★¿Qué es el análisis no estándar? ¿Qué son los números hiperrealistas? ¿Qué es infinitesimal? ★
El análisis matemático general, también llamado análisis estándar, principalmente cálculo, es una rama de las matemáticas que estudia variables continuas y sus relaciones en el mundo real. Su concepto básico es el concepto de variables y funciones que toman valores dentro del rango del sistema de números reales, y su método de investigación es la teoría de límites. Así, el análisis estándar se refiere a la teoría del cálculo establecida por Cauchy, Weierstrass y otros en el siglo XIX. Utilizaron el método límite en lugar del método infinitesimal en demostraciones matemáticas y llevaron a cabo una demostración lógica más rigurosa de la teoría del cálculo. Su teoría fue un gran paso adelante respecto a la teoría del cálculo de los siglos XVII y XVIII. Esto se refleja en el hecho de que crea una serie de reglas discriminantes y descubre algunos resultados importantes sobre la continuidad y diferenciabilidad de funciones. [El "análisis estándar" se basa en la teoría del límite estricto. ]
A principios del siglo XVIII hubo un acalorado debate sobre el cálculo. Podemos empezar desde la época de Newton. Intenta encontrar la derivada de y=x2. Primero tome ⊿x infinitesimal, luego tome ⊿y=(x+⊿x)2-x2=2x⊿x+⊿x2, es decir, ⊿ y/⊿ x = 2x+⊿ x. Y porque ⊿x es una cantidad infinitesimal que puede ignorarse. , es decir y/=2x. El infinitesimal ⊿x aquí no es 0 (divisible por ⊿x), sino igual a 0 (finalmente ignorado, ⊿x desaparece). Este método parece un poco mágico. Marx llamó al abandono de ⊿x "represión violenta", mientras que el arzobispo Bekele lo llamó "el fantasma de la partida" o "el fantasma de la partida". Este tipo de infinitesimales desconcertantes realmente no es bueno. "Lo fácil que viene, lo fácil se va" es completamente un mito. Sin embargo, no importa cómo sea atacado, el resultado de su funcionamiento siempre es el correcto. El gran matemático Euler utilizó una vez este cálculo impreciso para lograr logros brillantes. Poco a poco la gente ya no tiene objeciones.
En el siglo XIX, el matemático francés Cauchy se dio cuenta de que la conclusión correcta no significaba la integridad del sistema, por lo que se propuso hacer riguroso el "análisis infinitesimal". Estas son las famosas expresiones ε-N y ε-δ, que no se completaron hasta Weierstrass en 65438+70 años. Esta descripción del uso del movimiento estático para expresar el proceso límite elimina el manto misterioso: el llamado infinitesimal es solo una variable con un límite de 0. No es "un número", sino un proceso de cambio, es decir, una variable que continuamente se acerca a la constante 0 con cualquier pequeño error. Su representación es enteramente aritmética, las relaciones entre ε, δ, etc. es inconfundible. Sin embargo, "infinitesimal" no es un número y no se puede dividir ni ignorar directamente. Las operaciones en vivo se ahogan en un mar de tablas y la gente se queja de que el cálculo es cada vez más difícil de aprender. Los ingenieros ignoraron las críticas a los infinitesimales y siguieron las prácticas convenientes de la era Newton-Euler, sosteniendo "infinitesimales" en sus manos y negándose a tirarlos. Sin embargo, después de todo, lo "infinitamente pequeño" no puede permanecer en el altar. Desde el siglo XX casi ha desaparecido y la mención ocasional es sólo una introducción nominal habitual.
Las cosas mejoraron en el otoño de 1960. Abraham Robinson (1918 ~ 1974, judío alemán, fue a los Estados Unidos en 1962) señaló en un informe de la Universidad de Princeton que los conceptos y métodos de la lógica matemática moderna pueden ser "infinitamente pequeños" e "infinitos". En 1961, Robinson publicó un artículo titulado "Análisis no estándar" en las "Actas de la Real Academia de Ciencias" de Ámsterdam, Países Bajos, anunciando el nacimiento de esta nueva rama de las matemáticas.
En el análisis estándar, el conjunto de números racionales e irracionales estudiados se denomina conjunto de los números reales. El conjunto de los números reales corresponde uno a uno a los puntos de una recta y el conjunto de los números reales es continuo. En el análisis no estándar, la idea básica de Robinson es: dado que el infinitesimal no es un "número", es decir, no tiene posición en el conjunto de números reales, ¿se puede expandir el conjunto de números reales para convertirse en un nuevo conjunto de números superpuestos? números reales ¿Se puede mantener la intuición y la simplicidad de la era Newton-Euler cuando el cálculo se implementa en conjuntos? Robinson hizo esto utilizando métodos de teoría de modelos de la lógica matemática. En el conjunto de números hiperreal, cada número real común es un número estándar, rodeado por muchos "infinitesimales" (números reales no estándar), al igual que los electrones que rodean el núcleo de un átomo. No existe ninguna propiedad de Arquímedes en el conjunto de los números superreales, es decir, si eliges los números enteros α y β, es posible que no siempre puedas encontrar el número natural n de modo que nα > β, porque el infinitesimal es un real no estándar. número mayor que 0, y cualquier múltiplo entero de él sigue siendo infinitesimal, no puede ser mayor que el número estándar positivo β.
[¡Los elementos del conjunto de números hiperreales deben ser números hiperreales! ]
Desde una perspectiva macro, el eje numérico del conjunto de números hiperreal es el mismo que el eje numérico del conjunto de números reales. Pero es diferente desde una perspectiva microscópica. Hay muchos números reales no estándar en cada punto del eje numérico hiperreal. Estos números reales no estándar difieren entre sí en una cantidad infinitesimal, formando un punto con una estructura interna llamada "mónada", cada uno de los cuales tiene un solo número real estándar. Desde la perspectiva de los números reales estándar, el punto es continuo; desde la perspectiva del eje numérico hiperreal, el punto es la unidad de los opuestos de continuidad y discontinuidad.
En su sentido físico, es como un rayo de luz. Es continuo desde una perspectiva macro, pero no sólo discontinuo sino también no uniforme desde una perspectiva micro. La teoría cuántica demuestra que la luz tiene fluctuación y dualidad de partículas, lo que indica que la luz es la unidad de los opuestos de continuidad y discontinuidad.
El análisis no estándar nos abre un mundo nuevo: el mundo de los "puntos". Cualquier punto es un "mundo"; cualquier mundo es un "punto", así como afuera está el cielo, también hay algunos puntos adentro. En el sistema solar, la tierra es un "punto", que es estructurado y divisible. La misma molécula también puede utilizarse como un "punto", que es estructurado y divisible. Matemáticamente hablando, en un nivel más pequeño, cualquier "punto" puede establecer un sistema de coordenadas porque es un "mundo". En un nivel más amplio, cualquier "mundo" puede ser simplemente un sistema de coordenadas. El análisis no estándar acepta la dialéctica de la divisibilidad de "puntos".
Este método de lógica matemática es bastante complejo y mucho más difícil de entender que el concepto de cálculo. Sin embargo, lo infinitesimal volvió al altar de los números y se convirtió en un miembro de las matemáticas lógicamente defendibles. Ésta es la información "revolucionaria" que nos aporta el análisis no estándar, y es algo feliz. Filosóficamente hablando, también tiene su propio significado. La negación de la negación, la base del cálculo tiene un nuevo desarrollo, ¡es realmente "otro pueblo con un futuro brillante!" El "análisis no estándar" fue establecido por la redescripción de Robinson del cálculo utilizando infinitesimales. ]
En abril de 1965, Robinson escribió un libro "Análisis no estándar" que tuvo una amplia circulación. Muchos matemáticos apoyan esto y muchos se muestran escépticos. En 1973, Robinson conoció al matemático más famoso de este siglo, el famoso Gödel, en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Gödel hizo esta evaluación:
"El análisis no estándar no sólo puede simplificar la demostración de teoremas elementales, sino también la demostración de conclusiones difíciles. Por ejemplo, el teorema de que los operadores compactos tienen "subespacios invariantes", Se puede simplificar enormemente... Tenemos razones para creer que el análisis no estándar se convertirá en una parte importante de la historia de las matemáticas en el próximo siglo, razón por la cual se desarrolló la primera teoría rigurosa de los infinitesimales 300 años. después de la invención del cálculo." La evaluación de Gödel hizo que el análisis no estándar fuera aún más importante. La teoría de grupos no estándar, el análisis funcional no estándar y la topología no estándar surgieron uno tras otro. Kessler escribió un libro de texto de cálculo sobre análisis no estándar. Después de la enseñanza de prueba, se dice que ha sido bien aceptada y está lista para ampliar el experimento. Sin embargo, últimamente cada vez más personas se muestran escépticas. La razón es que "todos los resultados que se pueden obtener mediante análisis no estándar se pueden obtener utilizando el método estándar original. Dado que no hay nada nuevo y es tan difícil de entender, ¿por qué deberíamos aprenderlo algunas personas?" Creo que el análisis no estándar sólo lo realizan los lógicos matemáticos. "Soñar" y "caprichoso" son realmente innecesarios. En cuanto a si el análisis no estándar puede convertirse en "análisis matemático en el siglo futuro", me temo que todavía debe ser probado por la práctica y la historia. Se necesita un proceso para que las personas acepten algo nuevo, especialmente una nueva frase o una nueva decoración, lo que requiere más tiempo. Es casi tan difícil para las personas utilizar análisis no estándar como lo es para hablar otra lengua extranjera. ¡Que la predicción de Gödel sea correcta o no depende del futuro! Sin embargo, la contribución de Robinson a la regeneración infinitesimal no será borrada y definitivamente tendrá un lugar en la historia de las matemáticas.