La historia de la formación y el desarrollo de funciones.
El término matemático función fue utilizado por Leibniz en 1694 para describir una cantidad relacionada de una curva, como la pendiente de la curva o un punto de la curva. Las funciones a las que se refería Leibniz ahora se denominan funciones derivadas, y las funciones que generalmente encuentran las personas comunes y corrientes distintas de los matemáticos entran en esta categoría. Para una función diferenciable, podemos discutir sus límites y derivadas. Estos dos describen la relación entre los cambios en el valor de salida de una función y los cambios en el valor de entrada, y son la base del cálculo.
En 1718, Johann Bernoulli definió una función como "una función de una variable es una cantidad que consiste de alguna manera en esta variable y una constante". En 1748, el alumno de Johann Bernoulli, Leonhard Euler, dijo en su libro " Introducción al Análisis Infinito": "Una función de variables es una expresión analítica compuesta de cualquier forma por variables y algunos números o [constantes]". Por ejemplo, f(x) = sin(x) x3. En 1775, Euler propuso la definición de función en su libro "Principios de cálculo diferencial": "Si ciertas cantidades dependen de otras cantidades de la siguiente manera, es decir, cuando este último ocurre. Cuando cambia, el primero también cambia, entonces la cantidad del primero se llama función de la cantidad del segundo." Los matemáticos del siglo XIX comenzaron a estandarizar todas las ramas de las matemáticas. Karl Weierstrass propuso que el cálculo debería basarse en la aritmética y no en la geometría, por lo que prefirió la definición de Euler.
Al ampliar la definición de funciones, los matemáticos pueden estudiar algunos objetos matemáticos "extraños", como las funciones continuas no derivadas. Alguna vez se consideró que estas funciones tenían sólo valor teórico, pero hasta principios del siglo XX todavía se las consideraba "monstruos". Posteriormente se descubrió que estas funciones desempeñan un papel importante en el modelado de fenómenos físicos como el movimiento browniano.
A finales de 2019, los matemáticos comenzaron a intentar utilizar la teoría de conjuntos para estandarizar las matemáticas. Intentan definir cada tipo de objeto matemático como un conjunto. John Peter Gustave Lejeune Dirichlet dio la definición formal moderna de función. La definición de Dirichlet trata las funciones como casos especiales de relaciones matemáticas. Pero para aplicaciones prácticas, se puede ignorar la diferencia entre la definición moderna y la definición de Euler.