Una breve historia de las matemáticas griegas
Influencia temprana
El nacimiento de las matemáticas griegas se benefició de la influencia de algunos países vecinos, especialmente Egipto. Durante la XXVI Dinastía de Egipto (685-525 a. C.), los puertos del Nilo se abrieron al comercio griego por primera vez, e importantes figuras griegas como Tales y Pitágoras visitaron Egipto con nuevas habilidades y conocimientos. Jonia no solo estuvo influenciada por Egipto, sino que también estuvo expuesta a la cultura y las ideas mesopotámicas a través de su vecino reino de Lidia.
Siglos más tarde, durante el período helenístico, la astronomía griega floreció después de que Alejandro Magno conquistara Oriente. El conocimiento astronómico de las culturas babilónica y caldea se puso a disposición de los griegos, quienes se beneficiaron de su uso sistemático. Esto llevó al avance de muchas herramientas matemáticas griegas, como el uso de un sistema numérico basado en 60, que permitió a los griegos dividir un círculo en 360 grados. Usar 60 como base de un sistema matemático no es un problema menor: 60 es un número con muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60), por lo que Es más fácil de manejar fracciones.
La influencia egipcia en las matemáticas griegas también se puede ver en la etimología de términos matemáticos griegos clave. El famoso geógrafo griego Estrabón explicó el origen de la palabra geometría (literalmente "medición de la tierra") de la siguiente manera:
Las inundaciones del Nilo quitaron y agregaron tierra repetidamente, cambiando el diseño del paisaje, ocultando los signos que separan la tierra de una persona de la de otra. Había que repetir las mediciones, lo que decían que era el origen de la geometría... (Estrabón, Geografía 17.1.3).
Primeros logros
¿Cómo lograron los griegos avanzar su conocimiento matemático a un nivel superior al de los egipcios, una civilización mucho más antigua? Ya en el año 3500 a. C., Egipto (y Babilonia) tenían algunos de los mejores cálculos del mundo. Los egipcios utilizaron principalmente sus conocimientos matemáticos con fines de ingeniería; sin ellos, la construcción de la Gran Pirámide y otros impresionantes monumentos no habrían sido posibles.
Lo que los griegos extrajeron de las matemáticas egipcias fueron principalmente reglas generales con aplicaciones específicas. Por ejemplo, los egipcios sabían que un triángulo con una relación de longitud de lados de 3:4:5 es un triángulo rectángulo. Esto se debe a que, para formar un ángulo recto, los pragmáticos agrimensores egipcios utilizaron una cuerda para dividirlo en doce partes iguales, formando un triángulo con tres partes en un lado, cuatro partes en un lado y cinco partes en el otro lado. Encuentre un ángulo recto en la unión del lado de tres elementos y el lado de cuatro elementos. Esta es una forma muy práctica de formar ángulos rectos. No se registra cómo se les ocurrió a los egipcios este método. Tampoco tenemos constancia de un análisis más detallado de esta cuestión en Egipto. Los egipcios eran demasiado prácticos para analizar esto en detalle. Al parecer, su interés reside únicamente en la aplicación práctica de este método. Un griego de Jonia miró este triángulo 3:4:5 y vio algo que otros parecieron no notar. Su nombre era Pitágoras. Amplió el problema del triángulo 3:4:5 hasta su límite lógico, desencadenando una revolución intelectual.
Pitágoras (5765438 a.C. 0-497 a.C.) fue el líder y fundador de un movimiento especial, y sus seguidores fueron llamados Pitágoras. Los miembros de esta escuela de pensamiento estaban convencidos de que el universo podía describirse mediante números enteros: 1, 2, 3, 4, etc. Basándose en el triángulo 3:4:5 conocido por los egipcios, Pitágoras propuso un teorema matemático que lleva su nombre: en un triángulo rectángulo, cuando las áreas de los dos cuadrados que se encuentran en los lados más pequeños se suman, son iguales al área de el cuadrado que se encuentra en su lado más largo, el lado opuesto al ángulo recto (la hipotenusa). Es importante señalar que los griegos originalmente expresaron este teorema en términos de objetos geométricos en lugar de números.
¿Por qué es tan importante este teorema? Porque demuestra el desarrollo de algunas tecnologías importantes.
En la base de la tecnología abstracta, el descuido de las consideraciones físicas se considera meramente accidental. No importa si es cuerda, madera o cualquier otra cosa. Todas estas son propiedades de las "líneas rectas" conectadas por ángulos, nada más. Estas líneas son simplemente construcciones mentales, las únicas entidades necesarias para resolver un problema. El proceso de abstracción consiste en eliminar todos los elementos no esenciales y considerar sólo los elementos básicos.
Las técnicas de generalización consisten en desarrollar principios generales con una amplia aplicación, en lugar de reglas con un propósito específico. El teorema propuesto por Pitágoras se aplica no sólo al triángulo 3:4:5, sino también a cualquier otro triángulo rectángulo, independientemente de su tamaño. Además, el teorema establece que un triángulo es rectángulo si y sólo si el cuadrado del lado más largo coincide con la suma de los cuadrados de los otros dos lados: el ángulo recto está en la intersección de los dos lados más cortos.
El arte del razonamiento deductivo. Se trata de tener un conjunto inicial de enunciados o premisas generales y llegar a una conclusión determinando su significado lógico.
Matemáticas en el sentido de argumentación y deducción. A través de una combinación de razonamiento deductivo y generalización, las matemáticas ya no se consideran un conjunto estático de reglas, sino un sistema dinámico capaz de un desarrollo complejo.
Atribuimos estas importantes innovaciones griegas en matemáticas a Pitágoras, o quizás a sus seguidores.
La belleza y la armonía que Pitágoras encontró en las matemáticas eran tan poderosas que la ciencia griega finalmente se vio contaminada por fuertes sesgos matemáticos. En otras palabras, los griegos llegaron a creer que el razonamiento deductivo, que había tenido un éxito increíble en matemáticas, era la única forma aceptable de adquirir conocimientos de otras materias. Se subestimó la observación, la deducción se convirtió en reina y el conocimiento científico griego llegó a callejones sin salida en casi todas las ramas excepto en las ciencias exactas. Esta sobreestimación de las matemáticas se desprende de las palabras de Galeno:
El tiempo cambia y detiene la tristeza y otras emociones, y el mero paso del tiempo convence a cualquiera de que ya ha tenido suficiente "Dos dos son cuatro" o " ¿Todos los radios de un círculo son iguales" y hacer que cambie de opinión sobre esas creencias y las abandone? (Galeno, Sobre Hipócrates y Platón 4.7.43)
La primera crisis matemática: la raíz cuadrada de 2
Después de establecer el teorema de Pitágoras, surgió la siguiente pregunta: Si Hay un cuadrado, cada lado tiene una unidad de longitud, tenemos un segundo cuadrado, el área es el doble que la del primer cuadrado, ¿cuál es la longitud del lado del segundo cuadrado? ¿Comparar los lados del cuadrado con los lados del primer cuadrado? Aquí es donde entra en juego el problema de la raíz cuadrada de 2.
Hoy sabemos que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional, lo que significa que no puede representarse mediante ninguna fracción simple. Sin embargo, los griegos no se dieron cuenta de esto, por lo que han estado tratando de resolver este misterio y obtener una respuesta válida. Los pitagóricos hicieron todo lo posible para resolver este problema y finalmente se enfrentaron a la realidad de que la razón entre dos números enteros no puede representar la raíz cuadrada de 2.
Los pitagóricos guardaban cuidadosamente el secreto de los números irracionales. La razón es que este secreto creó una especie de crisis en las raíces de la creencia pitagórica. Hay un relato interesante (cuya exactitud histórica es incierta) de un miembro de los pitagóricos que aparentemente reveló secretos a personas ajenas a la hermandad. El traidor fue arrojado a aguas profundas y se ahogó. A este evento a veces se le llama el primer mártir de la ciencia. Sin embargo, también podemos ver a este hombre como uno de los muchos mártires de la superstición, ya que la raíz de este asesinato no fue el aspecto científico de los números irracionales, sino sus corolarios religiosos que eran vistos como base del misticismo pitagórico.
La crisis de los números irracionales impulsó a la gente a crear métodos ingeniosos para aproximar la raíz cuadrada de 2. Uno de los mejores ejemplos es el método descrito en la siguiente tabla:
Después de muchos intentos fallidos de encontrar la raíz cuadrada de 2, los griegos no tuvieron más remedio que aceptar que la aritmética no puede ser la base de las matemáticas. Tuvieron que buscar en otra parte, así que aprendieron geometría.
Sistema Euclidiano
Euclidiano (325-265 a.C.) fue un antiguo matemático griego que vivió en Alejandría.
Conocía todos los trabajos matemáticos griegos que le habían precedido, por lo que decidió organizar todos estos conocimientos en una obra coherente. Este libro, al que llamamos Elementos, es el segundo libro más vendido de la historia, sólo detrás de la Biblia.
Los elementos se recuerdan principalmente por su forma geométrica. El primer libro comienza con una definición diferente de geometría básica:
1. Este punto no tiene sentido.
2. Una línea es un largo sin ancho.
3. El punto final de una recta es un punto.
4. Una línea recta es una línea recta que está alineada con un punto sobre sí misma.
5. Una cara sólo tiene largo y ancho.
6. El final de la superficie es una línea.
(Euclidean, definiciones 1 a 6)
El contenido del elemento no tiene originalidad (es solo un compilador). Pero la secuencia proposicional y la estructura lógica general de la obra son en gran medida creación de Euclides. Esta es sin duda una de las obras más importantes e influyentes de la historia y una obra maestra de la tradición intelectual griega.
Desde la perspectiva del conocimiento científico moderno, los elementos tienen algunos defectos. En primer lugar, se basa enteramente en la deducción (sacar conclusiones de un conjunto de generalizaciones supuestamente evidentes), en la que no hay rastro de inducción (a partir de la observación de hechos específicos de los cuales se extraen generalizaciones). En segundo lugar, sigue una secuencia lógica en la que todos los teoremas pueden demostrarse utilizando teoremas previamente demostrados. Esta secuencia lógica nos lleva a un conjunto de supuestos iniciales que no pueden ser probados. Euclides consideraba que estos supuestos eran incuestionables, es decir, que eran tan obvios que no había necesidad de probarlos. La analogía de esta estructura es la de una cadena, cada eslabón necesita estar conectado a otro eslabón, pero el eslabón inicial simplemente cuelga y no tiene dónde conectarse.
El problema de Tilián
Además de la raíz cuadrada de 2, también existe un famoso problema que preocupaba a los griegos: la repetición de cubos. La leyenda dice así:
El oráculo de Apolo dijo a la gente de Delfos que para deshacerse de la plaga debían construirle un altar del doble de tamaño del existente. (Teón de Esmirna, Sobre la utilidad de las matemáticas de Macchion)
El arquitecto no sabía cómo solucionar este problema. La forma del altar es un cubo. La primera idea que podría venir a la mente es simplemente duplicar el tamaño de los cuatro lados del altar, pero esto daría como resultado que el altar fuera ocho veces más grande que el original, no dos veces. La forma correcta de abordar esta pregunta es preguntar: Si queremos que el nuevo altar tenga el doble del volumen del altar original, ¿cuánto debe medir cada lado del nuevo altar? Se trata de determinar el valor de la raíz cúbica de 2, que también es un número irracional. Este problema causa tanta confusión en geometría como la raíz cuadrada de 2 causas en aritmética.
Los matemáticos griegos, incluido Platón, se plantearon esta pregunta y la estudiaron durante siglos, produciendo muchos trabajos admirables. El problema central aquí es poder determinar la raíz cúbica de 2.
La importancia de la rigidez matemática en las matemáticas griegas
Los griegos entendieron algo que los egipcios no podían: la importancia del rigor matemático. Por ejemplo, los antiguos egipcios determinaron que el área de un círculo era igual al área de un cuadrado cuya longitud de lado era 8/9 del diámetro del círculo. A partir de este cálculo, el valor de la constante matemática pi es 256/81. Este es un cálculo muy preciso (aproximadamente la mitad del error), pero es matemáticamente incorrecto. Pero en el caso del proyecto egipcio, un margen de error del medio por ciento no importa, de lo contrario su impresionante monumento se habría derrumbado hace mucho tiempo. Sin embargo, ignorar este error del medio por ciento es ignorar una propiedad fundamental del valor verdadero de pi, que es que no existe una fracción para expresarlo. También es un número irracional.
Los egipcios también redondeaban otros números, como la raíz cuadrada de 2 (la fracción es 7/5). Al utilizar valores redondeados, los egipcios no se dieron cuenta de la irracionalidad de estos números. Los griegos estaban obsesionados con el rigor matemático; para ellos, el redondeo no era suficiente. Reconocen la precisión del lenguaje matemático.
Al no abandonar su búsqueda de la precisión matemática, los griegos desarrollaron un conocimiento matemático que, junto con la astronomía, es quizás el monumento más admirable a sus logros intelectuales.