La OMI más dura de la historia

La 40ª OMI es la más difícil. Los temas son los siguientes: 1. El círculo γ 1 y el círculo γ 2 se cortan en los puntos M y n. Sea L la tangente común más cercana a M entre las dos tangentes comunes del círculo γ 1 y el círculo γ 1. La tangente del círculo γ 2 está en el punto b. Una línea recta que pasa por el punto M y es paralela a L cruza el círculo γ 1 en el punto C, cruza el círculo γ 2 en el punto d, las líneas rectas CA y DB se cruzan en el punto E; AN y CD se cortan en el punto p; las rectas BN y CD se cortan en el punto q. Demuestre: EP = eq.2 Sean A, B, C números reales positivos, abc=1. Verifique: (a-1 1/b)(b-1 1/c)(c-1 1/a)≤

Oh oh

(1). Solo hay pulgas, déjelas ubicarse en los puntos A y B respectivamente, A está en el lado izquierdo de B, (2) Haga que la pulga en el punto A salte al punto C en el lado derecho del punto B, de modo que

BC/AB= λ.

Intenta determinar todos los posibles números reales positivos λ tales que para cualquier punto M dado en la recta y cualquier posición inicial de n pulgas, después de un número finito de movimientos, todas las pulgas siempre puedan ubicarse en la lado derecho de m. 4. Un mago tiene cien cartas con los números del 1 al 100 escritos. Puso las cien cartas en tres cajas, una de las cuales era roja. Uno es blanco y el otro es azul. Coloque al menos una tarjeta en cada caja. Un espectador selecciona dos cartas de tres casillas, luego selecciona una carta de cada una de las dos casillas y luego anuncia la suma de los números de las dos cartas. Conociendo esta suma, el mago podrá señalar cuál es la caja sin las cartas. P * *¿Cuántas maneras hay de colocar las cartas para que la magia siempre tenga éxito? (Los dos métodos se consideran diferentes si al menos una tarjeta se coloca en una caja de diferente color).

N 5. Determina si existe un entero positivo n que cumpla las siguientes condiciones: se puede dividir por 2000 números primos diferentes y 2n 1 se puede dividir por n.

Sean AH 1, BH2 y CH3. sean las tres alturas del triángulo agudo ABC Wire. Las circunferencias inscritas del triángulo ABC son tangentes a los puntos T1, T2, T3 y T3 respectivamente. Sean las rectas L1, L2 y L3 las rectas H2H3 y H3H1 respectivamente. H1H2 es una recta simétrica con respecto a las rectas T2T3, T3 T1 y T1T2. Demuestre: Los vértices del triángulo definido por L1, L2 y L3 son todos