¿Movimiento browniano geométrico?
Pregunta 1: Cómo encontrar la función media del movimiento browniano geométrico. Sea el movimiento browniano B(t) el movimiento browniano en sí es una distribución normal y satisface la distribución geométrica ~N(0,t). El movimiento browniano es W(t)=exp(B(t)); esta es una buena correspondencia lineal. Entonces la media es (como se muestra en la figura)
Resolviendo esta integral simple, obtenemos la media. : exp(t /2) Por cierto, encontremos la varianza: exp(2t)-exp(t)
Pregunta 2: Cómo usar el lenguaje R para simular una gran cantidad de movimientos brownianos geométricos ( los parámetros μ y σ son conocidos) 10 puntos Debería poder encontrar esta búsqueda en línea, como este artículo
Simulación del comportamiento del precio de las acciones en el movimiento browniano geométrico: un estudio empírico basado en el índice compuesto de Shanghai de China
Debería ser suficiente escribir el código directamente de acuerdo con la fórmula del movimiento browniano geométrico. La lógica del código es muy clara.
El siguiente es el código para simular una vez según este artículo. Si lo simula varias veces, debería ser suficiente agregar un bucle afuera. Luego elija el mejor según el error cuadrático medio (normalmente esto se utiliza como criterio).
Por cierto, es mejor no utilizar datos de minutos o de 3 segundos para sus datos, de lo contrario la velocidad y la memoria de R serán demasiadas.
N Pregunta 3: ¿Por qué utilizamos el movimiento browniano geométrico para simular la trayectoria de los precios de las acciones cuando estudiamos derivados? De hecho, es muy simple que GBM sea (al menos hasta cierto punto) consistente con la gente. observaciones del mercado. Por ejemplo, intuitivamente hablando, el precio de las acciones parece un paseo aleatorio. En otro ejemplo, el precio de las acciones no será negativo, por lo que al menos el GBM es más adecuado que el movimiento browniano ordinario, porque este último puede ser negativo.
Para hacerlo un poco más complicado, probé la tasa de rendimiento (S(t)/S(t-1) - 1) y descubrí que es básicamente una distribución normal. La tasa de rendimiento es normal y el precio de las acciones es el modelo GBM.
En resumen, todos han realizado muchas pruebas estadísticas y han descubierto que asumir GBM también puede aproximarse muy bien al valor real, que es. relativamente cerca de los hechos. Así que usa esto.
De hecho, el tiempo para aplicar modelos matemáticos precisos a las finanzas es muy corto. El primero fue la selección de cartera de Markowitz en 1952. En realidad, era un simple problema de optimización. Posteriormente, muchos modelos como CAPM APT solo estudiaron una serie de valores. La relación entre rendimientos, rendimientos y otros factores influyentes no implicaba la descripción de los movimientos del precio de las acciones.
El modelo Black-Scholes se propuso por primera vez para aplicar el precio de las acciones a GBM en un modelo estricto. En este modelo se hacen varios supuestos, uno de los cuales es que el precio de las acciones es GBM.
Pregunta 4: Cómo determinar los parámetros en el modelo de movimiento browniano geométrico El movimiento browniano geométrico es solo un modelo, en la forma de exp{Bt}. La clave para saber qué modelo usar es determinar los parámetros, lo que se llama calibración en inglés.
Si usa el movimiento browniano geométrico para modelar las opciones, tales cosas están relacionadas con su modelo en sí, como el negro. Modelo de Scholes, en cuanto a su calibración de parámetros, esta tecnología es realmente muy completa y se puede encontrar en los libros de texto clásicos de matemáticas financieras. Principalmente deduce los parámetros del modelo en función del precio de la opción en el mercado.