¿Es 1=1 un axioma?
Axiomas
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Los axiomas se refieren a hechos básicos que son evidentes según la racionalidad humana. Han sido probados por los seres humanos mediante procesos repetidos a largo plazo. práctica y no es necesario agregarla proposición básica de prueba.
Nombre chino
AXIOM
Nombre extranjero
axioma
Pinyin
gōng lǐ
Pinyin
ㄍㄨㄙㄌㄧˇ
Ámbito de aplicación
Matemáticas, física
Contenidos
1 Explicación básica de conceptos de palabras, citas y explicaciones
2 Sistema de axiomas
3 Ejemplos
4 Teoría de conjuntos de axiomas
5 Axiomización
Concepto de palabra
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Explicación básica
(1) [axioma]: Desarrollo basado en el ser humano razón y deseo Levántense y sigan juntos los principios.
¡Hay poder en el mundo, pero no justicia!
(2) [verdad evidente por sí misma; verdad generalmente reconocida]: Después de la prueba de la práctica repetida a largo plazo por parte de la humanidad. , no se necesita más prueba de la proposición (como en los números). [1]
Citas y explicaciones
1. Los principios correctos reconocidos por la sociedad. "Tres Reinos, Wu Zhi, biografía de Zhang Wen": "Compitiendo por la belleza y eligiendo a Cao Lang Xu Biao, están dedicados a los sentimientos personales, el amor y el odio no pueden ser determinados por la justicia" Prefacio a los ritos de notas "de Yao Nai". la dinastía Qing: "Hay muchas cosas que no se pueden entender en las Escrituras. Los antiguos no podían ser indiferentes. Hoy en día, la gente no puede esperar a las generaciones futuras. Este es el axioma universal". "Ni Huanzhi" 19 de Ye Shengtao: "Hay poder en el mundo, pero no hay axioma".
2. Se ha practicado en un sistema. Una verdad que se ha demostrado repetidamente y se considera que no necesita más pruebas. Por ejemplo, "Cantidades iguales más cantidades iguales son iguales a sus sumas" es un axioma. [1]
Sistema axiomático
Editor
Un sistema axiomático consiste en axiomizar una teoría científica y estudiarla utilizando métodos axiomáticos. Toda ciencia Las teorías son sistemas compuestos por. una serie de conceptos y proposiciones. La realización de la axiomática es: 1. Seleccionar un conjunto de conceptos iniciales de sus muchos conceptos. Los conceptos restantes en la teoría se introducen mediante definiciones de los conceptos iniciales, que se denominan conceptos derivados. 2. Seleccionar un conjunto de conceptos iniciales de sus; serie de proposiciones. El resto de las proposiciones se deducen de los axiomas aplicando reglas lógicas y se denominan teoremas. El proceso de aplicar reglas lógicas para deducir teoremas a partir de axiomas se llama prueba. Cada teorema se confirma mediante demostración. El sistema deductivo compuesto por conceptos iniciales, conceptos derivados, axiomas y teoremas se denomina sistema axiomático. Los conceptos y axiomas iniciales son el punto de partida del sistema axiomático [2].
Los sistemas axiomáticos se dividen en sistemas axiomáticos clásicos, sistemas axiomáticos modernos o sistemas axiomáticos formales. El sistema de axiomas clásico más representativo fue establecido por el antiguo matemático griego Euclides en su libro "Elementos de geometría". El primer sistema axiomático moderno fue propuesto por D. Hilbert en 1899. En su libro "Geometry Foundation", no sólo estableció el sistema de axiomas formales de la geometría euclidiana, sino que también resolvió algunos problemas teóricos lógicos de los métodos axiomáticos [3].
Por ejemplo, los "Elementos de geometría" de Euclides estipulan cinco axiomas y cinco postulados (desde un punto de vista moderno, los postulados también son axiomas). Todos los teoremas de la geometría plana se pueden derivar de estos axiomas y postulados. Y consigue.
Un sistema axiomático debe cumplir ciertos requisitos generales, incluida la coherencia del sistema (sin contradicciones), la integridad y la independencia del axioma. Entre ellas, la consistencia es la más importante, y varias otras propiedades no pueden ser satisfechas por cada sistema axiomático, o no son necesariamente requeridas [3].
Dado que el sistema axiomático puede construir un sistema teórico completo, no contradictorio y consistente, casi todos los campos de las matemáticas e incluso algunos campos científicos distintos de las matemáticas también utilizan el sistema axiomático para construir sus sistemas de teorías. Por ejemplo, la teoría moderna del Big Bang, reconocida por la mayoría de la gente, se basa en esta comprensión.
En matemáticas, todos los teoremas deben demostrarse rigurosamente, pero los axiomas no requieren demostración. Porque los axiomas matemáticos se establecen artificialmente para la conveniencia de una investigación basada en hechos básicos o en una construcción libre.
Algunas son cosas generales que los humanos todavía no pueden deducir utilizando las teorías existentes, como 1+1=2.
Los sustantivos en un sistema de axiomas son conceptos que han sido definidos de antemano. Tal sistema de axiomas es un sistema de axiomas sustantivo. Como el sistema de axiomas geométricos euclidianos. Debido a que los conceptos deben definirse primero, debe haber algunos conceptos iniciales como punto de partida para definir otros conceptos, como "parte", "largo", "ancho", "límite" y "misma posición" utilizados en la geometría euclidiana.
Ejemplo
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(a) El silogismo lógico formal tradicional se basa en el juicio universal evidente por sí mismo de un tipo de cosa como premisa, y se puede inferir que entre tales cosas, si el juicio parcial es verdadero, entonces el juicio universal es un axioma. Por ejemplo, "todo debe morir" pertenece a este tipo de juicio.
(b) En el sistema geométrico euclidiano, los siguientes son algunos de los axiomas del sistema geométrico:
① Cantidades iguales a la misma cantidad son iguales entre sí.
② Si a cantidades iguales se suman cantidades iguales, la suma es igual.
③ Cantidades iguales menos cantidades iguales, la diferencia es la misma.
④ Los objetos que pueden superponerse entre sí son congruentes.
La siguiente es la expresión algebraica del axioma de igualdad comúnmente utilizado:
①Si a=b, entonces a+c=b+c.
②Si a=b, entonces a-c=b-c.
③Si a=b, y c≠0, entonces ac=bc.
④Si a=b, y c≠0, entonces a/c=b/c.
⑤Si a=b, b=c, entonces a=c.
Teoría de conjuntos axiomáticos
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La teoría de conjuntos axiomáticos (teoría de conjuntos axiomáticos) es una de las principales ramas de la lógica matemática. Es el estudio de la reconstrucción (ingenua) de la teoría de conjuntos utilizando métodos axiomáticos, así como la metamatemática de la teoría de conjuntos y el estudio de nuevos axiomas de la teoría de conjuntos. En 1908, E. Zermelo tomó la iniciativa y propuso el primer sistema de axiomas de la teoría de conjuntos, con el objetivo de superar las paradojas que aparecían en la teoría de conjuntos. En la década de 1920, A. Frenkel y A. Skowland mejoraron y complementaron este sistema, obteniendo así el sistema de axiomas de Zermelo-Frenkel, comúnmente utilizado, abreviado como ZF. ZF es un sistema formal basado en el cálculo de predicados de primer orden de palabras iguales y el símbolo relacional "∈" (correspondiente a la relación de pertenencia en la teoría ingenua de conjuntos). Sus axiomas no lógicos incluyen: axioma de extensión, axioma de conjunto vacío, axioma de par desordenado, axioma de unión, axioma de conjunto de potencias, axioma de infinito, modo de axioma de separación (subconjunto), modo de axioma de sustitución, axioma regular (básico). Si se suma el axioma de elección (AC), el sistema de axiomas resultante se abrevia como ZFC. Se ha demostrado que ZF es suficiente para el desarrollo de la teoría de conjuntos. Puede evitar las paradojas conocidas de la teoría de conjuntos y proporciona una herramienta lingüística más conveniente en el estudio de las matemáticas básicas. [4] Sin embargo, se puede saber por el teorema de incompletitud de Gödel que ZF es incompleto [5]. Del segundo teorema de incompletitud de Gödel se puede ver que si un sistema de axiomas tan rico de la teoría de conjuntos está coordinado, no puede demostrarse internamente y debe demostrarse con la ayuda de axiomas más fuertes [5].
Dado que casi todas las matemáticas pueden reducirse a la teoría de conjuntos, la consistencia de los sistemas ZF siempre ha sido una cuestión crucial en la teoría de conjuntos. Sin embargo, según el teorema de incompletitud de Gödel, no puede demostrar su propia coherencia dentro del sistema ZF. Además, algunas proposiciones importantes, como la hipótesis del continuo, también son indecidibles en ZF. Buscar estos problemas indecidibles y demostrar su indecidibilidad y expandir ZF para determinar estas proposiciones en el sistema expandido se han convertido en los dos puntos de partida para la investigación sobre la teoría de conjuntos axiomáticos. En 1963, el académico estadounidense P. Cohen creó el método de forzamiento, que demostró una gran cantidad de cuestiones de independencia en la teoría de conjuntos [2].
Axiomatización
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En resumen, el método axiomático de la geometría consiste en partir de unos pocos conceptos y axiomas iniciales y seguir los principios de la lógica para establecer la geometría. Método del sistema deductivo. El sistema de materias matemáticas establecido mediante métodos axiomáticos generalmente consta de las siguientes cuatro partes:
①Enumeración de conceptos iniciales.
②Descripción de la definición.
③Enumeración de axiomas.
④Descripción y demostración del teorema.
Estos cuatro componentes no se describen ni desarrollan de forma independiente, sino que están entrelazados, interpenetrados y deducidos de forma interdependiente según principios lógicos.
En términos generales, el sistema de deducción geométrica establecido por métodos axiomáticos es siempre una unidad compuesta de contenido abstracto y estructura lógica. La base para determinar el sistema geométrico son los conceptos y axiomas iniciales. Las diferentes bases de axiomas determinan diferentes sistemas geométricos, como la geometría euclidiana, la geometría de Roche, la geometría de Riemann, la topología, etc.
La estructura lógica de un sistema geométrico depende principalmente del orden en el que se proponen los axiomas. Un mismo sistema geométrico puede producir diferentes estructuras lógicas debido a las diferentes disposiciones de los sistemas de axiomas. Por ejemplo, el "teorema del ángulo exterior" en geometría de la escuela secundaria y el "teorema ángulo-ángulo-lado" de la congruencia (contrato) de triángulos se proponen después del axioma de las paralelas, por lo que la inferencia del axioma de las paralelas "la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos" se puede demostrar fácilmente. Sin embargo, en el sistema de geometría euclidiana establecido por Hilbert, dado que estos dos teoremas fueron propuestos antes que el axioma de las paralelas, no se permite utilizar el teorema de la "suma de los ángulos interiores de un triángulo". Es decir, la misma geometría euclidiana puede tener múltiples estructuras lógicas. La prueba de una proposición geométrica no es universal. Es aplicable en una estructura lógica pero puede no serlo en otra estructura lógica.