2011, ciudad de Lanzhou, provincia de Gansu, respondió todas las preguntas de la pregunta 28 de Matemáticas del examen de ingreso a la escuela secundaria.
(1) Encuentre la fórmula analítica de la parábola.
(2) Lo mismo ocurre si el punto P se mueve del punto A al punto B a una velocidad de 2 cm/s a lo largo del lado AB.
El tiempo Q parte del punto B y avanza a lo largo de BC con una velocidad de 1cm/s hasta el punto C. Cuando uno de los puntos llega al punto final, el otro punto deja de moverse. Sea S=PQ2(cm2).
① Intente encontrar la relación funcional entre S y el tiempo de movimiento T, y escriba el rango de T
②Al tomar s, ¿hay un punto R en la parábola, de modo que? P, B, Q, ¿el cuadrilátero con R como vértice es un paralelogramo? Si existe, encuentre las coordenadas del punto r; si no existe, explique el motivo.
(3) Encuentre el punto m en el eje de simetría de la parábola, de modo que la diferencia entre las distancias de m a d y a sea la mayor, y encuentre las coordenadas del punto m.
Punto de prueba: Preguntas de síntesis de funciones cuadráticas; use el método de coeficientes indeterminados para resolver la función de resolución; coordine las características de los puntos en la imagen de la función cuadrática: use el método de coeficientes indeterminados para resolver la función de resolución cuadrática: teorema de Pitágoras; de paralelogramos.
Tema: Problemas de cálculo.
Análisis: (1) Suponga que la fórmula analítica de la parábola es y=ax2 bx c, encuentre las coordenadas de A, B y D y sustitúyalas. (2) ① Se puede encontrar a partir del teorema de Pitágoras; ② Supongamos que hay un punto R, que puede formar un paralelogramo con P, B, R y Q como vértices. Encuentre las coordenadas de P y Q. Hay tres situaciones. : A, B, C pueden encontrar las coordenadas de R basándose en las propiedades de un paralelogramo (3) El punto de simetría de A con respecto al eje de simetría de la parábola es B, y el punto de intersección de la línea recta que pasa por B y D y el eje de simetría de la parábola es m.
Solución: (1) Solución: Supongamos que la fórmula analítica de la parábola es y=ax2 bx c,
Cuando x=0, y =-2,
Las coordenadas del punto A son (0, -2),
La longitud del lado del cuadrado es 2,
∴Las coordenadas de B (2, -2), sustituye A (0, - 2), B(2, ﹣2) y D(4, ﹣) obtienen:
Además,
La solución es a=, b=﹣, c =﹣2.
∴La fórmula analítica de la parábola es,
Respuesta: La fórmula analítica de la parábola es:
(2) Solución: ①Según a la imagen, Pb = 2-2t , BQ=t,
∴S=PQ2=PB2 BQ2,
=(2﹣2t)2 t2,
Es decir, s = 5t2 ~ 8t 4 (0 ≤ t ≤ 1).
Respuesta: La relación funcional entre S y el tiempo de movimiento T es S = 5t2-8t 4, y el rango de valores de T es 0 ≤ t ≤ 1.
②Solución: Suponiendo la existencia del punto R, se puede formar un paralelogramo con vértices P, B, R y Q.
∵S=5t2﹣8t 4 (0≤t≤1),
Cuando S=, 5t2 ~ 8t 4 =, 20t2 ~ 32t 11 = 0, ∴
Obtén t=, t= (no relevante, no hablaré de eso),
En este momento, las coordenadas del punto p son (1, -2), y las coordenadas del punto q son ( 2, -).
Si el punto R existe, discútalo en diferentes situaciones:
a Suponga que r está a la derecha de BQ, entonces QR=PB, rq∨Pb, entonces la dirección transversal de r La coordenada es 3 y la ordenada de r es -.
R (3, -),
Sustituir, la izquierda y la derecha los lados son iguales,
En este momento, ∴, tenemos R(3, ∯) que satisface el significado del problema;
b Supongamos que r está a la izquierda de BQ, entonces PR=QB, PR∑QB,
Entonces: la abscisa de r es 1, la ordenada es -.
Es decir (1, -),
Sustituir, la izquierda y la derecha no son iguales, r no está en la parábola;
c Suponga que r está en PB A continuación, entonces PR=QB, pr∑QB, entonces: Sustituya R(1, -)
La izquierda y la derecha no son iguales,
∴R no está en la parábola. (1 punto)
Para resumir, guarde un poco de R(3, -) para satisfacer el problema.
Respuesta: Sí, las coordenadas del punto r son (3, -).
(3) Solución: Como se muestra en la figura, M'B=M'A,
El punto de simetría de ∵A con respecto al eje de simetría de la parábola es B. El punto de intersección de la recta que pasa por B y D y el eje de simetría de la parábola es m. >Supongamos que la fórmula analítica de la recta BD es y=kx b , sustituyendo las coordenadas de b y d para obtener:
Solución: k=, b=﹣,
∴ y= x﹣,
El eje de simetría de la parábola es x=1,
Sustituye x=1 para obtener y=﹣.
Las coordenadas de ∴M son (1, ∴);
Respuesta: Las coordenadas de m son (1, -).
Comentarios: Esta pregunta examina principalmente el uso del coeficiente indeterminado método para resolver las fórmulas analíticas de funciones lineales y funciones cuadráticas, el teorema de Pitágoras, las propiedades de los paralelogramos y los puntos en la gráfica de funciones cuadráticas y otros puntos de conocimiento. La clave para resolver este problema es utilizar este conocimiento de manera integral para los cálculos. Esta pregunta es completa y difícil.