Se sabe que la suma de los primeros n términos de la secuencia {an} es n al cuadrado de sn, a1=a, an+1=2sn+4

Se sabe que la suma de los primeros n términos de la secuencia an es Sn, se sabe que a1=a, a(n+1)=2Sn+4^n (N es un entero)

(1) Suponga que bn=Sn-4^n, verifique: la secuencia bn es una secuencia geométrica

(2) Si a=1, encuentre los primeros n términos y Sn de la secuencia an

(3) Si a(n+1)≥an, n es un entero positivo, encuentre el rango de valores del número real a

Solución

(1)

a1=a

a2=2S1+4^1=2a+4

a(n+1) =2S(n)+4^n

a(n)=2S(n-1)+4^(n-1),n>=2

a(n +1)-a(n)=2a(n)+3 *4^(n-1)

a(n+1)=3a(n)+3*4^(n-1 )

a(n+1)- 3*4^n=3[a(n)-3*4^(n-1)]

{a(n) -3*4^(n-1)} es una secuencia geométrica, el primer término a2-12=2a-8, razón común 3

a(n)-3*4^(n-1 )=(2a-8)*3^(n-2)

a(n)=3*4^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2)

n>=2

S(n)=a+3[4+4^2+4^3+...+4^(n-1)]+ (2a-8)(1+3+3^2+3^ 3+...+3^(n-2)]

=a+[4^n-4]+(a- 4)[3^(n-1)-1]

=4^n+(a-4)*3^(n-1)

Cuando n=1, S (1)=a también es adecuado

∴S (n)=4^n+(a-4)*3^(n-1)

b(n)=S (n)-4^n=(a-4)*3^( n-1) es obviamente una secuencia geométrica

(2)

Sabemos por (1)

S(n)=4^n+(a-4 )*3^(n-1)=4^n-3^n

(3)

a1=a

a2=2a+4

a2>=a1,2a+4>=a,a>=-4

n> =2

a(n)=3*4^ (n-1)+(2a-8)*3^(n-2)

a(n+1) =3*4^n+(2a-8)*3^(n-1 )

a(n+1)>=a(n)

3*4^n+ (2a-8)*3^(n-1)>=3*4 ^(n-1)+(2a-8)*3^(n-2)

9*4^( n-1)+4(a-4)*3^(n-2 )>=0

a-4>=-9*4^(n-2)/3^(n- 2)=-9*(4/3)^(n-2)

-9*(4/3)^(n-2) es una función decreciente, por lo que solo necesita satisfacer

a-4>=-9(4/3)^(2 -2)=-9,a>=-5

∴a>=-4