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Inteligencia Artificial Common Sense-2065 438 Resumen de temas especiales en marzo de 2009
¿Por qué existe algo tan tortuoso como el cálculo? Esto debería comenzar encontrando el área bajo la curva de la función.
Para funciones de curva, ¿cómo encontrar el área amarilla en el intervalo [a, b] debajo de esta curva?
Si el área es un rectángulo, un trapezoide o un triángulo, entonces existen fórmulas para los círculos. Pero, ¿alguna vez has pensado si puedes inventar un método general para encontrar el área del intervalo bajo cualquier función curva?
Al matemático Riemann se le ocurrió una idea. Mira la imagen de abajo.
Esto convierte el área original bajo la curva continua en la suma de las áreas de n pequeños rectángulos verticales. Cuando n se acerca al infinito, la suma de las áreas de estos pequeños rectángulos es igual al área del intervalo bajo la curva.
Como se muestra en la figura anterior, suponiendo cualquier punto del intervalo, el área de cada rectángulo se puede expresar como.
Entonces la definición de integral es:
Es decir, cuando n tiende al infinito, el área bajo la curva se compone de innumerables rectángulos.
Escritura formal:
Este símbolo de gran ola puede entenderse como integral o integral inglesa.
Si se considera la zona amarilla como la variable dependiente, ¿se puede encontrar una función que exprese el cambio con el aumento?
Como se muestra en la figura anterior, asumimos que hemos descubierto la función de área, que representa el cambio del área amarilla a medida que x aumenta:
De esta manera, podemos calcular el valor de cualquier intervalo amarillo en el área de la figura izquierda.
El teorema del cálculo dice que la función tangente de la curva de la figura superior está a la izquierda.
¿Por qué?
Vuelve a la imagen del principio:
Esto se usa para ilustrar la diferenciación, que consiste en encontrar la derivada. La derivada es la pendiente de la curva. La imagen es la tangente de ∠bac, que es:
Correspondiente a esta imagen, dy es el cambio de área.
Entonces tenemos:
Observamos el cambio de pendiente a la derecha y lo comparamos con el cambio de curva a la izquierda. También podemos ver que los dos son consistentes.
El cálculo es recíproco, y su función derivada lo es.
Para una función que es continua en el intervalo [a, b], si
Entonces suponiendo una cosa, el área del intervalo se puede sumar por la diferencia de los áreas de los dos intervalos, o se obtienen por resta, por lo que tenemos:
Además, en el intervalo, definitivamente puedes encontrar un punto que satisfaga:
Luego combinamos la definición de pendiente diferencial, como se muestra a continuación. Si se hace cada vez más pequeño, eventualmente se acercará a h.
Según la figura anterior:
Porque ya tiene:
Entonces existe:
Dado que el infinito tiende a 0, es equivalente a acercarse al infinito, es decir.
Fin