Muchas causas y un efecto: uso de este método para enseñar notas de lectura de matemáticas en la escuela primaria 13

? ——"Cómo enseñar bien matemáticas en la escuela primaria" notas de lectura 13

? Gira el rectángulo alrededor de un borde para obtener un cilindro. Del mismo modo, dividir este rectángulo en dos da como resultado un triángulo rectángulo y girarlo alrededor de su borde derecho da como resultado un cono. Según nuestra experiencia intuitiva, el triángulo antes de la rotación tiene la mitad del área del rectángulo y giran simultáneamente. Por tanto, el volumen del cono debe ser la mitad que el del cilindro. Pero realmente, ¿por qué no la mitad? Resulta que hay una relación causal involucrada. Algunos fenómenos tienen una causa y un efecto, y otros tienen múltiples causas y un efecto. Entonces, ¿cómo describir matemáticamente la causalidad?

? En cierto sentido, las matemáticas son una ciencia de "relaciones". Por ejemplo, conocer el número natural "2" en realidad significa conocer su relación con el "1". La llamada fórmula del área rectangular en realidad expresa la relación entre el área y los lados de un rectángulo.

En general, las relaciones se dividen en dos categorías. La primera categoría se llama relación de "unión y división", y la relación específica de conceptos pertenece a esta categoría. La segunda categoría se llama "dependencia y limitaciones", y la causalidad entra en esta categoría. Cuando se estudian las relaciones de causa y efecto, a menudo hay dos formas de pensar. Una es buscar el resultado a través de la causa, lo que se llama "buscar el resultado por la causa"; la otra es buscar la causa a través del resultado, lo que se llama "buscar la causa a través del resultado".

? Por ejemplo, para un cuadrado, si usar la longitud del lado se llama "encontrar la causa y encontrar el resultado", entonces sabes que usar el perímetro para encontrar la longitud del lado es "encontrar la causa y encontrar el resultado". Estos dos problemas no son difíciles de resolver, porque se trata de un problema de "una causa, un efecto". Porque los cuatro lados de un cuadrado son iguales. )

? Para un rectángulo, si conocemos el largo y el ancho del rectángulo, entonces podemos encontrar el perímetro, por otro lado, si conocemos el perímetro de un rectángulo, si queremos encontrar el largo y el ancho del rectángulo, ahí; Serán muchas. La respuesta es incierta porque se trata de "dos causas y un efecto".

? A partir de esto, pienso en la etapa introductoria de la conferencia de Fujian Luo sobre "Comprensión de los círculos": primero muestre los gráficos planos de rectángulos y cuadrados, y luego pregunte cuántos datos se necesitan para describir sus tamaños y vuelva a preguntar cuántos datos necesita; ¿Crees que es necesario para describir el tamaño de un círculo? Se trata de la relación entre varias causas y varios resultados. En la práctica diaria, a menudo aparecen este tipo de preguntas de juicio, lo que confunde a los niños. Por ejemplo:

1. Cuanto mayor es el perímetro de un cuadrado, mayor es su área. (√)

2. Cuanto mayor es el perímetro del rectángulo, mayor es el área. (×)

Cuanto mayor es la circunferencia, mayor es el área. (√)

? A veces se intercambian área y perímetro para hacer una pregunta verdadera o falsa. Se puede encontrar que existen varias causas y efectos, que requieren una comprensión matemática muy alta de los niños. En la enseñanza real, los niños que no aprenden mediante la comprensión a menudo se confunden. Por supuesto, los niños que realmente entienden dirán: "Un círculo y un cuadrado pueden determinarse mediante una condición, mientras que un rectángulo requiere que dos factores se ajusten entre sí para resolver el problema". comprensión, y después de comprender las matemáticas Sólo entonces podrás tener ideas claras.

? Volviendo a la pregunta de por qué el volumen de un cono con bases iguales y alturas iguales no es la mitad que el de un cilindro, se trata esencialmente de un problema de dos causas y un efecto. En otras palabras, no sólo se deben considerar los productos iguales antes de la rotación, sino también la distancia del cuerpo giratorio al eje de rotación.

1. ¿Explicación preliminar

? Como se muestra en la Figura 7-24 arriba, la longitud del lado BC del rectángulo es de 5 cm y la longitud del lado AB es de 3 cm. Suponiendo que el rectángulo ABCD en la figura 7-24 se gira alrededor del lado BC para obtener un cilindro, no es difícil calcular que el volumen del cilindro es 75π. Suponga que el rectángulo ABCD en la figura 7-24 se gira alrededor del lado BC. lado BC para obtener un cilindro, y el volumen del cilindro se puede calcular en 45π. Encontramos que el mismo rectángulo gira alrededor de lados diferentes y tiene volúmenes diferentes. Esto muestra completamente que el tamaño del área antes de la rotación no es la única razón que restringe el tamaño del volumen después de la rotación. La superficie de rotación también está relacionada con la distancia desde el eje de rotación. Si el volumen rotado se considera el resultado de una causalidad, entonces este resultado no es una causa, al menos las dos causas anteriores.

? Pappus, un matemático griego antiguo tardío, registró un teorema en su "Colección Matemática": si una figura plana cerrada gira alrededor de una línea recta de la figura, el volumen del cuerpo giratorio es igual al área de la superficie inicial multiplicada por la circunferencia del centro de gravedad de largo. Este teorema establece que el volumen de un cuerpo en rotación es el producto de las dos cantidades siguientes: la primera es el área antes de la rotación; la segunda es la longitud circunferencial del centro de gravedad de la superficie en rotación; La longitud del círculo está determinada por la longitud del radio, por lo que se puede decir que el volumen del cuerpo giratorio está determinado por el área de la superficie giratoria y la distancia desde el centro de gravedad de la superficie giratoria a el eje de rotación.

2. El centro de gravedad de la carta

El centro de gravedad de la figura plana mencionada aquí es un concepto de física. Tome el rectángulo ABCD en la figura anterior como ejemplo (AB=3, BC=5). La distancia desde el centro de gravedad al lado BC y 0,5 cm es 1,5 cm, y la distancia desde el centro de gravedad al lado AB es 2,5 cm. Si este rectángulo gira alrededor del lado BC, entonces la circunferencia de rotación del centro de. la gravedad según el teorema de Pappus es "2×1,5×π =3π", el área del rectángulo es ". Si este rectángulo se gira alrededor del borde AB, el volumen del cilindro girado también es (2×2,5×π) ×(3×5)=75π. Los ejes de rotación no están a la misma distancia.

Un cono se forma al girar un triángulo rectángulo alrededor de un lado recto, así que veamos el centro de gravedad de. la transformación del triángulo

(los niños de sexto grado pueden entender este proceso de transformación de área), el centro de gravedad de un triángulo se puede resumir en dos oraciones:

(1) El centro de la gravedad de cualquier triángulo es la intersección de tres líneas medias;

(2)El centro de gravedad de cualquier triángulo está ubicado en la bisectriz de cada línea media cerca de la base.

3. de la pregunta

Como se muestra en la figura anterior, la diagonal superior es la línea AC, la línea central DF del triángulo ABD y la línea central BE del triángulo BDC se suman al rectángulo. la distancia desde el centro de gravedad n al eje de rotación BC es el segmento de línea NH La longitud de , la distancia desde el centro de gravedad m al eje de rotación BC es la longitud del segmento de línea MG.

Utilizando el conocimiento de "los lados correspondientes de triángulos semejantes son proporcionales" en la escuela secundaria, podemos saber que la longitud del segmento de línea NH es un tercio del segmento de línea AB y la longitud del segmento de línea MG es dos. -tercios de AB, entonces la distancia desde el centro de gravedad del triángulo ABD al eje de rotación es el doble que la del triángulo BDC

? entonces la circunferencia del centro de gravedad del triángulo ABD es el doble que la del triángulo BDC. Las áreas de los dos triángulos son iguales y el radio de rotación del centro de gravedad es 2 veces. El volumen girado del triángulo ABD es 2 veces. el volumen girado del triángulo BDC Si el volumen girado del triángulo BDC es 1, entonces el volumen girado del triángulo ABD es 2, por lo que el volumen total del cilindro girado del rectángulo ABCD es el triángulo BDC. veces, por el contrario, el volumen del cono es un tercio del volumen del cilindro. Esto no sólo explica la pregunta "por qué no la mitad", sino que también explica la pregunta "por qué no un tercio".

Debido a que el centro de gravedad de una figura es similar al de la escuela secundaria, todavía es difícil para los estudiantes de primaria entenderlo completamente. Por supuesto, en la universidad podemos usar el cálculo para comprender mejor la fórmula del volumen de una figura. cono . Sin embargo, la falta de conocimiento no impide que los estudiantes de primaria exploren la verdad detrás del conocimiento. Las matemáticas deben alentar a los niños a explorar y profundizar en...