¿Qué es una ecuación paramétrica?

Las ecuaciones paramétricas son muy similares a las funciones: constan de una serie de números en un conjunto específico, llamados parámetros o variables independientes, que determinan el resultado de una variable dependiente. Por ejemplo, en cinemática, el parámetro suele ser "tiempo" y el resultado de la ecuación es velocidad, posición, etc.

Definición

En términos generales, en el sistema de coordenadas cartesiano plano, si las coordenadas xey de cualquier punto de la curva son funciones de una determinada variable t:?

,

Y para cada valor permitido de T, el punto (x, y) determinado por el sistema de ecuaciones está sobre esta curva, entonces esta ecuación se llama ecuación paramétrica de En la curva, la variable T que conecta las variables xey se llama variable de parámetro, o parámetro para abreviar. En términos relativos, las ecuaciones que dan directamente relaciones de coordenadas puntuales se denominan ecuaciones regulares.

En un sistema de coordenadas rectangular plano dado, si las coordenadas xey de cualquier punto de la curva son funciones de una determinada variable T, x=f(t), y=φ(t), ( 1) y para cada valor permitido de T, el punto m (x, y) determinado por el sistema de ecuaciones (1) está en esta curva.

¿Ecuación paramétrica de una circunferencia? x=a+r? cosθ? y=b+r? pecadoθ? (a, b) ¿son las coordenadas del centro? r es el radio del círculo? θ es un parámetro

¿La ecuación paramétrica de una elipse? x=a? cosθ? y=b? pecadoθ? a es el semieje mayor? ¿dragón? b es la longitud del semieje menor? θ es un parámetro

¿La ecuación paramétrica de la hipérbola? x=a? segθ? (corte)? y=b? tanθ? a es la longitud real del semieje? b es la longitud imaginaria del semieje? θ es un parámetro

¿La ecuación parabólica de una parábola? x=2pt^2? y=2 puntos? p es la distancia del foco a la directriz? t es un parámetro

¿La ecuación paramétrica de una recta? x=x'+tcosa? y=y'+tsina? , x', y' y a representan la línea recta que pasa por (x', y'), el ángulo de inclinación es a y t es el parámetro.

Ejemplo

La ecuación del parámetro de coordenadas polares de la curva ρ=f(t), θ=g(t).

La ecuación paramétrica de un círculo x = a+r cos θ y = b+r sen θ (θ∈ [0, 2π)) (a, b) son las coordenadas del centro del círculo , r es el radio del círculo, θ es el parámetro, (x, y) es la coordenada que pasa por el punto.

La ecuación paramétrica de la elipse x = a cos θ y = b sen θ (θ ∈ [0, 2π])a es la longitud del semieje mayor b, y la longitud del semieje menor el semieje θ es un parámetro.

La ecuación paramétrica de la hipérbola x=a secθ (secθ) y=b tanθ a es la longitud del semieje real b es la longitud del semieje imaginario θ es el parámetro.

La ecuación parabólica x = x=2pt^2 y=2pt p indica que la distancia t del foco a la directriz es un parámetro.

La ecuación paramétrica de una recta x=x'+tcosa y=y'+tsina, x', y' y a representan una recta que pasa por (x', y'), la inclinación El ángulo es a, t como parámetros.

O x=x'+ut, y=y'+vt (t∈R)x', y' la línea recta pasa por un punto fijo (x', y'), u y v representan la línea recta Vector de dirección d=(u, v).

La involuta del círculo x = r(cosφ+φsinφ)y = r(sinφ-φcosφ)(φ∈[0, 2π]) r es el radio φ del círculo base como parámetro.

La ecuación paramétrica x=r(θ-sinθ) y=r(1-cosθ)r es el radio del círculo y θ es el ángulo (ángulo de giro) que pasa por el radio del círculo. Cuando θ cambia de 0 a 2π, el punto en movimiento dibuja una rama de la cicloide, llamada arco.

aplicación de la aplicación

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En la demostración del teorema del valor medio de Cauchy también se utilizan ecuaciones paramétricas.

Teorema del valor medio de Cauchy

Si las funciones f(x) y F(x) satisfacen:

(1) es continua en el intervalo cerrado [a , b] ;

(2) Es diferenciable en el intervalo abierto (a, b);

(3) Para cualquier x∈(a, b), F'( x)≠0.

Entonces existe al menos un ζ en (a, b), formando una ecuación

[f(b)-f(a)]/[f(b)-f (a)]= f '(ζ)/f '(ζ) se cumple.

Cauchy demostró de forma concisa y rigurosa el teorema fundamental del cálculo, la fórmula de Newton-Leibniz. Usó integrales definidas para probar estrictamente la fórmula de Taylor con residuos, usó el teorema del valor medio de diferenciales e integrales para expresar el área de un trapezoide curvo y derivó las fórmulas para el área de la figura, el área de la superficie curva y el volumen sólido entre curvas planas. .

Las curvas paramétricas también pueden ser funciones de múltiples parámetros. Por ejemplo, una superficie paramétrica es función de dos parámetros (s, t) o (u, v).

Por ejemplo, un cilindro:

r(u, v)=[x(u, v), y(u, v), z(u, v)]= [acos(u), asin(u), v]

Parámetro es la abreviatura de variable de parámetro. Surgió del estudio de los deportes y otras cuestiones. Cuando una partícula se mueve, su posición debe estar relacionada con el tiempo. En otras palabras, existe una relación funcional entre las coordenadas de la masa X, Y y el tiempo T, x=f(t), y=g(t). La variable T en estas dos expresiones funcionales es una "variable participante" relativa a las variables X e Y que representan la posición geométrica de la partícula. Las variables de parámetros en tales problemas prácticos se abstraen en matemáticas y se convierten en parámetros. La tarea de los parámetros en las ecuaciones paramétricas que hemos aprendido es comunicar la relación entre las variables X, Y y algunas constantes, lo que resulta conveniente para estudiar la forma y las propiedades de la curva.

Cuando se utilizan ecuaciones paramétricas para describir las leyes del movimiento, suele ser más directo y sencillo que utilizar ecuaciones ordinarias. Es muy adecuado para resolver una serie de problemas como alcance máximo, altitud máxima, tiempo de vuelo o trayectoria. Para algunas curvas importantes pero complejas (como la involuta de un círculo), es difícil o incluso imposible establecer sus ecuaciones constantes. Las ecuaciones enumeradas son complejas y difíciles de entender, como la ecuación constante de la involuta de un círculo.

Dibujar curvas basadas en ecuaciones requiere mucho tiempo; a menudo es fácil conectar indirectamente dos variables xey usando ecuaciones paramétricas, y las ecuaciones son simples y claras, por lo que dibujar no es demasiado difícil.