El problema del cajón en la Olimpiada de Educación Primaria

El problema del cajón, también conocido como principio de Dirichlet, principio 1: si más de n elementos se dividen en n conjuntos de alguna manera, entonces al menos un conjunto debe contener al menos dos elementos. Principio 2: coloque más de m × n elementos en n cajones, entonces debe haber más de m 1 elementos en un cajón. El principio del cajón es una herramienta poderosa para demostrar la existencia de objetos que cumplen ciertas condiciones. La clave para aplicar el principio del cajón para resolver problemas es cómo construir el cajón.

Ejemplo 1: Hay muchas bolas de cristal rojas, amarillas y verdes en una bolsa grande. Si eliges tres bolas al azar a la vez y las eliges 11 veces, al menos dos de las bolas de cristal tendrán el mismo color. Explica por qué.

Análisis: Las llamadas condiciones de color de las dos bolas de cristal son exactamente iguales, es decir, si una toma 1 amarilla y 2 verdes, y la otra toma 1 amarilla y 2 verdes, entonces sus condiciones de color son exactamente las mismas. ¿Cómo explicarlo? Para ello es necesario construir un cajón, lo que se explica según el principio del cajón. Saca tres bolas al azar y habrá diferentes situaciones. Encontrémoslos a todos. Cada caja de color es un cajón, y hay tantos cajones como cajas de diferentes colores.

Solución: Coger tres bolas a la vez, con 10 condiciones de color diferentes. Piense en estas 10 condiciones de color diferentes como 10 cajones y 11 veces como 11 objetos. Según el principio del cajón 1, toma 10. En otras palabras, si la tomas 11 veces, el color de la bola de cristal debe ser exactamente igual al menos dos veces.

Ejemplo 2: Verificar que al menos dos de los 32 niños nacidos en junio de 1997 nacieron el mismo día.

Análisis: 1997 65438 octubre * * * 31 días Para responder a la pregunta anterior, también podríamos suponer que los 31 días en 65438 octubre son 31 cajones, y considerar 32 niños nacidos en enero. como 32 elementos. Según el conocimiento del principio del casillero, en un cajón hay al menos dos elementos.

Respuesta: Respuesta: Junio ​​5438. Entre los 32 niños nacidos en octubre, al menos dos nacieron el mismo día.

Ejercicio:

1. Verificación: Entre ocho números enteros diferentes, debe haber seis números enteros x1, x2, x3, x4, x5, x6, lo que hace (X1- X2) ( X3-X4) (X5-X6) son exactamente múltiplos de 105.

Análisis: Dado que 105=3×5×7, y 3, 5 y 7 son pares de primos mutuos, siempre que se puedan encontrar dos números, como x1 y x2, X1-X2 es múltiplo de 7, X3-X4 es múltiplo de 5 y X5-X6 es múltiplo de 3, es decir, se obtiene la pregunta.

Solución: Según el principio del casillero I, entre 8 enteros dados, debe haber dos enteros con el mismo resto después de dividirlos por 7. Suponiendo que estos dos números son x1 y x2, habrá 7 | (X1-X2), o expresado como: X1-X2 = 7k1 (donde k1). Entre los 6 números restantes, debe haber dos números con el mismo resto, ambos divididos por 5. Establecemos estos dos números como x3 y x4, de modo que x3 y x4 satisfagan: x3-x4 = 5k2 (k2 es un número entero distinto de cero). De los cuatro números restantes, se deben dividir dos números enteros entre 3 para obtener el mismo resto. Establecemos estos dos números como x5 y x6, de modo que X5-X6 = 3k3 (k3 es un número entero distinto de cero).

(x1-x2) (x3-x4) (x5-x6)

=7k1 5k2 3k3

=105×entero

Es decir, de ocho enteros diferentes dados, definitivamente podemos encontrar seis números, a saber, x1, x2, x3, x4, x5, x6, tales que (x1-x2) (x3-x4) (X5-X6 ) es un múltiplo de 105.

2. Hay cuatro bolas de diferentes colores en una bolsa. Si tocas dos bolas a la vez, el resultado debe ser el mismo 10 veces. ¿Al menos cuantas veces debes tocarlos?

Análisis: Cuando dos bolas tienen el mismo color, hay cuatro resultados diferentes. Cuando las dos bolas son de diferentes colores, puede haber hasta 3 2 1 resultados diferentes. Considere los 10 resultados diferentes anteriores como 10 cajones.

Solución: Se necesitan 10 toques para tener el mismo resultado. Según el principio 2 del casillero, se requieren al menos 9 × 10 1 = 91 (veces) de contacto.

3. Hay 40 diámetros en un círculo. Complete un número en cada extremo de cada diámetro. El número que rellenes podrás elegirlo del 1 al 20. Deben tener dos diámetros y la suma de los números en ambos extremos es igual.

Análisis: La dirección de hacer un cajón debe ser cuántas sumas diferentes habrá al llenar cualquier número del 1 al 20 en ambos extremos de cada diámetro. Utilice estos diferentes cajones. Luego compárelo con el número del diámetro y podrá sacar una conclusión.

Solución: La suma mínima de los dos extremos del diámetro es 2 y la máxima es 40. Por lo tanto, * * * hay 39 sumas diferentes. Piensa en estas 39 sumas diferentes como 39 cajones. El número del diámetro es 40, que es mayor que 39, por lo que debe haber dos diámetros y la suma de los números en ambos extremos es. igual.

4. ¿Puedes completar cualquiera de los tres números 1, 2 y 3 en cada espacio de una tabla cuadriculada de 8 filas y 8 columnas, de modo que cada fila, columna y diagonal sea la suma? ¿Cuáles de los números en la línea son diferentes de AC y BD? Explique su conclusión.

Análisis y solución: Hay 8 filas, 8 columnas y dos diagonales. * *Hay 18 "filas" en total, y cada "fila" está llena con 8 números. Para que la suma de los números de cada "fila" sea diferente, la suma de los números de cada "fila" no debe ser inferior a 18. Analicemos cuántas sumas diferentes se toman en cada "línea". Si los ocho números de una determinada "fila" se completan con el número más pequeño 1, se puede obtener la suma mínima de los números. Si los ocho espacios seguidos se llenan con el número más grande, 3, entonces la suma máxima de los números puede ser 24. Como los números y sus sumas son números enteros, existen 17 valores diferentes del 8 al 24***. Pensamos en la suma de 17 números con diferentes valores como 17 cajones, y las 18 "filas" como 18 elementos. Según el principio I del casillero, si se colocan 18 elementos en 17 cajones, entonces debe haber al menos dos elementos en un cajón. Es decir, al menos dos de los números de las filas 18 son iguales, por lo que es imposible hacer que los números de las filas 18 sean diferentes entre sí.

5. En un torneo único de todos contra todos con seis equipos (cada dos equipos juegan un juego), no importa cuándo se juegue el juego, debe haber dos equipos, y los dos equipos juegan la misma cantidad. competencia.

Análisis: No importa cuándo se juegue el juego, un juego de 0 a 5 es posible. Entonces, habrá cinco cajones diferentes.

Solución: 6 equipos y 5 cajones. Según el Principio 1 del cajón, no importa cuándo se juegue el juego, debe haber dos equipos jugando el mismo número de veces.