Ejemplos de equivalencia de grupos de vectores_La relación entre equivalencia de matrices y equivalencia de grupos de vectores

Una matriz se refiere a una tabla de números ordenados en n filas ym columnas. Matrix es una herramienta importante y poderosa en álgebra lineal. Se utiliza al principio y al final del álgebra lineal y está relacionada con cada capítulo del álgebra lineal.

Un vector es una matriz. Si un vector tiene una sola componente, es un número en el sentido habitual; si un vector tiene dos o tres componentes, en geometría analítica, representa un segmento dirigido de un plano o espacio. Geométricamente, tiene reglas iguales o correspondientes que las operaciones con vectores en álgebra lineal. Un vector puede ser una matriz especial o parte de una matriz. Un grupo de vectores que consta de n vectores de columna de dimensiones M se puede convertir en una matriz de m × n.

Por tanto, las matrices y los grupos de vectores están indisolublemente ligados. Por ejemplo, una matriz tiene el mismo rango que su grupo de vectores de fila y su grupo de vectores de columna. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada sea invertible es que sus grupos de vectores de fila (columna) sean linealmente independientes. ¡Pero no existe una conexión necesaria entre la equivalencia de matrices y la equivalencia de grupos de vectores!

Definición de equivalencia matricial: Si la matriz A se puede transformar en matriz B mediante una transformación elemental limitada, entonces se dice que la matriz A es equivalente a la matriz B. Dos condiciones necesarias y suficientes para la equivalencia matricial: la existencia de Matrices de invertibilidad p y q, tales que paq = b y B son del mismo tipo, r(A)=r(B).

La equivalencia de grupos de vectores significa que dos grupos de vectores pueden representarse linealmente entre sí.

La equivalencia de matrices y la equivalencia de grupos de vectores tienen la siguiente relación:

1. Dos matrices son equivalentes, ¡pero sus grupos de vectores de fila y grupos de vectores de columna no son necesariamente equivalentes! (Las explicaciones y contraejemplos específicos están disponibles en la página 338 de la "Revisión de matemáticas de ingreso a posgrado de 2012" Ciencias e Ingeniería)

2. (Los grupos de vectores son equivalentes. El número de vectores contenidos en los dos grupos de vectores puede ser diferente, pero las matrices son equivalentes. Las dos matrices deben tener el mismo número de filas y columnas).

¿Cuándo es un ¿Matriz equivalente a sus vectores fila o vectores columna?

1. Si la matriz A se transforma en matriz B mediante transformación de columna elemental, entonces existe una matriz Q invertible tal que AQ=B, o se puede escribir como (α1, α2,..., αn)Q=(β1, β2,…,βn).

En este momento sabemos que el grupo de vectores columna de B se puede representar linealmente por el grupo de vectores columna de A. Como Q es el producto de matrices elementales, es reversible. Para ambos lados de AQ = B, multiplique por Q -1 para obtener A = BQ -1, de modo que el grupo de vectores de columna de A pueda representarse linealmente por el grupo de vectores de columna de B. En este momento, el grupo de vectores de columna de A y el vector columna de B se puede obtener Equivalencia de grupo

2 De manera similar, si la matriz A se transforma en matriz B mediante una transformación de fila elemental, entonces el grupo de vectores de fila de A es equivalente al grupo de vectores de fila de. B..

3. Después de que la matriz se somete a una transformación de fila elemental, sus grupos de vectores de columna no son necesariamente equivalentes. Después de que la matriz se somete a una transformación de columna elemental, sus grupos de vectores de fila no son necesariamente equivalentes. (Consulte "Revisión de matemáticas del examen de ingreso de posgrado de 2012", nota en la página 312 de Ciencias e Ingeniería)

¿En qué circunstancias son equivalentes los grupos de vectores y sus matrices correspondientes?

1. Si el grupo de vectores A y el grupo de vectores B tienen n vectores de columnas (filas) y los dos grupos de vectores son equivalentes, entonces las matrices A y B formadas por estos dos grupos de vectores son equivalentes. (Debido a que el grupo de vectores A y el grupo de vectores B son equivalentes y tienen el mismo rango, las matrices A y B creadas por A y B tienen las mismas filas y columnas y el mismo rango, por lo que las matrices A y B son equivalentes).

2. Se requiere que los dos grupos de vectores tengan el mismo número de vectores, porque la primera condición para la equivalencia de matrices es que las dos matrices tengan el mismo número de filas y columnas, por lo que solo los dos grupos de vectores M-dimensionales A y B tienen n vectores, es posible discutir si las matrices correspondientes A y B son equivalentes.