Una breve discusión sobre las preguntas de funciones clave en el curso obligatorio 1 de la escuela secundaria

Las funciones son un tema candente en el examen de ingreso a la universidad cada año, y la aplicación de propiedades de funciones abstractas es una de las dificultades de las funciones. La función abstracta se refiere a una parte de las propiedades o algoritmo que la función satisface sin dar una función o imagen analítica específica. Este tipo de preguntas de prueba de funciones no solo pueden evaluar de manera integral la comprensión de los estudiantes de los conceptos de funciones y las habilidades de razonamiento y argumentación algebraicas, sino que también pueden evaluar de manera integral la comprensión y aceptación de los estudiantes del lenguaje simbólico matemático, así como su comprensión de las relaciones generales y especiales. Por lo tanto, es preferido por los formuladores de preguntas y ha aparecido continuamente en las preguntas del examen de ingreso a la universidad en los últimos años. Sin embargo, debido a la naturaleza abstracta y oculta de tales problemas, la mayoría de los estudiantes se sienten impotentes al resolverlos. Los siguientes ejemplos analizan estrategias para resolver este tipo de problema.

Ejemplo: Supongamos que y=f(x) es una función definida en el intervalo [-1, 1] y satisface las siguientes condiciones:

(I)f(-1) = f(1)= 0;

(ii) Para cualquier u, v ∈ [-1, 1], existe -f (u)-f (v)-≤-u-v-.

(I) Demostrar que para cualquier x ∈ [-1, 1], existe x-1≤f(x)≤1-x

(2) Demostrar que; para cualquier u , v ∈ [-1, 1], existe -f (u)-f (v)-≤ 1.

Solución al problema:

(1) Prueba: Según las condiciones de la pregunta, cuando x ∈ [-1, 1], f(x)= f(x)- f (1)≤-x-1-= 65438.

(2) Demuestre que para cualquier u, v ∈ [-1, 1], cuando -u-v-≤ 1, existe -f (u)-f (v)-≤ 1.

Cuando -u-v->;1, u v lt0, también puedes establecer u;1, donde v ∈ (0, 1), u ∈ [-1, 0).

Para que las condiciones conocidas funcionen, debes tomar un punto en [-1, 0] que coincida con U para aprovechar las condiciones conocidas Combinado con f (-1) = f (1. ) = 0, este punto se puede elegir como -1. De manera similar, se debe considerar que el punto 1 en (0,1) coincide con V para aprovechar las condiciones conocidas. Por lo tanto, -f(u)-f(v)-≤-f(u)-f(-1)- -f(v)-f(1)-≤-u 1- -v-65438.1

En resumen, cualquier u, v ∈ [-1, 1] tiene -f (u)-f (v)-≤ 1.

Comentarios: Respecto a preguntas sobre funciones abstractas, se suelen dar ecuaciones o desigualdades que satisface la función. Por lo tanto, al resolver problemas relacionados, primero debemos realizar cambios estructurales en la fórmula a probar o resolver, de modo que la estructura del problema a probar o resolver sea la misma que la del problema conocido. Por ejemplo, esta pregunta no proporciona la expresión analítica de la función y=f(x), pero proporciona un conjunto de correspondencias específicas f(-1)=f(1)=0 y proporciona la diferencia entre las dos variables. La relación general es que el valor absoluto de no es menor que el valor absoluto de la diferencia entre los valores de la función correspondiente. En la prueba de (1), f(x) se reescribe como -f(x)-=-f(x)-f(1)-; en la prueba de (2), f (-1) = f ( 1) = 0, y -f (u)-f (v)-f (u)-≤-f (-.

Además, las propiedades de la función dadas en el problema de función abstracta, para el dominio Todos los números reales suelen ser verdaderos. Por lo tanto, especializar el problema general y seleccionar valores especiales apropiados (como x = 1, Y = 0, etc.) de acuerdo con el significado de la pregunta es una de las estrategias más importantes. .

En resumen, los problemas de funciones abstractas generalmente son difíciles de resolver con métodos convencionales, pero si puedes resolverlos con métodos y medios especiales a través del análisis de información y la investigación sobre el tema, a menudo obtendrás el doble de resultado. con la mitad del esfuerzo. Al mismo tiempo, debe cooperar estrechamente al utilizar estas estrategias. Ventajas complementarias.