¿Qué es una función analítica?

El número de funciones variables complejas que son diferenciables en todas partes de una determinada región se denomina función analítica en esa región.

Extensión:

La relación entre la función armónica y la función analítica es la siguiente:

La función analítica es una función compleja y la función armónica puede considerarse como la parte real o parte real de la función analítica La función binaria real representada por la parte imaginaria tiene una correspondencia uno a uno. La construcción de una función analítica a partir de una función armónica requiere que la función armónica esté definida en una región simplemente conectada; de lo contrario, corresponde a una función compleja de múltiples valores.

Una función armónica es una función que satisface la ecuación de Laplace en una determinada región. Por lo general, existen algunas condiciones de suavidad adjuntas a la función misma, como derivadas parciales continuas de primer orden y segundo orden. Cuando hay n variables independientes (por lo que el área es n-dimensional), se llama función armónica n-dimensional.

Para funciones armónicas de alta dimensión, también existen los principios de máximo y mínimo, la fórmula del valor promedio y los correspondientes teoremas de existencia y unicidad de la solución al problema de Dirichlet similar al anterior.

Función analítica:

Función compleja que es diferenciable en toda la región. En el siglo XVII, L. Euler y J.leR D'Alembert descubrieron que la función potencial Φ(x, y) del campo irrotacional de un fluido plano incompresible y la función de flujo Ψ(x, y) tienen una relación continua. al estudiar hidráulica, y satisfacer el sistema de ecuaciones diferenciales, y señalar que f (z) = Φ (x, y) + iΨ (x, y) es una función diferenciable, y la inversa de esta proposición también lo es. verdadero.

Cauchy llamó funciones complejas que son diferenciables en todas partes de la región funciones simples, y las generaciones posteriores también las llamaron funciones holomorfas y funciones analíticas. B. Riemann partió de esta definición y realizó una investigación en profundidad sobre la diferencial de funciones complejas. Posteriormente, las ecuaciones diferenciales parciales mencionadas anteriormente se denominaron ecuaciones de Cauchy-Riemann o condiciones de Cauchy-Riemann.