¿Qué es una integral doble y cuáles son sus usos prácticos?
La integral doble es la integral de una función binaria en el espacio. Es similar a la integral definida y es el límite de una determinada forma de suma. La esencia es encontrar el volumen del cilindro superior curvo. Las integrales pesadas tienen una amplia gama de aplicaciones y pueden usarse para calcular el área de una superficie curva, el centro de gravedad de una lámina plana, etc. Las integrales dobles sobre regiones planas se pueden generalizar.
Superficie z=f(x,y)(f(x,y)?0), un área cerrada acotada D en el plano xy y una columna que pasa por el límite del área cerrada D y Es paralela a las caras del eje z, y la figura que forman se llama cilindro superior curvo, considerando su volumen. Utilice la curva en el plano xy para dividir arbitrariamente el área cerrada acotada D en n pequeñas áreas cerradas, D1, D2,?, D. Las áreas de estas pequeñas áreas cerradas son respectivamente,?1,?2,?,?n. En cada uno, haga un cilindro paralelo al eje z en el límite del área cerrada pequeña y divida el cilindro superior curvo en n cilindros superiores curvos pequeños. Obviamente, el volumen V del cilindro superior curvo es igual a la suma de los. volúmenes de estos n pequeños cilindros superiores curvos.
(?1,?1),(?2,?2),?,(?n,?n), las alturas de los puntos correspondientes en la superficie z=f(x,y) son respectivamente, f(?1,?1),f(?2,?2),?,f(?n,?n), correspondientes al área pequeña cerrada ?i como base y la superficie z=f (x,y) El volumen de un pequeño cilindro de tapa plana con altura de punto f(?i,?i) reemplaza aproximadamente el volumen del correspondiente pequeño cilindro de tapa curva (i=1,2,?,n), por lo que Se obtiene el volumen del cilindro con la parte superior curva, V?f (?1,?1)?1+f(?2,?2)?2+?+f(?n,?n)?n.
En el sistema de coordenadas espacial rectangular, la integral doble es la suma algebraica del volumen del cilindro en cada área parcial, el positivo sobre el plano xoy, alguna función integrando especial f (x, y) La fórmula del volumen del cilindro superior curvo rodeado por la superficie representada por y la superficie base D es conocida y se puede calcular utilizando el significado geométrico de integral doble. ?