Análisis y soluciones de matemáticas para estudiantes de segundo año

2. El orden {an}, según el significado de la pregunta, an = √[2a(n-1)]=√2 *√a(n-1).

a(n-1)=√2*√a(n-2)

......

a3=√2*√ a2

a2=√2*√a1

Porque a1 = √ 2

a3 lt√2*√2=2

......

An lt√2*√2=2

Entonces 0

an-a(n-1)=an-( an^2)/2=(-1/2)*(an-1)^2 1/2

Porque 0

{an} es una secuencia monótonamente creciente.

Según el teorema de que una secuencia monótona acotada debe tener un límite, el límite de la secuencia {an} existe.

Supongamos que el límite de la secuencia {an} es a.

an^2=2a(n-1)

Cuando n->∞, A^2 = 2a, A=2 o 0 (truncado)

Entonces el límite de la secuencia {xn} es 2.

3. a[x(n-1)-1/a]^2 1/a

......

x3=-a(x2-1/a)^ 2 1/a

x2=-a(x1-1/a)^2 1/a

Porque 0

0 ltx3 lt1/a

......

0 ltxn lt1/a

Entonces {xn} es una secuencia acotada.

x(n 1)-xn=-axn^2 xn=-a(xn-1/2a)^2 1/4a

Porque 0

Entonces {xn} es una secuencia monótonamente creciente.

Según el teorema de que una secuencia acotada monótona debe tener un límite, la secuencia {xn} converge.

Supongamos que el límite de la secuencia {an} es a.

x(n 1)=-axn^2 2xn

Cuando n->∞, a =-aa 2 2a, A=1/a o 0 (omitido).

Entonces el límite de la secuencia {an} es 1/a.