Vectores planos y fórmula de cuatro centros de triángulos
Algunas conclusiones: Los siguientes son todos vectores.
1 Si P es el centro de gravedad de △ABC, PA+PB+PC=0.
2 ¿Qué pasa si p es el PA de △ABC? ¿PB=PB? PC=AP? PC (producto interno)
3 Si P es aPA+bPB+cPC=0 dentro de △ABC (abc tiene tres lados).
4 ¿Qué pasa si p es el centro exterior de △ABC |PA|? =|PB|? =|PC|?
(AP significa que el vector AP |AP| es su módulo)
5 AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|), λ∈[0, + ∞), entonces la recta AP pasa por el centro de △ABC.
6 AP = λ (AB/| AB | COSB+AC/| AC | COSC), λ ∈ [0, +∞) pasa por el centro de gravedad.
7 AP=λ(AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC), λ∈[0, +∞)
O AP=λ(AB+AC ), λ∈[0, +∞) pasa por el centro de gravedad.
8. Si aOA=bOB+cOC, entonces 0 es el punto de intersección del centro de masa de ∠A y las bisectrices de ∠B y c.
A continuación se presentan pruebas relevantes de algunas conclusiones.
1.
o es el interior del triángulo si y sólo si vector aOA + vector bOB + vector cOC = vector 0.
Suficiencia:
Se sabe que vector aOA + vector bOB + vector cOC = vector 0,
Según la suma de vectores, extender la intersección CO AB a d:
OA=OD+DA, OB=OD+DB, sustituir lo conocido:
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
p>
Debido a la conexión entre OD y OC***, se puede configurar OD=kOC.
La fórmula anterior se puede reemplazar por el vector de (ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0,
Las líneas del vector DA y DB***, el vector OC y el vector DA y DB no son líneas ***,
Por lo tanto, solo puede haber: vectores ka+kb+c=0, aDA+bDB=0,
Según aDA+bDB=0 El vector de , la relación de las longitudes de DA y DB es b/a,
Entonces CD es la bisectriz de ∠ACB, y se puede demostrar que la otra dos también son bisectrices de ángulo.
Necesidad:
Como todos sabemos, O es el centro del triángulo.
Supongamos que BO y AC se cruzan en e, CO y AB se cruzan en f. ,
o es el corazón
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
La recta paralela que pasa por a como CO y la línea de extensión de B0 se cruza en n, la línea paralela que pasa por a cuando BO se cruza con la línea de extensión de c0 en m,
Entonces el cuadrilátero de Omán es un paralelogramo.
Según la ley del paralelogramo, se concluye que
vector OA
=vector OM+vector ON
=(OM/ CO)*vector CO+(ON/BO)*vector BO
=(AE/CE)*vector CO+(AF/BF)*vector BO
=(c/a) *vector CO+( b/a)*vector BO∴a*vector OA=b*vector BO+c*vector CO
∴a*vector OA+b*vector OB+c*vector OC=vector 0.
2.
Se sabe que △ABC es un triángulo oblicuo, O es un punto fijo en el plano donde se encuentra △ABC y el punto móvil P satisface el vector OP = OA+Ingrese {(AB/ | AB | 2 * Sin2b)+AC/(| AC | 2 * Sin2c)}.
Encuentra el centro vertical de la trayectoria del punto P que pasa por el triángulo.
OP = OA+enter {(ab/| ab | 2 * sin2b)+AC/(| AC | 2 * sin2c)},
OP-OA = enter {( ab/| ab | 2 * sin2b)+AC/(| AC | 2 * sin2c)},
AP = ingresa {(ab/| ab | 2 * sin2b)+AC/(| AC | 2 * sin2c)},
¿AP? BC= ingrese {(AB? BC/|AB|^2*sin2B)+AC? antes de Cristo/(|AC|^2*sin2C)},
AP? BC= ingrese {|AB|? | antes de Cristo | cos(180-b)/(|ab|^2*sin2b)+| |BC| cosC/(|AC|^2*sin2C)},
AP? BC= introduzca {-|AB|? | antes de Cristo | porque b/(|ab|^2*2sinb porque b)+| |BC| cosC/(|AC|^2*2sinC cosC)},
AP? BC = ingresa {-| BC |/(| AB | * 2 sinb)+| BC |/(| AC | * 2 sinc)},
Según el teorema del seno: |AB|/sinC =| AC|/ sinB, entonces |AB|*sinB=|AC|*sinC.
∴-|bc|/(| ab | * 2 sinb)+| BC |/(| AC | * 2 sinc)= 0,
¿Eso es AP? BC=0,
La trayectoria del punto P pasa por el centro vertical del triángulo.
3.
OP = OA+λ(AB/(| AB | sinB)+AC/(| AC | sinC))
OP-OA =λ(AB/(| AB | sinB)+AC/(| AC | sinC))
AP =λ(AB/(| AB | sinB)+AC/(| AC | sinC))
AP y AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC***
Según el teorema del seno: |AB|/sinC=|AC|/sinB,
p>
Entonces |AB|sinB=|AC|sinC,
Entonces AP y AB+AC***
AB+AC pasa por el punto medio D de BC, por lo tanto, la trayectoria del punto P también pasa por el punto medio D, y el punto p pasa por el centro de gravedad del triángulo.
4.
OP = OA+λ(ABC OSC/| AB |+ACcosB/| AC |)
OP = OA+λ(ABC OSC /| AB |+ACcosB/| AC |)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP? BC=λ(AB?BC cosC/|AB|+AC?BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|?| BC | cos(180-B)cosC/| AB |+| CA |? |BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| >
El vector AP es perpendicular al vector BC,
La trayectoria del punto p es demasiado vertical.
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/| AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB| +AC/|AC|)
AB/|AB| y AC/|AC| son los vectores de longitud unitaria en las direcciones AB y AC,
Los vectores unitarios de los vectores AB y AC y vectores,
Por ser vectores unitarios, las longitudes de sus módulos son todos iguales, formando un rombo.
El vector suma de los vectores unitarios de los vectores AB y AC es la diagonal del rombo.
Es fácil saber que es la bisectriz del ángulo, por lo que pasa la trayectoria del punto P. a través del corazón.