Un problema de matemáticas universitario

(1), el punto donde ∫z(z-a)(za-1)= 0 es f(z)=(z? 1)/[z(z-a)(za-1)], ∴ tiene tres puntos únicos, a saber z1 =0, z2=a y z3 = 1/a

∴ Según el teorema del residuo, RES [f (z), z 1]= lim(z→z 1)(z-z 1)f (z )= lim(z→0)(z? 1)/[(z-a)(za-1)]= 1/a . De manera similar, Res[f(z),z2]=(a? 1)/[ a(a? -1)], Res[f(z),z3]=(a? 1)/[a(1-a?)].

(2)Supongamos z = e (i θ) y ∴dθ=dz/(iz).∴cosθ=(z 1/z)/2. ∴ I = (I/2)丨z丨=1(z? 1)dz/{z[z? 1-(1 a?)z]} .

(3)∵a gt;1, ∴En el campo丨丨=1, f(z) tiene dos polos: z1=0 y z3 = 1/a. ∴Del teorema integral de Cauchy, la fórmula original = (2π i) {res [f (z), z1] res [f (z), z3]} = 2π/[a (a?-1 )] .

Para referencia.