El significado geométrico de los números complejos

Los términos "números complejos" y "números imaginarios" se introdujeron cuando la gente resolvía ecuaciones. Para encontrar las raíces de ecuaciones cuadráticas y cúbicas de una variable, te encontrarás con el problema de encontrar la raíz cuadrada de un número negativo. En 1545, el matemático italiano Cardano (1501 ~ 1576) estudió por primera vez los números imaginarios en su libro "La Gran Técnica" y realizó algunos cálculos. En 1572, el matemático italiano Rafaclbombclli (1525 ~ 1650) utilizó oficialmente los términos "números reales" y "números imaginarios". Después de eso, el matemático alemán Leibniz (1646 ~ 1716), el matemático suizo Euler (1707 ~ 1783) y el matemático francés Abramov. 1667~1754) y otros también estudiaron la relación entre números imaginarios y funciones logarítmicas, funciones trigonométricas, etc. Además de resolver ecuaciones, también lo utilizaron en cálculo y otros aspectos, y obtuvieron muchos resultados valiosos, haciendo que algunos problemas matemáticos complejos fueran simples y fáciles de resolver. Alrededor de 1777, Euler utilizó por primera vez I para representar la raíz cuadrada de -1. En 1832, el matemático alemán Gauss (1777 ~ 1855) introdujo por primera vez el concepto de números complejos. Los números complejos se pueden representar con +BI. Gauss también proporcionó una correspondencia uno a uno entre números complejos y puntos en el plano complejo, dando una interpretación geométrica de los números complejos. Pronto, la gente unió números complejos con vectores planos y los utilizó ampliamente en ingeniería eléctrica, mecánica de fluidos, teoría de vibraciones y teoría de alas. Luego se estableció la teoría de la "función de variable compleja" con números complejos como variables. Esta es una rama nueva y poderosa de las matemáticas, por lo que debemos comprender profundamente el principio de "los números imaginarios no están vacíos".

Jerome Cartan (1501-1576), un erudito de Milán, Italia en el siglo XVI, publicó una solución general a la ecuación cúbica en su libro "El arte importante" en 1545, que más tarde se llamó " La fórmula de Cartan" ". Fue el primer matemático en escribir una fórmula para la raíz cuadrada de un número negativo. Cuando discutían si era posible dividir 10 en dos partes para que su producto fuera igual a 40, escribió la respuesta como =40. Aunque consideró que la suma de las dos expresiones carecía de sentido, era ficticia e ilusoria, dividió 10 en dos partes e igualó su producto a 40. El matemático francés Descartes (1596-1650) dio el nombre de "números imaginarios" e hizo que los "números imaginarios" correspondieran a los "números reales" en geometría (publicado en 1637). Desde entonces, los números imaginarios se han extendido.

Se descubrió una nueva estrella en el sistema numérico, los números imaginarios, que está provocando el caos en el mundo matemático. Muchos grandes matemáticos no reconocen los números imaginarios. El matemático alemán Leibniz (1646-1716) dijo en 1702: "Los números imaginarios son un escondite sutil y extraño para los dioses. Bien puede ser un anfibio en el reino de la existencia y la falsedad", dijo el matemático suizo Euler (1707-1783). ; "En todas sus formas, es imposible aprender matemáticas. Imagínese los números, porque representan la raíz cuadrada de un número negativo. Para tales números, sólo podemos afirmar que no son ni nada ni nada." menos que nada. Son puramente ilusorios”. Sin embargo, la verdad puede resistir la prueba del tiempo y el espacio y finalmente ocupa su lugar. El matemático francés d'Alembert (1717-1783) señaló en 1747 que si los números imaginarios se operan de acuerdo con las cuatro reglas aritméticas de los polinomios, entonces su resultado siempre tendrá la forma (A y B son números reales) (Nota : En los libros de texto actuales, en lugar de utilizar el símbolo =-I, el matemático francés Demoivre (1667-1754) descubrió esta fórmula en 1730, que se conoció como el teorema de Demoivre, que fue famoso por Euler en 1748. Expresión relacional, utilizó I para representar la raíz cuadrada de 1 por primera vez en su artículo "Fórmula diferencial (1777)". Fue pionero en el uso del símbolo I como unidad de números imaginarios. Los "números imaginarios" no son en realidad números imaginarios, pero lo son. existe. 1745-1818. , un topógrafo noruego intentó dar una explicación geométrica intuitiva al número imaginario 1779 y publicó su práctica por primera vez, pero no recibió mucha atención por parte de la comunidad académica. El matemático alemán Gauss (1777-1855) publicó la representación gráfica de los números imaginarios en 1806, es decir, todos los números reales se pueden representar mediante un eje numérico. De manera similar, los números imaginarios también se pueden representar mediante puntos en el plano. sistema de coordenadas rectangular, tome el número real correspondiente A en el eje horizontal y el punto B correspondiente al número real B en el eje vertical, dibuje una línea recta paralela al eje de coordenadas a través de estos dos puntos. número complejo A+Bi.

De esta forma, el plano cuyos puntos corresponden a números complejos se denomina "plano complejo", y posteriormente también se denomina "plano gaussiano". En 1831, Gauss utilizó la matriz real (A, b) para representar el número complejo A+Bi, y estableció algunas operaciones con números complejos, haciendo que algunas operaciones con números complejos fueran "algebraicas" como los números reales. Propuso por primera vez el término "números complejos" en 1832 y también integró dos métodos diferentes para representar el mismo punto en el plano: el método de coordenadas rectangulares y el método de coordenadas polares. Se unifica en la forma algebraica y trigonométrica que representan un mismo número complejo. El punto del eje numérico corresponde al número real -1, el cual se extiende hasta el punto del plano correspondiente al número complejo -1. Gauss consideraba los números complejos no sólo como un punto en el plano, sino también como un vector. Utilizando la correspondencia entre números complejos y vectores, desarrolló la suma y multiplicación geométrica de números complejos. En este punto, la teoría de los números complejos ha quedado completa y sistemáticamente establecida.

Después de los esfuerzos incansables y a largo plazo de muchos matemáticos, la teoría de los números complejos ha sido profundamente discutida y desarrollada, lo que ha desvelado el misterio del fantasma de los números imaginarios que ha estado persistiendo en el campo de la matemáticas durante 200 años, revelando su verdadera cara. El número imaginario original no está vacío. Los números imaginarios han pasado a formar parte de la familia de los números, por lo que el conjunto de los números reales se ha extendido al conjunto de los números complejos.