Características de los problemas que pueden resolver los diagramas de estructura.
[Palabras clave] Método de construcción del método de resolución de problemas del pensamiento matemático
En el aprendizaje de matemáticas, cómo encontrar métodos de resolución de problemas es un tema importante que se encuentra a menudo. Para resolver algunos problemas complejos, a menudo es necesario recrear el pensamiento mediante la descomposición, combinación, intercambio, analogía, restricción, promoción, etc. de conocimientos y métodos existentes, y construir nuevas fórmulas o gráficos para ayudar a resolver problemas. la llamada Ley de la construcción.
El antiguo matemático griego Euclides no sólo fue el fundador de la geometría euclidiana, sino también el fundador de los métodos matemáticos de construcción. En "Elementos de geometría", utilizó hábilmente métodos de construcción para demostrar por primera vez el teorema básico que lleva su nombre en la teoría de números: "El número de números primos es infinito". Muchos matemáticos de la historia, como Gauss, Euler, Lagrange, etc., han resuelto con éxito problemas matemáticos utilizando métodos de construcción. La forma inteligente de resolver problemas utilizando el método de construcción es resolver el problema original construyendo un problema auxiliar relacionado con el problema original. Este método de pensamiento tiene éxito si la pregunta auxiliar es más simple e intuitiva que la pregunta original. Los siguientes ejemplos ilustran la aplicación específica del método de construcción en la resolución de problemas matemáticos en escuelas secundarias vocacionales.
Primero, construir proposiciones
Cuando ciertas proposiciones son difíciles de demostrar, podemos resolver el problema construyendo sus proposiciones equivalentes, lemas o proposiciones auxiliares.
1. Construir proposiciones equivalentes.
Ejemplo 1: Demuestra que un triángulo con área igual a 1 no puede ser cubierto por un paralelogramo con área menor que 2.
Análisis: Esta proposición se expresa en lenguaje matemático conciso como "Si S△PQR=1, SABCD
Se ha demostrado que P es la recta paralela de AD en N y M y AB CD se cruza (como se muestra en la Figura 1). Obviamente:
S△PQK≤ S ANMD,
S△PPK≤ S? >S △PQK S△PPK≤ S? ABCD, es decir,
S△PQK≤ S? Sistema acelerado de recogida y entrega empresarial (utilizado por la Oficina de Correos de EE. UU.)
2. Construya proposiciones auxiliares. /p>
Ejemplo 2: Conocido
Análisis: esta pregunta es para demostrar que las dos desigualdades anteriores son verdaderas al mismo tiempo. p>Es decir, "suma",
Demostrar que la desigualdad ￠ está establecida se puede transformar en demostrar que las siguientes proposiciones auxiliares son todas verdaderas: ×b1=a1, ×b2=a2, ×bn= an. Se sabe y es fácil saber que si se establecen todas las desigualdades auxiliares anteriores, se demuestra que se establece la desigualdad original
Demostración: ∫ ..., (todas las letras son positivas). números)
∴×b1=a1,×B2 \u a2,…,×bn \u an .
p>
Suma las desigualdades anteriores para obtener:
(b 1 B2 … bn)﹤a 1 a2 … an,
∴﹤
De manera similar, el principio de La ecuación de trayectoria de (-1, 1) simétrica gráfica.
Lema: Dada la ecuación de la curva f(x, y), la ecuación de la curva simétrica con respecto al punto M(x0, y0) es f(2x0- x, 2y0-y)=0 (demostración). omitido)
Solución: Sea el centro de la elipse (x, y).
Según el significado de la pregunta, la ecuación de trayectoria del centro de la elipse con
x=2t
y=-t2
parámetros eliminadores es:
f(x, y)=x2 4y=0
Según el lema, la ecuación de trayectoria del gráfico simétrico alrededor de m (-1, 1) es f(-2-x, 2 -y)=0 ,
Es decir: (-2-x)2 4(2-y)=0,
Convertido a: (x 2)2=4( 2-y) que es la ecuación de la trayectoria balística.
Ejemplo 4: La recta L que pasa por el punto A (1, 2) corta a la hipérbola x2- =1 en dos puntos p1, p2 Encuentra la ecuación de la trayectoria del punto medio P del segmento de recta. p1p2.
Lema: La ecuación de la trayectoria del punto medio de la cuerda donde la recta de movimiento L que pasa por el punto fijo P(x0, y0) corta la curva cuadrática C: f (x, y)=0 es:
p>F(x, y)=F'(x0, y0)(x, y), (prueba omitida).
Solución: Según el lema, la ecuación de la trayectoria del punto P es:
x2- -1=2x- -1
El resultado es 2x2- y2-4x y=0 es la ecuación de trayectoria.
Segundo modelo estructural
Al resolver problemas matemáticos, si las condiciones o conclusiones son similares a los teoremas, fórmulas e identidades que hemos aprendido antes, podemos usar los teoremas, fórmulas e identidades para resolver problemas mediante asociación y analogía. Este enfoque se llama construcción de esquemas. Hay algunas conclusiones (como fórmulas, desigualdades, etc.) en matemáticas que pueden usarse como "modelos" para resolver otros problemas matemáticos con "formas" similares, y la identidad trigonométrica es un modelo ampliamente utilizado.
Ejemplo 5: Encuentre el rango de valores de la función y=.
Análisis: tome prestada la famosa desigualdad de Cauchy como "modelo";
(Abby)2≤(ai2)(bi2)
Se establece el signo igual cuando Y sólo si = =... =.
La característica de "modo" es que Abi se divide en la suma de los cuadrados de ai y bi, y "un paréntesis" se convierte en "dos paréntesis" (y viceversa).
Para encontrar el rango de y2, prueba la combinación de sin2x y cos2x.
Reescribe y=(1-y)sinx (3-2y)cosx,
Según la desigualdad de Cauchy:
y2≤[(1-y ) 2 (3-2y)2](sen2x-cos2x):
2y2-7y 5≥0, y≤1 o y≥
Tercero, construcción de casos especiales
Al resolver el problema de "existencia" "como máximo" (o "al menos"), a menudo se puede construir un caso especial (valor especial o expresión algebraica) para resolver el problema.
Ejemplo 5: Supongamos una secuencia de números AI (I = 1, 2,...,n), en la que la suma de tres elementos consecutivos cualesquiera es positiva, y la suma de cinco elementos consecutivos cualesquiera es negativo. Verificación: n≤6.
Demostrar que la proposición original es cierta cuando se supone n≥7 inversamente, y depende de la situación de siete números. Si se prueban siete números, la prueba es n gt7 puntos y la proposición no es verdadera. Construya la siguiente tabla de permutaciones:
a1, a2, a3
a2, a3, a4
a3, a4, a5
a4 , a5, a6
a5, a6, a7
Según las condiciones, los quince números son positivos horizontalmente y negativos verticalmente, por lo que la proposición n≥7 no es verdadera.
Y cuando n=6, la secuencia de construcción: 3, -5, 3, 3, -5, 3 cumple con los requisitos.
4. Estructura de los gráficos
Para ciertos problemas matemáticos, realice análisis y asociaciones apropiados basados en las condiciones o conclusiones conocidas del problema, y construya un gráfico que esté relacionado o satisfaga. las condiciones. Gráficos, para lograr el propósito de resolver problemas, este método se denomina método de gráficos construidos. La esencia del método de diagramación estructural es "convertir números en formas" y resolver problemas con la ayuda de gráficos. Con la ayuda del formulario, aproveche al máximo las características intuitivas de los gráficos, ingrese a la situación del problema lo antes posible, capte la clave para resolver el problema, comprenda y analice el problema a un alto nivel de estrecha integración del pensamiento de imagen y la lógica. pensar y finalmente resolver el problema.
Construir gráficos es una ecuación básica tradicional en geometría clásica (al igual que agregar líneas auxiliares también es una construcción). Los gráficos no sólo son objeto de problemas geométricos, sino que también pueden usarse para resolver una variedad de problemas que a primera vista parecen no tener nada que ver con la geometría.
Ejemplo 6: Dado 0 < x < 1, 0 < y < 1, verifique:
≥2.
Análisis: Si se utiliza el conocimiento de las desigualdades algebraicas para demostrarlo, obviamente es complicado. Como se muestra en la Figura 2, se establece un modelo matemático intuitivo de unidad cuadrada ABCD.
Demuestre que p es cualquier punto dentro del cuadrado unitario ABCD, entonces
PD=,
PA=
PC=
PB=
∴ PA PC≥AC,
PD PB≥BD,
∴ PA PB PC PD≥AC BD=2. Además, eso es
≥2.
Ejemplo 7: Serie geométrica conocida:,,,,,...
¿Qué es n? Cuando ∞, la suma de los primeros n términos de esta secuencia Sn es el límite.
Solución: Construir un cuadrado unitario como se muestra en la Figura 3. Piensa en el límite de la suma de series geométricas como el límite de la suma de las áreas de los pequeños rectángulos y pequeños cuadrados de la figura (área sombreada). Evidentemente, este límite es igual al área del cuadrado unitario 1. Es decir: =1.
5. Ecuaciones de construcción
Cuando encuentre algunos problemas de procesamiento equivalentes o algunos problemas de cálculo, si una cantidad no puede o es difícil de obtener directamente, intente derivar la ecuación que satisface. El método de Resolver problemas resolviendo ecuaciones se llama método de ecuaciones estructurales. Según las necesidades del problema, se pueden utilizar métodos como el método de búsqueda de raíces, el método del teorema de Vietta, el método discriminante, el método de discusión de ecuaciones y el teorema fundamental del álgebra para resolver problemas.
Ejemplo 8: Si a b c=m, =, A, B y C no son iguales, demuestre que uno de A, B y C debe ser igual a m.
Análisis: Si A, B y C se consideran cantidades desconocidas, podemos saber por las condiciones que su suma es M y la suma de dos pares es ab bc ca=. después de establecer abc, podemos usar la ecuación cúbica. El teorema de Vietta construye una ecuación para encontrar las raíces.
Está demostrado que si abc=n, entonces ab bc ca=, entonces A, B, C son las tres raíces de la ecuación t3-mt2 t-n=0, y la ecuación (t-m)(t2 )=0 tiene una raíz t1=m, es decir, una de A, B y C debe ser igual a m.
6. Constructor
Al resolver algunos problemas matemáticos, utilice el concepto y las propiedades de las funciones para construir una función auxiliar adecuada. El método de resolución de problemas para estudiar las propiedades de esta función auxiliar. se llama método de función de construcción. Las funciones son uno de los centros del conocimiento matemático. Las ecuaciones pueden verse como el caso en el que el valor de la función es cero y las desigualdades pueden verse como la relación desigual entre dos funciones. Entonces las ecuaciones y desigualdades son formas especiales de funciones. La premisa y fundamento de la función constructora es estar familiarizado con el concepto de función y comprender firmemente las propiedades de varias funciones elementales. El proceso de construcción de una función requiere nuestra observación aguda, juicio correcto, selección razonable de funciones apropiadas y uso preciso de las propiedades de la función. Algunos problemas matemáticos se pueden resolver conectando algunas cantidades cambiantes para construir una función, y luego usando las propiedades de la función, algunos problemas están esencialmente relacionados con una determinada propiedad de la función, que se puede reducir a estudiar las propiedades de las funciones relevantes; y luego construir una función auxiliar para resolver el problema.
Ejemplo 9: Verificación: Para todo número real x, existen:
≤ ≤7
Demostración: Constructor y=, ahora solo falta demostrar: ≤y ≤7.
Este es en realidad un problema de encontrar el rango de valores de una función, usando el método discriminante.
y(x 3x 4)=x2-3x 4
∴(y-1)x2 y 1 3x 4(y-1)= 0
X∈R, entonces △≥0, es decir,
9(y 1)2-4(y-1)2?6?14 ≥ 0, simplifica y obtiene:
7y2-50y 7≤0, es decir, (7y-1)(y-7)≤0.
Entonces ≤y≤7.
Ejemplo 10: A, B, C, D, e∈R son conocidos y satisfacen:
a b c d e=8, a2 b2 c2 d2 e2=16
Intenta determinar el valor máximo de e (el 7º Concurso Estadounidense de Matemáticas para Escuelas Intermedias);
Solución: Porque a b c d=8-e, a2 b2 c2 d2=16-e2.
De acuerdo con la fórmula anterior, construya una función cuadrática con los coeficientes a, b, c, d como herramienta auxiliar y transforme la desigualdad de e a partir de ella. Construya una función cuadrática:
f(x)= 4x 2 2(a b c d)x (a2 B2 C2 D2)
=(x a)2 (x b)2 (x c) 2 (x d)2≥0
Dado que el coeficiente del término cuadrático de la función cuadrática es 4 > 0, y f(x)≥0, obtenemos △≤0: 4(A B C D)2-16 (A2 B2 C2 D2)≤0.
Según las condiciones conocidas: 4(8-e)2≤16(16-e2)
Solución: 0≤e≤, cuando a=b=c=d, Dado por emax=
7. Fórmula de construcción
Ejemplo 11: Verificación: ¿cuna? ¿Zhuo-8cot? Che = Bronceado? Zhuo 2 tan 2? ¿Cortar=que 4? Prueba de cincel
: intenta construir una fórmula de recurrencia para dos ángulos, que sea fácil de probar.
¿Cama pequeña? Truco de Zhuo Tan = 2 cunas 2? Cortar(1)
Recursión: ¿2cunas? Truco de Zhuo Tan = 4 cunas 4? Cortar(2)
4cota 4? Zhuo-4tan 4? Corte =8cuna 8? Corte (3)
Para resumir las fórmulas anteriores (1), (2) y (3): ¿cuna? Zhuo-8cot 8? Che = Bronceado? Zhuo 2 tan 2? ¿Cortar=que 4? Se estableció Zhuo.
8. Fórmula analítica estructural
El método de construir relaciones apropiadas para ayudar a explorar ideas de resolución de problemas se llama método de construcción de expresiones analíticas. Este método suele resultar muy cómodo. El modo general de construir expresiones analíticas es: de acuerdo con las características del problema, construir una expresión relacional relacionada para reemplazar o simplificar el problema original, de modo que el problema original se resuelva por completo.
Ejemplo 12: Verificación: … = 2n
Demuestra que como el lado izquierdo de la ecuación es la suma de los coeficientes de la expansión binomial, no es difícil construir la expresión por asociación.
(a b)2=an an-1b … bn
La ecuación a demostrar es un caso especial de la expansión cuando a=b=1. Si a=b=1, la expansión se convierte en 2n = ..., lo que demuestra la fórmula original. Aquí, el teorema del binomio se utiliza para transformar el problema en un caso especial de a=b=1 para demostrar, simplificando así enormemente el problema.
9. Secuencia estructural
Al resolver un problema, el método de construir una secuencia apropiada para resolver el problema en función de las condiciones conocidas del problema se denomina método de construcción de secuencia. La premisa del método para construir una secuencia es usar de manera flexible los conceptos y propiedades de la secuencia, descubrir la relación entre las condiciones o conclusiones conocidas del problema y la secuencia, y luego usar el conocimiento de la secuencia para resolver el problema. .
Ejemplo 13: ¿Delito conocido? ¿Z porque? Nosotros =,? Z ∈ (0,? hijo) ¿Qué pasa con Kurt? El valor de esto es _ _ _ _. (Preguntas del examen de ingreso a la universidad de 1999)
Respuesta: ¿Crimen causado por la condición? ¿Z porque? Z =, secuencia aritmética estructural: ¿Pecado? ¿Por qué? Por tanto, sea su tolerancia d: ¿pecado? Z = -d, Porque? Z = d
¿Por Sin2? ¿ZCos2? Según esto = 1, podemos obtener:
(-d)2 ( d)2=1, la solución es d=
∵ 0