El desarrollo de la geometría
Se puede decir que el contenido principal de la investigación en geometría, con el fin de discutir las diversas propiedades de diferentes patrones, es muy inseparable de la vida humana. Ya en Babilonia y Egipto, se sabía que la gente utilizaba las propiedades de algunas figuras para medir la tierra y dividir las áreas de pastoreo. Sin embargo, no se considera un conocimiento independiente, sino sólo un sentido común básico en la vida humana. Sólo desde la época de la antigua Grecia nos lo hemos tomado realmente en serio. Entonces, presentémoslo brevemente.
Geometría griega antigua
Geometría analítica
Geometría en perspectiva
Geometría no euclidiana
Geometría diferencial
p>
Axiomatización de la geometría
El desarrollo de la geometría griega antigua
1 etapa de desarrollo
2 Razones del desarrollo de la geometría griega antigua
3. La contribución de Ochilade: introducción de “elementos”
4. La contribución de Arquímedes
5. La contribución de Apolonio Os
6. geometría
(1) Problema del cuadrado y del círculo
(2) Problema de producto doble
(3) Problema de trisección angular.
(4) Postulado de las Paralelas
7. Personas que influyeron en el desarrollo de las matemáticas
8 Razones del declive de las matemáticas griegas antiguas
9. Ciencias aplicadas relacionadas con la geometría
10. Crítica a las matemáticas griegas antiguas
1. Etapa de desarrollo:
La geometría desarrollada en la antigua Grecia es todo. Motivación matemática moderna. Para comprender toda la estructura matemática, primero debemos comprender el desarrollo de la geometría durante el período griego antiguo. Podemos dividirlo en tres etapas:
(1) Ilustración:
Los personajes principales son Tales, Pitágoras y Edducus.
Tales:
Como padre de la astronomía y la geometría en la antigua Grecia, predijo correctamente el momento de los eclipses solares. Comenzó a realizar investigaciones sistemáticas sobre algunas figuras geométricas.
Pitágoras (Pitágoras):
La creación colectiva pionera, conocida como Escuela Pibi, fue también el músico que inventó la escala Pibi. El teorema de la proporción es un teorema importante en geometría. Esta escuela de pensamiento cree que el "número" es la base de todo en el universo.
Especialmente el dólar estadounidense:
Se estableció el método exhaustivo. El llamado método exhaustivo es el concepto de "aproximación infinita". La idea principal es obtener una aproximación de pi. En teoría, Eudoras fue la fundadora del cálculo.
Otra aportación de Eudoras fue su estudio sistemático del problema de la proporción.
(2) Periodo pico:
Las cifras importantes incluyen: Euclides.
Arquímedes
Apolonio (Apolonos)
Okild:
Organizó Aprendió algunos logros previos en matemáticas y escribió el libro "Elementos " (traducido en chino como "Elementos de geometría"). Este libro fue el primer libro de texto de matemáticas de la historia y el más vendido. Todas las ramas de las matemáticas en el futuro comenzarán con este libro. En la actualidad, el contenido de geometría plana en las escuelas secundarias todavía se basa en el libro "Elementos". Los detalles de este libro se presentarán por separado más adelante. Otra ventaja de este libro es que es fácil de leer. El propio O'Child no logró ningún avance matemático importante, pero era un maestro en matemáticas. Este libro no se introdujo en China hasta mediados de la dinastía Ming.
Arquímedes:
Nació en Sicilia y estudió en Alejandría, Egipto. Es uno de los tres mayores matemáticos de la historia y ha inventado innumerables cosas. Lo presentaremos a él y a sus contribuciones por separado más adelante.
Apolonio:
Contemporáneo de Arquímedes, su mayor aportación fue el estudio de las secciones cónicas, que posteriormente desembocó en la invención de la geometría analítica e incluso del cálculo de impacto directo. La aplicación de secciones cónicas no se desarrolló hasta el siglo XVI.
(3) Decadencia:
Desde Arquímedes y Apolonio, las matemáticas griegas han entrado gradualmente en un período de decadencia.
Ptolomeo:
Promueve las funciones trigonométricas y populariza la astronomía.
Pabbs:
Se puede decir que es una cifra representativa del periodo anterior.
2. Razones del desarrollo de la geometría en la antigua Grecia:
No podemos evitar preguntar: ¿Por qué la antigua Grecia desarrolló resultados matemáticos tan fantásticos? Lo que los motivó a ver la naturaleza como desordenada, misteriosa, diversa y aterradora en todas las civilizaciones anteriores a Grecia. Los fenómenos naturales están controlados por Dios. La vida y la suerte de las personas están determinadas por la voluntad de Dios. Sin embargo, durante la civilización griega, los intelectuales adoptaron una nueva postura hacia la naturaleza, racional, evaluativa y realista. Respetan la naturaleza.
La Escuela Bi propuso por primera vez el siguiente concepto: "Erradicar el misterio y la incertidumbre de las actividades naturales, reorganizar los fenómenos naturales aparentemente caóticos en un orden y patrones comprensibles, y la clave decisiva está en la aplicación de las matemáticas". las ideas de la Escuela Bi:
Platón creía: "Sólo siguiendo las matemáticas podemos comprender la verdadera cara del mundo real. La ciencia se convierte en ciencia porque contiene matemáticas". Esta visión de la naturaleza y estableció la práctica de estudiar la naturaleza basándose en las matemáticas, proporcionó un enorme incentivo para la innovación matemática en la propia era de los consumidores de cera y en las generaciones posteriores. En matemáticas, la geometría es la descripción más cercana. Para los griegos, los principios geométricos eran expresiones concretas de la estructura del universo.
3. Contribución de Okhilid:
El libro "Elementos" tiene 13 volúmenes y su contenido es el siguiente:
(1) Volúmenes 1-6: Geometría plana, basada en los siguientes cinco postulados:
a.
b. Las líneas rectas se pueden extender a voluntad.
c. Puedes dibujar un círculo con cualquier punto como centro y cualquier longitud como radio.
d. Los ángulos rectos son todos iguales.
Postulado de las paralelas
Estudia las siguientes propiedades:
La naturaleza de los triángulos: consistencia, similitud, etc.
Propiedades de las líneas paralelas: ángulos internos desplazados, ángulos congruentes.
Teorema de Bi.
Propiedades de los círculos: círculos inscritos y círculos circunscritos.
Una cuestión de proporción.
Propiedades de los paralelogramos.
(2) Tomos 7, 8 y 9: Teoría de los Números Enteros.
Este artículo analiza los números impares, pares y primos, y analiza la aplicación del método exhaustivo.
(3) Volumen 11, 12, 13: Geometría Sólida
Se discuten las propiedades de la pirámide cuadrangular, el cono y el cilindro, y se introduce la aplicación del método exhaustivo.
(4) Volumen 10: Problemas que no se pueden medir
Similar a las propiedades de los números irracionales.
La característica más importante de este libro es:
Simplemente cita algunos supuestos simples, luego deriva una serie de teoremas basados en estos supuestos y finalmente se convierte en una teoría estricta. Se establece un razonamiento lógico entre causa y efecto, estableciendo así el estatus de las matemáticas como ciencia deductiva. Este libro también tiene algunas deficiencias y, de hecho, estas deficiencias serán la fuerza impulsora del futuro desarrollo matemático. Por ejemplo, el Artículo 5 (Postulado Paralelo), hay innumerables matemáticos trabajando en torno a este supuesto. Finalmente, en el siglo XIX se creó la geometría no euclidiana, lo que condujo directamente a la teoría de la relatividad de Einstein. "Los Elementos" es el primer trabajo matemático. A través del estudio, comprenderá los conceptos básicos de las matemáticas, los métodos de demostración y la lógica del diseño de teoremas.
Otras obras de Ochirid:
Cono, cuyo contenido es el esqueleto de "sección cónica" de aroni AS.
Los fenómenos discuten cuestiones astronómicas.
4. La contribución de Arquímedes:
Arquímedes nació en Sinaco, Sicilia, en el año 287 a.C. Estudió en Alejandría. Su actitud hacia el aprendizaje era partir de algunos axiomas simples y luego utilizar una lógica impecable para deducir otros teoremas, describiendo la física y las matemáticas juntas. Fue el primero, por lo que también podemos llamarlo el padre de la física. Fue el primer ingeniero con espíritu científico. Busca principios universales. Luego se aplica a problemas especiales de ingeniería. Su contribución más importante es el desarrollo del "método exhaustivo", que equivale al concepto de "aproximación arbitraria" y ha entrado en el campo del cálculo moderno. Utilizó el método exhaustivo para calcular el valor aproximado de π y obtuvo:
3.1408 <π<3.142858
Arquímedes fundó la hidrostática (el principio de flotabilidad es el resultado más importante), y también descubrió el principio de apalancamiento, por lo que puede ser considerado un experto técnico (un experto en arte).
La muerte de Arquímedes puede representar el comienzo del declive de las matemáticas griegas, cuyos motivos analizaremos más adelante. Una de las deficiencias de la obra de Arquímedes es que es muy difícil de entender e ilegible. Por lo tanto, no ha tenido tanta difusión como los elementos del libro. Por cierto, el libro de Arquímedes "El método" fue descubierto en Turquía en 1906, lo que causó sensación en aquel momento.
5. La contribución de Apolonio:
Él y Arquímedes vivieron en Alejandría al mismo tiempo. Su principal objeto de investigación fueron las secciones cónicas. Hubo algunos resultados esporádicos ante él, pero comenzó a definir y discutir estrictamente las secciones cónicas. Desde un punto de vista geométrico, se puede decir que su libro "Secciones cónicas" es el pináculo de la geometría griega antigua. Este libro consta de ocho volúmenes con 487 artículos. Su verdadera practicidad no se desarrolló hasta el siglo XVI. De hecho, después de este período, los matemáticos de cualquier período probablemente comenzaron con los "elementos" de Ochiridus y las "cónicas" de Apolonio.
6. El famoso problema de las matemáticas griegas:
El llamado problema es si el siguiente problema se puede resolver usando sólo un compás y una regla sin graduaciones:
Fangyuan preguntó:
¿Se puede convertir un círculo conocido en un cuadrado de modo que las dos áreas sean iguales?
Este problema fue estudiado por mucha gente en la época de Doras, y no se demostró que fuera imposible hasta el siglo XIX. Sin embargo, durante el período de investigación surgieron muchas otras ramas de las matemáticas.
Problema de doble producto:
Para un cubo regular conocido, su largo, ancho y alto deben ampliarse de modo que el volumen del nuevo cubo sea el doble que el del cubo original.
Problema de ángulos congruentes:
¿Cómo dividir cualquier ángulo en tres partes iguales?
Los problemas 2 y 3 no se resolvieron hasta el siglo XIX y resultaron imposibles.
Postulado de las paralelas:
Algunas personas piensan que el postulado de las paralelas no es un postulado, por lo que algunas personas lo eliminaron y crearon un nuevo conjunto de unos sin violar la geometría euclidiana original. que es geometría no euclidiana, es también la base de la teoría de la relatividad de Einstein.
Algunos pueden pensar que los griegos no eran realistas. Estas tres preguntas eran completamente irreales en ese momento y solo se puede decir que algunas personas de la clase ociosa las utilizaron para agudizar su cerebro. Pero fue precisamente porque tanta gente dedicó su energía a la investigación que esto condujo indirectamente a la tendencia de la investigación geométrica, que condujo al vigoroso desarrollo de las matemáticas en el futuro.
7. Una figura influyente en el desarrollo de las matemáticas
(1) Alejandro Magno
②Dinastía Ptolemaica:
La ciudad de Se fundó Alejandría y se construyó la Biblioteca de Alejandría, que era la biblioteca más grande del mundo en ese momento. En esta biblioteca surgieron muchos eruditos influyentes. (Arquímedes y otros)
Rey Héroe:
Rey de Sicilia, patrón directo de Arquímedes.
Sócrates, Platón, Aristóteles.
Cleopatra
Última figura de la dinastía ptolemaica, ella provocó el primer incendio en la Biblioteca de Alejandría.
Líderes cristianos y musulmanes:
Protagonistas principales de la segunda y tercera destrucción de las matemáticas griegas.
8. El declive de las matemáticas griegas
Después de Arquímedes, Apolonio y otros, las matemáticas griegas comenzaron a decaer, discutiremos las consecuencias que sufrió más adelante:
Primera Catástrofe:
Con la llegada de los romanos, las matemáticas griegas fueron destruidas. Los romanos eran muy prácticos. Diseñaron muchos proyectos pero se negaron a pensar profundamente en los principios de uso. Los emperadores romanos no estaban interesados en apoyar a los matemáticos. En el siglo XIV a. C., Grecia fue completamente conquistada por Roma. En aquella época Cleopatra, última monarca de la dinastía ptolemaica, tenía una buena relación con César. César la ayudó en su disputa con su hermano prendiendo fuego a los barcos de guerra en Alejandría. Como resultado, el incendio se salió de control y la Biblioteca de Alejandría fue incendiada. Probablemente millones de libros y manuscritos fueron incendiados, causando grandes daños. Esta vez, la destrucción consumió muchas matemáticas griegas.
La segunda catástrofe:
El ascenso del cristianismo llevó a las matemáticas griegas a la segunda catástrofe. Debido a que se oponían a los estudios fuera de la iglesia y se burlaban de las matemáticas, la astronomía y la física, los cristianos se vieron obligados a prohibir su participación en los estudios griegos para evitar la contaminación. Así que miles de libros griegos fueron destruidos.
El tercer desastre:
Después de que los musulmanes conquistaron Alejandría, hasta los últimos libros fueron quemados. En ese momento, había esta frase en "Conquistas musulmanas": Si el contenido de estos libros ya estuviera en el Corán, no tendríamos que leerlos. Si no estuvieran en el Corán, no deberíamos leerlos, por lo que todos los libros fueron quemados.
Resto:
En esta época, algunos eruditos se trasladaron a Constantinopla y depositaron su confianza en el Imperio Romano de Oriente. Aunque la atmósfera todavía era hostil para los cristianos, siempre fue relativamente segura, lo que permitió que el acervo de conocimientos aumentara lentamente, y no fue hasta el Renacimiento en el siglo XIV que floreció.
9. Ciencia relacionada con la geometría
Astronomía:
Para los griegos, los principios geométricos eran la expresión concreta del espacio, por eso casi todos los matemáticos han trabajado duro sobre astronomía. De hecho, la invención de la trigonometría fue una tecnología desarrollada para el estudio de la astronomía. Muchos matemáticos idearon modelos del movimiento entre los cuerpos celestes y los planetas. La popular teoría heliocéntrica de aquella época, que conocía el centro de la Tierra, fue propuesta por Aristarco (fue el primer gran astrónomo de Alejandría). Sin embargo, en aquel momento había muchos opositores. La teoría geocéntrica fue propuesta por Ptolomeo. Esta teoría no fue revocada hasta el siglo XVI. En la época ptolemaica, que fue el período cumbre del desarrollo de la astronomía. Otro gran astrónomo fue Apolonio, que describió el movimiento de los planetas desde una perspectiva cuantitativa, cercana al campo de la astronomía en el siglo XVIII. El "Almagest" de Ptolomeo es una obra clásica.
Además, los matemáticos chinos también han hecho grandes contribuciones en geometría, como se enumeran a continuación:
Historia de la geometría china
A partir de finales de la dinastía Ming (XVI siglo) hasta Antes de la publicación de parte de la traducción china de los Elementos de Euclides, la geometría china se había desarrollado de forma independiente durante mucho tiempo. Debemos prestar atención a muchas artesanías antiguas y logros en ingeniería arquitectónica e ingeniería hidráulica, que contienen un rico conocimiento geométrico.
China tiene una larga historia de geometría, con registros fiables que se remontan al siglo XV a.C. En Oracle, hay dos palabras: reglas y ju. Las reglas se utilizan para dibujar círculos y los momentos para dibujar cuadrados.
La forma del rectángulo en las tallas de piedra de la dinastía Han es similar al triángulo rectángulo actual. Alrededor del siglo II a. C., China tenía registros del famoso teorema de Pitágoras (el origen de Pitágoras fue relativamente tardío).
El estudio de los círculos y cuadrados juega un papel importante en el desarrollo de la geometría china antigua. La definición de círculo de Mozi es: "Un círculo es tan largo como uno". Un círculo cuyo centro es igual a su circunferencia se llama círculo, lo cual fue explicado más de 100 años antes que Euclides.
También están Liu Xin (? 23), Zhang Heng (78-139), Liu Hui (263), Wang Fan (219-257), Zu Chongzhi (429-500), Zhao Youqin ( Siglo XIII d.C.) et al., entre los que se encuentran los métodos y resultados de Liu Hui, Zu Chongzhi y Zhao Youqin.
El resultado π=355/133 obtenido por Zu Chongzhi es más de mil años anterior al de Europa.
En las notas de Liu Hui de "Nueve capítulos de aritmética", su genio para el concepto de límites se ha revelado muchas veces.
El uso de triángulos o cuadrados rectángulos en geometría plana y el uso de conos y cilindros rectangulares para desplazamiento en geometría sólida constituyen las características de la geometría china antigua.
Los matemáticos chinos son buenos aplicando resultados algebraicos a la geometría, utilizando figuras geométricas para demostrar la combinación orgánica de álgebra, álgebra numérica y geometría intuitiva, y han logrado buenos resultados en la práctica.