¿Desarrollo funcional?
Galileo Galilei (Italia, 1564-1642) en el siglo XVII casi todas incluían funciones o variables en su libro "Dos nuevas ciencias" El concepto de relación expresa la relación entre funciones en el lenguaje de las palabras y proporciones. Descartes (francés, 1596-1650) notó la dependencia de una variable de otra en su Geometría analítica alrededor de 1673. Pero como no se dio cuenta de que el concepto de función necesitaba ser refinado en ese momento, nadie había definido una función hasta que Newton y Leibniz establecieron el cálculo a finales del siglo XVII.
En 1673, Leibniz utilizó por primera vez "función" para significar "poder". Posteriormente utilizó esta palabra para expresar las cantidades geométricas de cada punto de la curva, como la abscisa, la ordenada, la longitud de la tangente, etc. Al mismo tiempo, Newton utilizó el "flujo" para expresar la relación entre variables en discusiones sobre cálculo.
2. El concepto de función en el siglo XVIII - función bajo el concepto de álgebra.
¿Juan? 6?1 Bernoulli Johann (Suiza, 1667-1748) definió el concepto de función basándose en el concepto de función de Leibniz: "una cantidad que consta de cualquier variable y una constante de cualquier forma". una constante se llama función de X. Enfatizó que la función debe expresarse mediante una fórmula.
En 1755, L. Euler (Suiza, 1707-1783) definió una función como "si unas variables dependen de otras variables de alguna manera, es decir, cuando la última variable cambia, la primera también cambia, y llamamos a la primera variable función de la última."
Euler (L. Euler, Suiza, 1707-1783) dio una definición: "La función de una variable está dada por esto. Una expresión analítica compuesta de cualquier manera por variables y algunos números o constantes." ¿Puso John? 6? La definición de funciones dada por Bernoulli en 1 se llama funciones analíticas y se divide a su vez en funciones algebraicas y trascendentales, teniendo también en cuenta las "funciones arbitrarias". ¿No es difícil ver que la definición de funciones de Euler es mejor que la de Juan? 6?1 La definición de Bernoulli es más universal y tiene un significado más amplio.
3. El concepto de función en el siglo XIX - función bajo la relación correspondiente.
En 1821, Cauchy (Francia, 1789-1857) dio una definición a partir de la definición de variables: “Existe una cierta relación entre ciertas variables. Cuando se da el valor de una variable, otras variables El valor de se puede determinar en consecuencia, entonces la variable inicial se llama variable independiente. El término variable independiente aparece por primera vez en la definición de Cauchy, y también señala que las funciones no requieren expresiones analíticas, pero todavía cree que las relaciones funcionales pueden utilizar múltiples expresiones analíticas para expresar, esto es una gran limitación.
En 1822, Fourier (Francia, 1768-1830) descubrió que algunas funciones también se pueden expresar mediante curvas, o pueden expresarse mediante una fórmula. o múltiples fórmulas de representación, poniendo fin al debate sobre si el concepto de función debe representarse mediante una sola fórmula, llevando la comprensión de las funciones a un nuevo nivel.
En 1837, Dirichlet (Alemania, 1805). -1859) rompió esta limitación y consideró que es irrelevante cómo establecer la relación entre X e Y. Amplió el concepto de función y señaló: "Para cada valor definido de . Esta definición evita la descripción de dependencias en las definiciones de funciones y es aceptada por todos los matemáticos de forma inequívoca. Esto es lo que la gente suele llamar la definición de función clásica.
Después de que la teoría de conjuntos fundada por Cantor (Alemania, 1845-1918) jugara un papel importante en las matemáticas, Veblen (estadounidense, Veblen, 1880-1960) utilizó "conjunto" y "correspondencia".
4. Concepto-función de función moderna bajo la teoría de conjuntos.
F. Hausdorff utilizó el concepto difuso de "par de órdenes" en el esquema de la teoría de conjuntos para definir funciones en 1914, evitando los dos conceptos difusos de "variable" y "correspondencia".
En 1921, Kuratowski utilizó el concepto de conjuntos para definir "pares ordenados", haciendo que la definición de Hausdorff fuera muy rigurosa.
En 1930, la nueva función moderna se definió como "Si siempre hay un elemento Y determinado por el conjunto N correspondiente a cualquier elemento X del conjunto M, entonces se dice que una función está definida sobre el conjunto M, denotado como y=f(x). El elemento x se llama variable independiente y el elemento y se llama variable dependiente ”
Los términos función, mapeo, correspondencia y transformación generalmente tienen. el mismo significado.
Pero las funciones solo representan la correspondencia entre números, y el mapeo también puede representar la correspondencia entre puntos y gráficas. Puedes decir que el mapa contiene funciones. Por supuesto, las pegatinas son sólo una parte. [Edite este párrafo] La forma general de una función de potencia es y = x a.
Es fácil de entender si A toma un número racional distinto de cero, pero no es fácil de entender si A toma un número irracional. En nuestro curso, no es necesario que domines el problema de cómo entender los números irracionales exponenciales, porque esto implica un conocimiento muy avanzado del continuo de los números reales. Así que sólo podemos aceptarlo como un hecho conocido.
Para el valor de un número racional distinto de cero, es necesario discutir sus respectivas características en varios casos:
En primer lugar, sabemos que si a=p/q , tanto q como p son números enteros, entonces x (p/q) = la raíz de q (x elevado a p). Si q es un número impar, el dominio de la función es r. número, el dominio de la función es [0, ∞). Cuando el exponente n es un entero negativo, suponiendo a=-k, entonces x = 1/(x k), obviamente x≠0, y el dominio de la función es (-∞, 0)∩(0, ∞). Entonces se puede ver que las limitaciones de x provienen de dos puntos. En primer lugar, se puede utilizar como denominador, pero no como denominador.
Se excluyen las dos posibilidades de 0 y números negativos, es decir, para x gt0, entonces a puede ser cualquier número real;
Se elimina la posibilidad de 0, es decir, para x
Excluye la posibilidad de ser negativo, es decir, para todos los números reales con x mayor o igual a 0, a no puede ser negativo.
En resumen, podemos concluir que cuando a tiene diferentes valores, las diferentes situaciones del dominio de definición de la función de potencia son las siguientes:
Si a es cualquier número real, entonces la definición de la función El dominio son todos los números reales mayores que 0;
Si a es un número negativo, entonces X no debe ser 0, pero el dominio de la función también debe determinarse en función de paridad de Q, es decir, si Q es un número par al mismo tiempo, entonces X no puede ser menor que 0, entonces el dominio de la función son todos los números reales mayores que 0, si q también es un número impar, el dominio; de la función son todos los números reales distintos de 0.
Cuando x es mayor que 0, el rango de la función es siempre un número real mayor que 0.
Cuando x es menor que 0, sólo si q es impar y el rango de la función son números reales distintos de cero.
Solo cuando a es un número positivo, 0 entrará en el rango de valores de la función.
Dado que x es mayor que 0, es significativo para cualquier valor de a, por lo que las situaciones respectivas de la función de potencia en el primer cuadrante se dan a continuación.
Puedes ver:
(1) Todos los gráficos pasan (1, 1).
(2) Cuando a es mayor que 0, la función de potencia aumenta monótonamente, y cuando a es menor que 0, la función de potencia disminuye monótonamente.
(3) Cuando a es mayor que 1, la gráfica de la función de potencia es cóncava; cuando a es menor que 1 y mayor que 0, la gráfica de la función de potencia es convexa.
(4) Cuando A es menor que 0, cuanto menor es A, mayor es la pendiente de la gráfica.
(5) Si a es mayor que 0, la función pasa por (0, 0); si a es menor que 0, la función solo tiene (0, 0) puntos.
(6) Obviamente la función potencia es ilimitada. [Edite este párrafo] Sea la función gaussiana x∈R, use [x] o int(x) para representar el número entero más grande que no exceda x, y use decimales puros no negativos para representar. Se llama función entera.
Cualquier número real se puede escribir como la suma de un número entero y un decimal puro no negativo, es decir, x = [x] (0 ≤
El concepto de números complejos se origina al encontrar las raíces de una ecuación, en Al encontrar las raíces de ecuaciones algebraicas cuadráticas y cúbicas aparecen las raíces cuadradas de los números negativos.
Durante mucho tiempo la gente no pudo comprender tales cifras. Sin embargo, con el desarrollo de las matemáticas, la importancia de estos números se ha vuelto cada vez más evidente. La forma general de los números complejos es: a bi, donde I es la unidad imaginaria.
Una función con números complejos como variables independientes se llama función de variable compleja, y la teoría relacionada es la teoría de la función de variable compleja. La función analítica es un tipo de función analítica entre funciones complejas. La teoría de funciones de variables complejas estudia principalmente funciones analíticas en el campo de números complejos, por lo que generalmente se la denomina teoría analítica de funciones.
Introducción al desarrollo de la teoría de funciones complejas
La teoría de funciones complejas se produjo en el siglo XVIII. En 1774, en uno de sus artículos, Euler consideró dos ecuaciones derivadas de la integración de funciones de variables complejas. Antes que él, el matemático francés d'Alembert los había obtenido en su tratado sobre mecánica de fluidos. Por lo tanto, más tarde la gente se refirió a estas dos ecuaciones como la "ecuación de D'Alembert-Euler". En el siglo XIX, cuando Cauchy y Riemann estudiaron la mecánica de fluidos, las dos ecuaciones anteriores se estudiaron con más detalle, por lo que también se denominan condiciones de Cauchy-Riemann.
El pleno desarrollo de la teoría de funciones de variables complejas se produjo en el siglo XIX. Así como la extensión directa del cálculo dominó las matemáticas en el siglo XVIII, nuevas ramas de funciones de variables complejas también dominaron las matemáticas en el siglo. Siglo XIX. Los matemáticos de esa época reconocieron que la teoría de funciones de variables complejas era la rama más rica de las matemáticas y la llamaron el disfrute matemático de este siglo. Algunas personas la elogian como una de las teorías más armoniosas de la ciencia abstracta.
Euler y d'Alembert realizaron los primeros trabajos para la creación de la teoría de funciones complejas. Posteriormente Laplace de Francia también estudió la integral de funciones complejas. Todos ellos son pioneros en establecer esta disciplina.
Posteriormente, los matemáticos alemanes Cauchy y Riemann realizaron muchos trabajos básicos para el desarrollo de este tema. A principios del siglo XX, la teoría de funciones variables complejas logró grandes avances. Alumnos de Weierstrass, el matemático sueco Leffler, el matemático francés Poincaré, Adama y otros. Ha realizado muchos trabajos de investigación, abrió un campo de investigación más amplio en la teoría de funciones variables complejas y contribuyó al desarrollo de este tema.
La teoría de funciones variables complejas cubre una amplia gama de aplicaciones y muchos cálculos complejos se resuelven con ella. Por ejemplo, en física existen muchos campos planos estables diferentes. El llamado campo es una región, cada punto corresponde a una cantidad física y sus cálculos se resuelven mediante funciones variables complejas.
Por ejemplo, Rukovsky de Rusia utilizó la teoría de funciones complejas para resolver los problemas estructurales de las alas de los aviones al diseñar aviones. También hizo una contribución a la teoría de funciones complejas para resolver problemas en mecánica de fluidos y mecánica aeronáutica.
La teoría de funciones variables complejas es ampliamente utilizada no sólo en otras disciplinas, sino también en muchas ramas de las matemáticas. Ha estado profundamente involucrado en ecuaciones diferenciales, ecuaciones integrales, teoría de probabilidad y teoría de números y ha tenido un impacto significativo en su desarrollo.
Contenidos de la teoría de funciones de variables complejas
La teoría de funciones de variables complejas incluye principalmente la teoría de funciones analíticas univaluadas, la teoría de superficies de Riemann, la teoría de funciones geométricas, la teoría de residuos, funciones analíticas generalizadas, etc.
Si una función tiene un valor fijo único cuando su variable toma un valor determinado, entonces la solución de la función se llama función analítica de un solo valor, y un polinomio es una función de este tipo.
Las funciones complejas también estudian funciones multivaluadas, y la teoría de superficies de Riemann es la principal herramienta para estudiar funciones multivaluadas. Una superficie formada por muchas capas juntas se llama superficie de Riemann. Con esta superficie se pueden expresar y explicar geométricamente de forma intuitiva los conceptos de ramas univaluadas y ramas de funciones multivaluadas. Para una función de varios valores, si se puede construir su superficie de Riemann, entonces esta función se convierte en una función de un solo valor en la superficie de Riemann.
La teoría de superficies de Riemann es un puente entre el dominio de las funciones variables complejas y la geometría. Nos permite conectar las propiedades analíticas de funciones relativamente abstrusas con la geometría. Las investigaciones recientes sobre las superficies de Riemann han tenido una gran influencia en la topología, otra rama de las matemáticas, y gradualmente han tendido a discutir sus propiedades topológicas.
En la teoría de funciones variables complejas, el uso de métodos geométricos para explicar y resolver problemas generalmente se denomina teoría de funciones geométricas. Las funciones variables complejas pueden proporcionar explicaciones geométricas para sus propiedades a través de la * * * teoría del mapeo de formas. Las imágenes realizadas por funciones analíticas cuyas derivadas no son cero en todas partes son * * imágenes, también llamadas transformaciones conformes. * * *Las imágenes han sido ampliamente utilizadas en mecánica de fluidos, aerodinámica, teoría elástica, teoría de campos electrostáticos, etc.
La teoría de residuos es una teoría importante en la teoría de funciones variables complejas. El resto también se llama residual y la definición es más complicada. Es más conveniente utilizar la teoría de residuos para calcular la integral de una función compleja que utilizar integrales de línea. El cálculo de la integral definida de una función variable real se puede transformar en la integral de la función variable compleja a lo largo de la curva de bucle cerrado, y luego transformarse en el cálculo del residuo del integrando en un punto singular aislado dentro de la curva cerrada. curva de bucle utilizando el teorema fundamental de los residuos. Cuando el punto singular es un polo, el cálculo es más sencillo.
Modificar y complementar adecuadamente algunas condiciones de funciones analíticas de valor único para satisfacer las necesidades del trabajo de investigación real. Esta función analítica cambiante se llama función analítica generalizada. El cambio de figuras geométricas representadas por funciones analíticas generalizadas se llama transformación cuasiconforme. Algunas propiedades básicas de las funciones analíticas también se pueden aplicar a funciones analíticas generalizadas con ligeros cambios.
Las funciones analíticas generalizadas se utilizan ampliamente, no sólo en el estudio de la mecánica de fluidos, sino también en departamentos de mecánica de sólidos, como en la teoría de capas delgadas. Por tanto, la teoría en este campo se ha desarrollado muy rápidamente en los últimos años.
Desde Cauchy, la teoría de funciones de variables complejas tiene una historia de más de 170 años. Se ha convertido en una parte importante de las matemáticas con su teoría completa y sus excelentes habilidades. Ha promovido el desarrollo de algunas disciplinas y a menudo se utiliza como una herramienta poderosa en problemas prácticos. Su contenido básico se ha convertido en un curso obligatorio para muchas carreras de ciencias e ingeniería. En la actualidad, todavía quedan muchos temas por estudiar en la teoría de funciones variables complejas, por lo que seguirá desarrollándose y adquiriendo más aplicaciones.
El tipo de carácter en mayúscula convierte letras inglesas minúsculas en caracteres en mayúscula.
El tipo de carácter en minúscula cambia las letras mayúsculas en inglés a caracteres en minúscula [Editar este párrafo] La función de paso es una función con discontinuidad de salto infinita en el trapezoide. [Editar este párrafo] La función cuya expresión es y = k/x (k es una constante, k≠0) se llama función proporcional inversa.
Otras formas de funciones proporcionales inversas: y = k/x = k 1/x = kx-1.
Características de la función proporcional inversa: y = k/x→ xy = K.
El rango de valores de la variable independiente x son todos los números reales distintos de 0.
Propiedades gráficas de la función proporcional inversa:
La gráfica de la función proporcional inversa es una hipérbola.
La función proporcional inversa es simétrica con respecto al centro del origen y simétrica con respecto a la bisectriz del ángulo del eje de coordenadas. Además, de la expresión analítica de la función proporcional inversa, se puede concluir que cualquier punto en la imagen de la función proporcional inversa es perpendicular a los dos ejes de coordenadas, y el área rectangular rodeada por el punto, los dos pies verticales y el origen es un valor constante. Este valor constante es ∣k∣, es decir, el valor absoluto de k
Como se muestra en la figura, la imagen de la función cuando k es un valor positivo y un valor negativo (. 2 y -2) se da arriba.
Cuando k > 0, la imagen de la función proporcional inversa pasa por uno o tres cuadrantes. Debido a que en la misma imagen de la función proporcional inversa, y disminuye a medida que X aumenta, también se le llama función de resta.
Cuando k < 0, la imagen de la función proporcional inversa pasa por dos o cuatro cuadrantes. Debido a que en la misma imagen de la función proporcional inversa, Y aumenta con el aumento de X, también se le llama función creciente.
Si no están en el mismo cuadrante ocurre lo contrario.
Debido a que la variable independiente y la variable dependiente de la función proporcional inversa no pueden ser cero, la imagen solo puede acercarse infinitamente al eje de coordenadas y no puede cruzarse con el eje de coordenadas.
Puntos de conocimiento:
1. Cualquier punto en la imagen de la función proporcional inversa es un segmento de recta vertical de dos ejes de coordenadas, y el área del rectángulo rodeada por estos. dos segmentos de línea vertical y el eje de coordenadas es |k|.
2. Para la hipérbola y = k/x, si cualquier número real m se suma o resta del denominador (es decir, y = k/x (x m) m es una constante), es equivalente a La imagen hiperbólica se traslada m unidades hacia la izquierda o hacia la derecha. (Desplazarse hacia la izquierda al sumar y desplazarse hacia la derecha al restar) [Editar este párrafo] Las funciones de programación en muchos lenguajes de programación pueden encapsular un fragmento de código que se usa con frecuencia y llamarlo directamente cuando sea necesario. Esta es una función en el programa.
Por ejemplo, en lenguaje C:
int max(int x, int y)
{
return(x gt; y? x: y ;) ;
}
Esta es una función que compara el tamaño de dos números. Esta función tiene parámetros y valor de retorno. Las funciones en programación C se pueden dividir en dos categorías: funciones con parámetros y funciones sin parámetros. La declaración y definición de estos dos parámetros también son diferentes.
Declaración de función con (un) parámetro:
Nombre de tipo identificador nombre de función (tipo de parámetro identificador)
{
}
Declaración de función sin parámetros:
Nombre de función nula()
{
}
Dentro de las llaves está el cuerpo funcional.
Las funciones con parámetros tienen valores de retorno y las funciones sin parámetros no tienen valores de retorno.
Llamadas a funciones en C: Las funciones deben declararse antes de ser llamadas. Formato de llamada: nombre de la función (parámetros)
El número de parámetros entre paréntesis después del nombre de la función al llamar debe ser el mismo que el número de parámetros formales entre paréntesis al declarar la función.
Las funciones con valores de retorno se pueden calcular o asignar al valor correcto.
# include ltiostream gt
Usar espacio de nombres std
int f1(int x, inty)
{ int z ltbr gt; x y; ltbr gt}
void main()
{ cout lt ltf1(50, 660) lt; ltendl ltbr gt}
En lenguaje C Algunas funciones
Main (función principal)
Max (función para encontrar el número máximo)
Scanf (función de entrada)
Función de salida