Secuencia conocida y

a(n+2)-a(n+1)=(1/3)[a(n+1)-a(n)],

{a( n+1)-a(n)} es una sucesión geométrica cuyo primer término es a(2)-a(1)=7/9 - 1/3 = 4/9 y cuya razón común es (1/3).

a(n+1)-a(n) = (4/9)(1/3)^(n-1) = 4/3^(n+1),

a(n+1)3^(n+1) = 3a(n)3^(n) + 4,

2+a(n+1)3^(n+1 ) = 3[2 + a(n)3^n]

{2+a(n)3^(n)} es el primer término 2+3a(1)=2+1=3 , Secuencia geométrica con razón común 3.

2+a(n)3^n = 3*3^(n-1)=3^n,

a(n ) = 1 - 2/3^n

na(n) = n - 2n/3^n

s(n) = 1-2/3 + 2-2* 2 /3^2 + ... +(n-1)-2(n-1)/3^(n-1) + n-2n/3^n

=1+2+ . ..+(n-1)+n - 2[1/3 + 2/3^2 + ... + (n-1)/3^(n-1) + n/3^n]

=n(n+1)/2 - 2t(n).

t(n) = 1/3 + 2/3^2 + ... + (n-1 ) /3^(n-1) + n/3^n

3t(n) = 1 + 2/3 + ... + (n-1)/3^(n-2) + n/3^(n-1)

2t(n) = 3t(n) - t(n) = 1 + 1/3 + ... + 1/3^(n-2 ) + 1/3^(n-1) - n/3^n

=[1-1/3^n]/(1-1/3) - n/3^n

= (3/2)[1-1/3^n] - n/3^n

s(n)=n(n+1)/2 - 2t(n )

=n(n+1)/2 -(3/2)[1-1/3^n] + n/3^n