Usando el principio de mapeo de compresión para encontrar el límite

El principio de mapeo de compresión es el teorema de existencia más básico en el análisis funcional. A través del análisis de preguntas de ejemplo típicas sobre el límite de una secuencia en el examen de ingreso de posgrado, se resume la forma general de encontrar una secuencia límite adecuada para el principio de mapeo de compresión y la superioridad del principio de mapeo de compresión para resolver el límite de una Se demuestra una secuencia matemática recursiva.

Palabras clave: Principio de mapeo comprimido, secuencia recursiva límite

El principio de mapeo comprimido fue propuesto por el famoso matemático polaco Stefan Banach en 1922. Es la teoría existencial más utilizada en toda la ciencia analítica y es ampliamente utilizada, como el teorema de existencia de funciones implícitas, la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales, etc. Aquí estudiamos principalmente la aplicación del principio de mapeo de compresión en límites de secuencia. Muchas referencias hablan de esta aplicación. Por ejemplo, consulte [1-3]. Sobre la base de trabajos anteriores, se resume sistemáticamente la aplicación del principio de mapeo comprimido en una clase de límites de secuencia recursiva y se demuestra aún más su superioridad.

1. Conceptos y teoremas básicos

Para completar la estructura y facilitar la descripción, damos varios conceptos y teoremas en la literatura.

Definición 1.1< (x, ρ) es un espacio métrico, T es el mapeo de x a x, si hay 0

Teorema 1.2 (Principio de mapeo comprimido) Supongamos ( X, ρ) es un espacio de distancia completo y T es un mapeo comprimido de X a X. Entonces T tiene un punto fijo único en X, es decir, ¿hay un X único? x, entonces tx = X.

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De hecho, estos dos resultados también son válidos para el número real general R. Los resultados son los siguientes.

2. Aplicación

Tipo 1: Aplicación directa del tipo de teorema

Veamos una pregunta de competencia.

Debido a que el principio del mapeo de compresión no se proporciona en muchos libros de texto y es muy práctico, se puede complementar durante el proceso de enseñanza y los estudiantes que tengan capacidad adicional pueden consultar la literatura relevante por su cuenta. Este tipo de preguntas es común en las preguntas del examen de ingreso a posgrado y en las preguntas de competencia. Siempre que exista una forma de secuencia iterativa, puede intentar pensar en ella utilizando el principio de mapeo de compresión. La clave del problema es determinar si la función es una función de compresión. Debemos prestar atención al dominio de la función. Podemos resumir tales problemas de la siguiente manera.

Tipo 2: primero convertir, luego aplicar

Aunque no existen condiciones de iteración obvias para este tipo de problema, se pueden considerar primero métodos comunes, como el teorema acotado monótono y la convergencia de Cauchy. criterio y el teorema de compresión, etc. También puede intentar compensar las condiciones del principio de mapeo de compresión y es posible que obtenga ganancias inesperadas. Los ejemplos anteriores son ejemplos típicos comunes en límites de secuencia, pero casi todos los libros de referencia didácticos no mencionan el uso del principio de mapeo de compresión para resolver este problema. De hecho, es más conciso resolver el ejemplo anterior utilizando este método. Muchos problemas del análisis matemático se resuelven "combinando" condiciones conocidas y principios de solución. Esta "combinación" es una habilidad y una estrategia, que es una estrategia común de resolución de problemas en el análisis matemático, y los principiantes deben comprenderla cuidadosamente.

Existen muchos métodos para resolver límites de secuencia. Cada método tiene sus propios requisitos y alcance de aplicación, y debe usarse de manera flexible. El principio del mapeo de compresión no es una excepción. Al aplicarlo, se debe prestar atención a la verificación de las condiciones y las especificaciones de su aplicación.