Versión de People's Education Press del esquema de revisión de funciones matemáticas para estudiantes de octavo grado

La imagen y propiedades de una función lineal

1. Puntos clave de conocimiento:

1. Una función lineal: si la relación entre dos variables x y y es y = kx+b (k≠0, k,b son constantes), entonces se dice que y es una función de x.

Nota: (1) k≠0, de lo contrario el coeficiente del término de orden más alto de la variable independiente x no es 1

(2) Cuando b=0, y=; kx, y se llama función proporcional de x.

2. Imagen: La imagen de una función lineal es una línea recta.

(1) Dos puntos especiales comunes: se cruzan con el eje y en (0, b); El eje x se cruza en (-, 0).

(2) La imagen de la función proporcional y=kx(k≠0) es una línea recta que pasa por (0, 0) y (1, k) la función lineal y=kx+b; (k≠ La imagen de 0) es una línea recta que pasa por (-, 0) y (0, b).

(3) De la imagen podemos saber que la recta y=kx+b es paralela a la recta y=kx. Por ejemplo, la recta: y=2x+3 y la. La recta y=2x-5 son ambas paralelas a la recta paralela y=2x.

3. Propiedades de la imagen de una función lineal:

(1) La posición de la imagen en el sistema de coordenadas plano rectangular:

(2) Aumentar o disminuir:

Cuando k>0, y aumenta a medida que x aumenta;

Cuando k<0, y disminuye a medida que x aumenta.

4. Métodos para encontrar la expresión analítica de una función lineal

Hay tres métodos principales para encontrar la expresión analítica de una función:

Uno es la derivación a partir de funciones conocidas, como en el ejemplo 1.

La segunda es enumerar las ecuaciones de dos incógnitas basadas en problemas reales y luego convertirlas en expresiones analíticas funcionales, como la primera pregunta en el Ejemplo 4; .

El tercero es utilizar el método del coeficiente indeterminado para encontrar la fórmula analítica de la función, como la segunda pregunta del Ejemplo 2 y el Ejemplo 7.

Los pasos son: ① Escribir una fórmula analítica que contenga coeficientes indeterminados de acuerdo con las condiciones dadas en la pregunta ② Sustituir varios pares de valores de xey o las coordenadas de varios puntos en la superficie; imagen en la fórmula analítica anterior, Obtenga una ecuación o sistema de ecuaciones con coeficientes indeterminados como incógnitas ③ Resuelva la ecuación y obtenga los valores específicos de los coeficientes indeterminados ④ Sustituya los coeficientes indeterminados calculados en la expresión analítica requerida de la función; .

2. Preguntas de ejemplo:

Ejemplo 1. Se sabe que la relación entre las variables y e y1 es y=2y1, y la relación entre las variables y1 y x es y1=3x. +2. Encuentra las variables La relación funcional entre y y x.

Análisis: Se conocen dos conjuntos de relaciones funcionales, entre las cuales la variable más idéntica es y1, por lo que la relación entre y y x se puede encontrar a través de y1.

Solución: ∵ y=2y1

y1=3x+2,

∴ y=2(3x+2)=6x+4,

Es decir, la relación entre las variables y y x es: y=6x+4.

Ejemplo 2, responda las siguientes preguntas

(1) (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Gansu) Se sabe que la línea recta se cruza con el eje y en el punto A, entonces las coordenadas del punto A son ( ).

(A) (0, –3) (B) (C) (D) (0, 3)

(2) (Preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de Hangzhou) Proporcional conocido Funciones, cuando x=–3, y=6. Entonces la función proporcional debería ser ( ).

(A) (B) (C) (D)

(3) (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la ciudad de Fuzhou) La gráfica de la función lineal y=x+1, sin pasar por el cuadrante sí( ).

(A) El primer cuadrante (B) El segundo cuadrante (C) El tercer cuadrante (D) El cuarto cuadrante

Análisis y respuesta:

( 1) Las coordenadas del punto de intersección de la recta y el eje y se caracterizan por el hecho de que la abscisa es 0 y la ordenada se puede obtener sustituyendo la relación funcional.

O use directamente el punto de intersección de la línea recta y el eje y como (0, b) para obtener el punto de intersección (0, 3), y la respuesta es D.

(2) La clave para encontrar la fórmula analítica es determinar el coeficiente k. En esta pregunta, se sabe que cuando x=-3, y=6 y se sustituye en y=kx, el Se puede determinar la fórmula analítica. Respuesta D: y=-2x.

(3) De las propiedades gráficas de la función lineal y=kx+b, tenemos las siguientes conclusiones:

,

En la pregunta, y = x + 1, k = 1> 0, entonces la gráfica de la función debe pasar por el primer y tercer cuadrante, b = 1> 0, luego la línea recta y el eje y se cruzan en el semieje positivo, se puede determinar. Para la posición de la línea recta, también puedes dibujar un boceto, o tomar dos puntos para dibujar un boceto. Juicio, la imagen no está en el cuarto cuadrante.

Respuesta: D.

Ejemplo 3. (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Liaoning) Cierta unidad necesita un automóvil con urgencia, pero no están preparadas para comprarlo y planean firmar un contrato de alquiler mensual con él. un propietario de un automóvil individual o una de las compañías de taxis estatales. Supongamos que el automóvil viaja x kilómetros por mes, la tarifa mensual pagadera al propietario individual del automóvil es y1 yuanes y la tarifa mensual pagadera a la compañía de taxis es y2 yuanes, las imágenes de la relación funcional entre y1, y2 y x respectivamente (dos rayos ) Como se muestra en la figura, responda las siguientes preguntas observando la imagen:

(1) ¿Dentro de qué rango de distancia de conducción mensual es rentable alquilar un coche en una empresa estatal?

(2) Cuando la distancia recorrida mensualmente es igual a ¿a qué, el costo de alquilar dos autos es el mismo?

(3) Si esta unidad estima que su distancia de conducción mensual es de 2300 kilómetros, ¿qué empresa de alquiler de automóviles es más rentable para esta unidad?

Análisis: Dado que se dan las gráficas de dos funciones, se puede ver que una es una función lineal y la otra es una forma especial de una función proporcional de una función lineal. La abscisa de la intersección de. las dos rectas son 1500, lo que indica que cuando x=1500 Cuando, los valores de función y de las dos rectas son iguales, y según la imagen, podemos saber que cuando x>1500, y2 está por encima de y1; 0

Respuesta: (1) Cuando la distancia de conducción mensual es inferior a 1.500 kilómetros, resulta rentable alquilar un coche en una empresa estatal.

[O respuesta: Cuando 0≤x<1500 (km), es rentable alquilar un coche en una empresa estatal].

(2) Cuando la distancia recorrida mensualmente es igual a 1.500 kilómetros, el coste de alquilar dos coches es el mismo.

(3) Si la distancia de conducción mensual es de 2.300 kilómetros, entonces es rentable para esta unidad alquilar un coche a un propietario individual.

Ejemplo 4. (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Hebei) Una determinada fábrica tiene dos líneas de producción A y B puestas en producción una tras otra. Antes de que se pusiera en funcionamiento la línea de producción B, la línea de producción A había producido 200 toneladas de productos terminados; desde que se puso en funcionamiento la línea de producción B, las líneas de producción A y B produjeron 20 toneladas y 30 toneladas de productos terminados respectivamente cada día.

(1) Encuentre la relación funcional entre la producción total y (toneladas) de las dos líneas de producción A y B después de su puesta en operación y el tiempo x (días) desde el inicio de la producción de B y encuentre Al final de los primeros días, la producción total de las dos líneas de producción A y B es la misma

(2) En el sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la figura, dibuje el ecuaciones de las dos funciones anteriores en el primer cuadrante Imagen; observe la imagen e indique qué línea de producción tiene la producción total más alta al final del día 15 y del día 25.

Análisis: (1) Primero enumere las fórmulas funcionales de y y x de acuerdo con las condiciones dadas, =20x+200, =30x, cuando =, encuentre x.

(2) Dibuja las gráficas de las dos funciones en el sistema de coordenadas rectangular dado. Según las coordenadas de los puntos, se puede ver que al final de los días 15 y 25, los valores ​. ​de las dos líneas de producción A y B El nivel de producción total.

Solución: (1) Del significado de la pregunta:

La expresión de relación funcional correspondiente durante la producción de la línea de producción A es: y=20x+200,

B La relación funcional correspondiente durante la producción en línea es: y=30x,

Sea 20x+200=30x, la solución es x=20, es decir, al final del día 20, el La producción de las dos líneas de producción es la misma.

(2) Se puede ver en (1) que la imagen de la función de producción correspondiente a la línea de producción A debe pasar por dos puntos A (0, 200) y

B (20 , 600);

La imagen de la función de producción correspondiente a la línea de producción B debe pasar por dos puntos O (0, 0) y B (20, 600).

Entonces la imagen es como se muestra a la derecha. Se puede ver en la imagen: al final del día 15, la producción total de la línea de producción A es alta al final del día 25; , la producción total de la línea de producción B es alta.

Ejemplo 5. La línea recta y = kx + b es paralela a la línea recta y = 5-4x y se cruza con la línea recta y = -3 (x-6). El punto de intersección está en el eje y. esta línea recta.

Análisis: La posición de la recta y=kx+b está determinada por los coeficientes k y b: k determina la dirección y b determina la intersección con el eje y de las dos rectas. son paralelos, entonces la fórmula analítica Los coeficientes del término lineal k son iguales. Por ejemplo, las imágenes de y=2x y y=2x+3 son paralelas.

Solución: ∵ y=kx+b es paralelo a y=5-4x,

∴ k=-4,

∵ y=kx+b y y=-3(x-6)=-3x+18 se cruza en el eje y,

∴ b=18,

∴ y=-4x+18.

Explicación: La posición de la gráfica de la función lineal y=kx+b está determinada por los coeficientes k y b: k determina la dirección y b determina el punto, es decir, la gráfica de la función es Paralela a la línea recta y = kx, después de pasar el punto (0, b), lo contrario también es cierto, es decir, k está determinado por la dirección de la imagen de la función y b está determinado por la intersección con y- eje.

Ejemplo 6. La línea recta cruza el eje x en el punto A (-4, 0) y cruza el eje y en el punto B. Si la distancia desde el punto B al eje x es 2, encuentre la fórmula analítica de la línea recta .

Solución: ∵ La distancia del punto B al eje x es 2,

∴ Las coordenadas del punto B son (0, ±2),

Supongamos que la recta La fórmula analítica es y=kx±2,

∵ La recta pasa por el punto A (-4, 0),

∴ 0=-4k± 2,

La solución es: k=±,

∴La fórmula analítica de la recta AB es y= x+2 o y=- x-2.

Explicación: Este ejemplo parece muy simple, pero en realidad implica muchos procesos de razonamiento, y estos razonamientos son necesarios para encontrar la expresión analítica de una función lineal.

(1) La función de la imagen es una línea recta y es una función lineal

(2) La línea recta y el eje y se cruzan en el punto B, entonces; punto B (0, yB);

p>

(3) La distancia desde el punto B al eje x es 2, entonces |yB|=2; (4) La ordenada del punto B es igual al término constante de la fórmula analítica de la recta, es decir, b= yB

(5) Dada la ordenada yB del punto de intersección de la recta; línea recta y el eje y, se puede establecer y = kx + yB;

Solo es necesario determinar k a continuación.

3. Mejora y pensamiento

Ejemplo 1. Se sabe que la ordenada de la intersección de la gráfica de la función lineal y1=(n-2)x+n y el eje y es -1, determine qué función es y2=(3-)xn+2, y escribir las expresiones analíticas de las dos funciones y señalar las posiciones y los aumentos y disminuciones de las dos funciones en el sistema de coordenadas rectangulares.

Solución: Según el significado de la pregunta,

La solución es n=-1,

∴ y1=-3x-1,

y2=(3- )x, y2 es una función proporcional

La imagen de y1=-3x-1 pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante, y y1 disminuye con el aumento de x;

p>

La imagen de y2=(3-)x pasa por el primer y tercer cuadrante, y y2 aumenta con el aumento de x.

Explicación: Dado que la fórmula analítica de una función lineal contiene un coeficiente n indeterminado, la clave para encontrar la fórmula analítica es construir una ecuación sobre n. Esta pregunta utiliza "El término constante de la fórmula analítica de n. una función lineal es la imagen y la "ordenada de intersección" del eje y para construir la ecuación.

Ejemplo 2. Se sabe que la gráfica de una función lineal corta el eje x en A (-6, 0), corta la gráfica de la función proporcional en el punto B, y el punto B está en el tercer cuadrante, su abscisa es -2, y el área de △AOB Para 6 unidades cuadradas, encuentra las expresiones analíticas de la función proporcional y la función lineal.

Análisis: El boceto autodibujado es el siguiente:

Solución: Supongamos la función proporcional y=kx,

La función lineal y=ax+b ,

∵ El punto B está en el tercer cuadrante y la abscisa es -2,

Supongamos B (-2, yB), donde yB<0,

∵ =6,

∴ AO·|yB|=6,

∴ yB=-2,

Pone el punto B (-2, - 2) en la función proporcional y=kx, obtenemos k=1,

Pon los puntos A (-6, 0) y B (-2, -2) en y=ax+b,

Obtenemos

Solución:

∴ y=x, y=- x-3 es lo que quieres.

Nota: (1) En este ejemplo, debe utilizar la definición de función proporcional y función lineal para escribir una fórmula estructural que contenga coeficientes indeterminados. Tenga en cuenta que los coeficientes en las dos funciones deben representarse por diferentes. letras;

(2) Este ejemplo requiere convertir la condición (área) en las coordenadas del punto B. Esta transformación implica esencialmente dos pasos: primero, use la fórmula del área AO·

BD=6 (pasando el punto B como BD⊥AO en D) para calcular la longitud del segmento de línea BD=2, y luego use | yB|=BD Y el punto B se calcula como yB=-2 en el tercer cuadrante. Si se eliminan las condiciones del tercer cuadrante, piense en las diversas posibilidades para la posición del punto B. ¿Cómo cambiará el resultado? (Respuesta: Hay dos posibilidades. El punto B puede estar en el segundo cuadrante (-2, 2), lo que resulta en un conjunto adicional de y=-x, y= (x+3).