Razonamiento a partir del axioma de las paralelas

El sistema de axiomas de la geometría de Lobachevsky difiere del de la geometría euclidiana sólo en que el axioma geométrico de las paralelas "un par de líneas rectas dispersas están infinitamente lejos a ambos lados de su única perpendicular común" se reemplaza por "al menos una. Dos líneas rectas pueden ser paralelo a esta línea recta desde un punto fuera de la línea recta." Los otros axiomas son básicamente los mismos. Debido a la diferencia en los axiomas paralelos, a través del razonamiento deductivo se derivaron una serie de nuevas proposiciones geométricas con contenidos diferentes de la geometría euclidiana.

Sabemos que la geometría de Lobachevsky adopta todos los axiomas de la geometría euclidiana excepto un axioma de paralelas. Por lo tanto, cualquier proposición geométrica que no implique el axioma de las paralelas, si es cierta en la geometría euclidiana, también lo es en la geometría de Roche. En la geometría euclidiana, todas las proposiciones que involucran el axioma de las paralelas no son verdaderas en la geometría de Lobalchevsky.

Algunos hechos geométricos en la geometría de Lobalchevsky no son tan fácilmente aceptados como en la geometría euclidiana. Pero los matemáticos tienen razón al sugerir que podemos utilizar los hechos de la geometría euclidiana a la que estamos acostumbrados como "modelos" intuitivos para explicar la geometría de Roche.

En 1868, el matemático italiano Bertrami publicó un famoso artículo "Un intento de explicar la geometría no euclidiana", que demostró que la geometría no euclidiana se puede aplicar a superficies curvas en el espacio euclidiano (como cuasi- esferas) realizado en. En otras palabras, las proposiciones geométricas no euclidianas pueden "traducirse" a las correspondientes proposiciones geométricas euclidianas. Si no hay contradicciones en la geometría euclidiana, naturalmente no las habrá en la geometría no euclidiana.

La geometría riemanniana toma como casos especiales la geometría euclidiana y varias geometrías no euclidianas. Por ejemplo, si se define una medida (a es una constante), cuando a = 0, es geometría euclidiana común, cuando a > 0, es geometría elíptica y cuando a < 0, es geometría hiperbólica.

En matemáticas, la geometría euclidiana todavía domina; en física, se utiliza la geometría de Riemann porque, según la geometría de Riemann, la luz se mueve en una curva;