¡Problemas de matemáticas de la escuela primaria! ! !
Análisis: Esta pregunta parece confusa. ¿Por dónde empezar? ¿Cuál es la clave? De hecho, entre los "dos números", uno de ellos es múltiplo entero del otro. Necesitamos construir un "cajón" de modo que dos números cualesquiera en cada cajón sean un múltiplo entero del otro. Sólo metiendo en un mismo cajón toda la serie geométrica cuyas razones comunes son números enteros positivos podremos obtener los conocimientos básicos de la clasificación de los números naturales: cualquier número entero positivo se puede expresar como el producto de un número impar por una potencia de 2, es decir es, si m∈N, K∈ N, N. Y esta representación es única, tal como 1 = 1× 2, 2=1×21, 3 = 3× 2,...
Demostración : Dado que cualquier entero positivo se puede representar como un número impar multiplicado por la potencia de 2, y esta expresión es única, podemos dividir el entero positivo 1-100 en los siguientes 50 cajones (porque hay 50 números impares en 1-100 ):
(1){1, 1×2, 1×22, 1×23, 1×24, 1×25, 1×26};
(2) {3, 3×2 , 3×22, 3×23, 3×24, 3×25};
(3){5, 5×2, 5×22, 5×23, 5 ×24};
(3){5, 5×2, 5×22, 5×23, 5×24};
p>(4){7, 7 ×2, 7×22, 7×23};
(5){9, 9×2, 9×22, 9×23};
(6){11; , 11×2, 11×22, 11×23};
……
(25){49, 49× 2};
(26 ){51};
……
(50){99}.
De esta forma, los números enteros positivos del 1 al 100 se meterán en estos 50 cajones sin duplicación ni omisión. Tome cualquier número 51 de 100, es decir, tome cualquier número 51 de 50 cajones. Según el principio del cajón, al menos dos de ellos deben pertenecer a un mismo cajón, es decir, uno de los cajones del (1) al (25). Evidentemente, cualquiera de los 25 cajones es igual.
Descripción:
(1) De la prueba anterior, podemos ver que este problema se puede extender a la situación general: de los números naturales 1-2n, para sacar arbitrariamente un número n 1, debemos Hay dos números, uno de los cuales es múltiplo entero del otro. Piénsalo, ¿por qué? Debido a que * * en 1-2n contiene n números impares de 1, 3,..., 2n-1, se pueden hacer N cajones y N 1> N, de acuerdo con el principio del cajón, la conclusión es inevitable. Al darle a n un valor específico, se pueden construir diferentes temas. En el Ejemplo 2, el valor de n es 50. Puedes preparar la pregunta opuesta, como por ejemplo: "¿Cuántos números se deben sacar de los primeros 30 números naturales (sin mirar estos números de ninguna manera) para asegurar que dos números se puede encontrar, el número mayor ¿Es múltiplo de un número menor? ”
(2) Las conclusiones de las dos preguntas siguientes son negativas (n es un número entero positivo). Piénsalo, ¿por qué?
① Si seleccionas cualquier número n 1 de 2, 3, 4,..., 2n 1, ¿necesitas tener dos números, uno de los cuales sea múltiplo entero del otro?
② Si seleccionas cualquier número n 1 de 1, 2, 3, ..., 2n 1, ¿existen necesariamente dos números y uno de ellos es múltiplo entero del otro?
¿Puedes dar un contraejemplo para demostrar que las conclusiones de las dos preguntas anteriores son negativas?
(3) Si el número arbitrario n 1 en las dos preguntas de (2) se incrementa en 1 y se cambia a un número arbitrario n 2, ¿su conclusión será positiva o negativa? ¿Puedes juzgar la evidencia?
Ejemplo 3. Tome 7 números cualesquiera de los primeros 25 números naturales y demuestre que debe haber dos números en el número tomado. El mayor de estos dos números no excede 0,5 veces el número decimal 65438.
Demostración: Divide los primeros 25 números naturales en los siguientes 6 grupos:
1; ①
2, 3; 4, 5, 6; ③
7, 8, 9, 10; ④
11, 12, 13, 14, 15, 16; 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, ⑥
Dado que los 7 números se seleccionan al azar de los primeros 25 números naturales, en el grupo ②~⑥ anterior, al menos dos números son de Seleccionados del mismo grupo, y el mayor de los dos números no exceda de 1,5 veces el decimal.
Descripción:
(1) Este problema se puede modificar de la siguiente manera: elija aleatoriamente 7 números de los primeros 25 números naturales y demuestre que hay dos números entre ellos, incluida su proporción. .
Evidentemente, debemos encontrar una manera de dividir los primeros 25 números naturales en 6 conjuntos (7-1 = 6), pero hay una restricción a la hora de clasificar: la razón entre dos números cualesquiera del mismo conjunto está incluido, por lo que la diferencia numérica de elementos en el mismo conjunto no puede ser demasiado grande. De esta manera, podemos usar la clasificación especial como se muestra arriba: Clasificación recursiva:
A partir de 1, es obvio que 1 solo se puede usar como 1 conjunto {1} solo. De lo contrario, no se cumple la restricción.
El único número que puede pertenecer al mismo conjunto que 2 es el 3, por lo que {2, 3} es un conjunto.
Mediante dicha recursividad, si varios números naturales consecutivos pertenecen a un mismo conjunto, y el número mayor no excede las veces del menor, se pueden obtener 6 conjuntos que cumplan las condiciones.
(2) Si seguimos el método recursivo en (1) para hacer "cajones" en secuencia, el séptimo cajón es
{26, 27, 28, 29, 30, 31 , 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39};
El octavo cajón es: {40, 465, 438 0, 42,…, 60};
El noveno cajón es: {61, 62, 63,…,90,91};
Luego podemos convertir el ejemplo 3 al siguiente tema de serie:
(1) Seleccione 6 números naturales de los 16 números naturales anteriores
(2) Seleccione 8 números naturales de los 39 números naturales anteriores
( 3) Seleccione 9 números naturales de los primeros 60 números naturales;
(4) Seleccione 10 números naturales de los 91 números naturales anteriores;…
Se puede obtener la misma conclusión: No son dos números y su razón es 】.
La proposición anterior (4) es la pregunta del examen del 49º Concurso de Matemáticas celebrado en Kiev, la antigua Unión Soviética. Si cambiamos los valores de los puntos finales del intervalo [] (p > q), podemos construir una serie de nuevos problemas.