fundamental en el objeto de la investigación geométrica.
El matemático ruso Lobachevsky reemplazó el quinto postulado por "En un mismo plano, dos rectas pueden ser paralelas a una recta conocida al pasar por un punto fuera de la recta", que se deriva de ésta. Se sacaron nuevas conclusiones, como que "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que dos ángulos rectos" y "no hay triángulos semejantes pero desiguales", que más tarde se denominó geometría de Roche (también conocida como geometría hiperbólica).
El matemático alemán Riemann sustituyó el quinto postulado desde otro ángulo: "En un mismo plano no existe ninguna recta paralela a la recta conocida en ningún otro punto que no sea la recta". a Una serie de nuevas teorías, como "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es mayor que dos ángulos rectos", "la fórmula de que el área formada por un triángulo es igual a la de un triángulo esférico", etc., resultó en una geometría diferente, que más tarde se llamó geometría de Li Mann (también conocida como geometría elíptica).
Tradicionalmente, la gente se refiere a la geometría de Roche y a la geometría de Riemann como geometría no euclidiana.
Las partes comunes de la geometría euclidiana (también conocida como geometría parabólica) y la geometría de Roche se denominan colectivamente geometría absoluta.
Por otro lado, los métodos axiomáticos se desarrollaron en el análisis riguroso del sistema de axiomas de la geometría euclidiana, frecuentemente llamado sistema de axiomas de Hilbert. Fue perfectamente establecido por el matemático alemán Hilbert en sus “Fundamentos de la Geometría”. . El sistema de axiomas de Hilbert es completo, es decir, el sistema estricto de la geometría euclidiana se puede derivar mediante razonamiento lógico puro.
Pero de acuerdo con este sistema de axiomas, es una tarea bastante tediosa deducir paso a paso los contenidos familiares de la geometría euclidiana.