Una breve historia del análisis y el cálculo

La rama analítica de las matemáticas es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de los números reales y complejos y sus funciones. Su desarrollo comenzó con el cálculo y se extendió a la continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad de funciones. Estas características nos ayudan a estudiar el mundo físico y descubrir las leyes de la naturaleza.

Históricamente, el análisis matemático se originó en el siglo XVII con la invención del cálculo por Newton y Leibniz. Temas del análisis matemático de los siglos XVII y XVIII, como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras, se desarrollaron básicamente en el trabajo aplicado. Los métodos de cálculo aproximan con éxito problemas discretos utilizando métodos continuos.

A lo largo del siglo XVIII, la definición del concepto de función se convirtió en un tema de debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Cauchy estableció por primera vez el cálculo sobre una base lógica sólida al introducir el concepto de secuencias de Cauchy. También fundó la teoría formal del análisis complejo. Poisson, Joseph Liouville, Fourier y otros matemáticos estudiaron ecuaciones diferenciales parciales y análisis armónicos.

A mediados de ese siglo, Riemann introdujo su teoría integral. En los últimos treinta años del siglo XIX se produjo la aritmetización del análisis de Veiershtrass. Consideró que el argumento geométrico era inherentemente engañoso e introdujo la definición de límites (ε, δ). En este punto, los matemáticos comenzaron a preocuparse de que estuvieran asumiendo la existencia de continuos reales sin pruebas. Dedekind utilizó el método de división de Dedekind para construir números reales. Por esa época, los intentos de mejorar el teorema integral de Riemann también llevaron al estudio del "tamaño" de conjuntos discontinuos de funciones reales.

Además, se crean funciones que son discontinuas en todas partes, funciones que son continuas pero no diferenciables en todas partes y curvas que llenan el espacio. En este contexto, Jordan desarrolló su teoría de la medida, Cantor desarrolló lo que ahora es una ingenua teoría de conjuntos y Bell demostró el teorema de Bell. A principios del siglo XX, la teoría de conjuntos axiomática formalizó el cálculo. Lebesgue resolvió el problema de la medida y Hilbert introdujo el espacio de Hilbert para resolver la ecuación integral. La idea de los espacios vectoriales normados comenzó a difundirse y, en la década de 1920, Banach fundó el análisis funcional.

El análisis matemático se divide actualmente en los siguientes subcampos:

El análisis real es el estudio formalmente riguroso de diferenciales e integrales de funciones reales. Esto incluye el estudio de límites, series de potencias y medidas.

El análisis funcional estudia los espacios funcionales e introduce conceptos como el espacio de Banach y el espacio de Hilbert.

El análisis armónico involucra series de Fourier y sus abstracciones.

El análisis complejo es el estudio de funciones complejas diferenciables desde el plano complejo al plano complejo.