Ensayo de traducción al inglés sobre el caos.

En matemáticas, la teoría del caos describe el comportamiento de ciertos sistemas dinámicos (es decir, sistemas cuyos estados evolucionan con el tiempo) que pueden exhibir un comportamiento dinámico que es altamente sensible a las condiciones iniciales (a menudo llamado efecto mosca de la mantequilla). Esta sensibilidad se manifiesta como un crecimiento exponencial de las perturbaciones en las condiciones iniciales, de modo que el comportamiento de un sistema caótico parece aleatorio. Esto sucede incluso si estos sistemas son deterministas, lo que significa que su dinámica futura está determinada enteramente por las condiciones iniciales y no contienen ningún factor aleatorio. Este comportamiento se llama caos determinista o simplemente caos.

El comportamiento caótico también se puede observar en sistemas naturales, como el clima. Esto puede explicarse mediante un análisis de la teoría del caos de un modelo matemático de dicho sistema, que incorpora las leyes físicas asociadas con los sistemas naturales.

Descripción general

Se ha observado un comportamiento caótico en una variedad de sistemas de laboratorio, incluidos circuitos, láseres, reacciones químicas oscilantes, dinámica de fluidos y mecanismos mecánicos y magnéticos. Las observaciones del comportamiento caótico en la naturaleza incluyen la dinámica de los satélites del sistema solar, la evolución temporal de los campos magnéticos celestes, el crecimiento demográfico en ecología, la dinámica de los potenciales de acción en las neuronas y las vibraciones moleculares. Los ejemplos cotidianos de sistemas caóticos incluyen el tiempo y el clima. [1] Existe cierta controversia sobre la existencia de dinámica caótica en la tectónica de placas y la economía. [2][3][4]

Los sistemas que exhiben caos matemático son deterministas y, por lo tanto, en cierto sentido ordenados; este uso técnico del término caos es inconsistente con el lenguaje común. Este último implica caos total. Un campo relacionado de la física llamado teoría del caos cuántico estudia sistemas que obedecen las leyes de la mecánica cuántica. Recientemente ha surgido otro campo, el llamado caos relativista [5], para describir sistemas que obedecen las leyes de la relatividad general.

Además de estar ordenados en un sentido determinista, los sistemas caóticos suelen tener estadísticas bien definidas. [Cita requerida] Por ejemplo, el sistema de Lorentz en la figura es caótico pero tiene una estructura claramente definida. Caos acotado es un término útil para describir modelos desordenados.

Historia

El primer descubridor del caos fue Henri Poincaré. En 1890, mientras estudiaba tres cuerpos, descubrió que era posible tener órbitas no periódicas, pero que no aumentarían eternamente ni se acercarían a un punto fijo. [6] En 1898, Jacques Hadamard publicó un influyente artículo que estudiaba el movimiento caótico de partículas libres que se deslizaban sin fricción sobre una superficie con curvatura negativa constante. [7] En el sistema estudiado "La bola de billar de Hadamard", Hadamard pudo demostrar que todas las trayectorias son inestables porque todas las trayectorias de las partículas divergen entre sí exponencialmente, con exponentes de Lyapunov positivos.

Muchas de las primeras teorías fueron desarrolladas casi en su totalidad por matemáticos en nombre de la teoría ergódica. Más tarde, G.D. Birkhoff, [8] A. N. Kolmogorov, [9][10][11] M. L. Cart Wright y J.E. Littlewood, [12] y Stephen Smale también realizaron investigaciones sobre ecuaciones diferenciales no lineales. [13] Con la excepción de Smale, estos estudios se inspiraron directamente en la física: los tres cuerpos de Birkhoff, la turbulencia y los problemas astronómicos de Kolmogorov y la ingeniería de radio de Cartwright y Littlewood. Aunque no se ha observado un movimiento planetario caótico, los experimentadores han encontrado turbulencias en el movimiento de fluidos y oscilaciones no periódicas en circuitos de radio sin una teoría que explique lo que vieron.

A pesar de los conocimientos iniciales de la primera mitad del siglo XX, la teoría del caos sólo tomó forma formal después de mediados del siglo XX, cuando algunos científicos descubrieron por primera vez que la entonces dominante teoría de sistemas (la teoría lineal) —simplemente no puede Explicar el comportamiento observado en algunos experimentos, como el mapeo lógico. Lo que antes estaba excluido de la precisión de las mediciones y del simple "ruido", la teoría del caos lo considera una parte integral del sistema en estudio.

El principal catalizador para el desarrollo de la teoría del caos fueron los ordenadores electrónicos.

Gran parte de las matemáticas de la teoría del caos implican iteraciones repetidas de fórmulas matemáticas simples y no es práctico hacerlo a mano. Las computadoras electrónicas hicieron factibles estos cálculos repetidos, y los números y las imágenes hicieron posible visualizar estos sistemas. Una de las primeras computadoras digitales electrónicas, ENIAC, se utilizó para ejecutar modelos simples de pronóstico del tiempo.

Uno de los primeros pioneros de esta teoría fue Edward Lorenz, cuyo interés por el caos surgió fortuitamente a través de su trabajo en predicción del tiempo en 19654 38 0. Lorenz utiliza una sencilla computadora digital, la Royal McBee LGP-30, para ejecutar sus simulaciones meteorológicas. Quería volver a ver una serie de datos y, para ahorrar tiempo, inició la simulación a mitad de camino. Puede hacerlo ingresando una copia impresa de los datos correspondientes a las condiciones durante la última simulación calculada.

Para su sorpresa, la máquina empezó a predecir un tiempo completamente diferente al que había calculado previamente. Lorenz rastreó la copia impresa del ordenador. La computadora funciona con una precisión de 6 dígitos, pero la impresión redondea la variable a 3 dígitos, por lo que un valor como 0,506127 se imprime como 0,506. La diferencia era pequeña y el consenso en ese momento fue que prácticamente no tuvo ningún efecto. Sin embargo, Lorenz descubrió que pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden conducir a grandes cambios en los resultados a largo plazo. [15] El descubrimiento de Lorenz (que da nombre al atractor de Lorentz) demostró que la meteorología no puede predecir razonablemente el tiempo que excede un ciclo semanal (como máximo).

Hace un año, Benoit Mandelbrot descubrió patrones recurrentes en todas las escalas en los datos sobre los precios del algodón. [16] Antes de esto, estudió la teoría de la información y concluyó que el patrón de ruido es similar al conjunto de Cantor: en cualquier escala, la relación entre los períodos que contienen ruido y los períodos libres de errores es constante, por lo que los errores son inevitables. planificarse introduciendo redundancia. [17] Mandelbrot describió el "efecto Noé" (en el que pueden ocurrir cambios repentinos y discontinuos, por ejemplo, en el precio de una acción después de una mala noticia, desafiando así la teoría de la distribución normal en estadística, también conocida como curva de campana) y el " Efecto Joseph" (en el que la persistencia de un valor puede aparecer durante un tiempo pero luego cambiar repentinamente). [18][19] En 1967, publicó "¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?" "Auto-semejanza estadística y dimensión fraccionaria", que muestra que la longitud de una costa varía con la escala del instrumento de medición, es similar a sí misma en todas las escalas y tiene una longitud infinita para equipos de medición infinitesimales [20]. Un ovillo de hilo parece un punto (dimensión 0) cuando se ve desde lejos, un ovillo (dimensión 3) cuando se ve de cerca, o una curva (dimensión 1), él considera un objeto. Las dimensiones son relativas al observador y pueden ser fracciones Un objeto cuyas irregularidades permanecen constantes en diferentes escalas ("autosimilares") es un fractal (por ejemplo, una curva de Koch o un "copo de nieve", que es infinitamente largo, pero contiene un espacio finito cuya dimensión fractal. es aproximadamente igual a 1,2619, la esponja de Menger y la arandela de Sierpiński). En 1975, Mandelbrot publicó "Geometría fractal de la naturaleza", que se convirtió en un clásico de la teoría de los sistemas biológicos, como los sistemas circulatorios y demostró la ramificación del sistema bronquial. para ajustarse al modelo fractal

Muchos experimentadores observaron el caos antes de que fuera reconocido; por ejemplo, van der Pol [21] en 1927 y R.L. Ives en 1958 [22][23]. Ueda parece ser el primer experimentador que confirmó el fenómeno del caos utilizando una computadora analógica el 27 de noviembre. El caos representado por la computadora analógica es un fenómeno real, en contraste con el caos calculado por la computadora digital. Hayashi, el supervisor de Ueda, no creía en el caos, por lo que le prohibió a Ueda publicar sus hallazgos hasta 1970.

[24]

En diciembre de 1977, la Academia de Ciencias de Nueva York organizó el primer simposio sobre el caos. Entre los participantes se encontraban David Ruel, Robert May y James York ("El caos en las matemáticas", "Coiner of the"). término"), Robert Shaw (físico, estuvo en el grupo Eudaemons con J. Don Farmer y Norman Packard, que intentaban encontrar una manera matemática de ganarle a la ruleta, y luego con quien fundó el Dynamic Systems Collective en Santa Cruz), y el meteorólogo Edward Lorenz.

Al año siguiente, Mitchell Feigenbaum publicó el famoso artículo "Universalidad cuantitativa de una clase de transformaciones no lineales", en el que describía mapeos lógicos. [25] Feigenbaum aplicó una vez la geometría fractal al estudio de formas naturales como las costas. El notable descubrimiento de Feigenbaum de la universalidad del caos permitió aplicar la teoría del caos a muchos fenómenos diferentes.

En 1979, Albert J. Libchaber presentó su comprensión de las cascadas de bifurcación que conducen al caos y la turbulencia en el sistema convectivo Rayleigh-Benard en un simposio organizado por Pierre Hohenberg en Observaciones experimentales. Recibió el Premio Wolf de Física de 1986, junto con Mitchell J. Feigenbaum, por "destacadas demostraciones experimentales de transiciones a la turbulencia y el caos en sistemas dinámicos". [26]

La Academia de Ciencias de Nueva York organizó posteriormente la primera gran conferencia sobre el Caos en Biología y Medicina en 1986, junto con el Instituto Nacional de Salud Mental y la Oficina de Investigación Naval. Bernard Hubermann propuso así un modelo matemático de deterioro del seguimiento ocular en la esquizofrenia. [27] Desde entonces, la teoría del caos ha revivido la fisiología en la década de 1980, por ejemplo en el estudio de los ciclos cardíacos patológicos.

En 1987, Per Bak, Chao Tang y Kurt Wiesenfeld publicaron un artículo en Physical Review Letters[28] describiendo por primera vez la criticidad autoorganizada (SOC), que se considera un fenómeno común. en la naturaleza Uno de los mecanismos por los cuales surge la complejidad. Además de los enfoques principalmente basados ​​en laboratorio, como el campo y el montón de Bak-Tang-wiesen, muchos otros estudios se han centrado en sistemas naturales o sociales a gran escala que se sabe (o se sospecha) que muestran un comportamiento invariante de escala. Si bien estos métodos no siempre fueron bien recibidos por los expertos en el tema estudiado (al menos inicialmente), los SOC han surgido como fuertes candidatos para explicar muchos fenómenos naturales, entre ellos: Terremotos (mucho antes de que se descubrieran los SOC, se pensaba que los terremotos eran grandes Fuentes de invariantes comportamiento, como la ley de Gutenberg-Richter que describe la distribución estadística de los tamaños de los terremotos y la ley de Omori que describe la frecuencia de las réplicas [29]; fluctuaciones en sistemas económicos como los mercados financieros (en Física Económica las referencias al SOC son comunes); ; formación del paisaje; incendios forestales; deslizamientos de tierra; epidemias y evolución biológica (se cita el SOC, por ejemplo, como propusieron Niles Eldridge y Stephen Jay Gould "El mecanismo dinámico detrás de la teoría del "equilibrio puntuado"). Es preocupante que, dadas las implicaciones de una distribución de tamaños de eventos sin escala, algunos investigadores hayan sugerido que otro fenómeno que debería considerarse un ejemplo de SOC es la ocurrencia de una guerra. Estos estudios "aplicados" de COS incluyen intentos de modelización (desarrollo de nuevos modelos o modificación de modelos existentes basados ​​en las características específicas de un sistema natural determinado) y análisis extensos de datos para determinar la existencia y/o características de leyes de escala natural.

Ese mismo año, James Gleick publicó Caos: Creando una nueva ciencia, que se convirtió en un éxito de ventas e introdujo los principios generales de la teoría del caos y su historia al público en general. Inicialmente dominio de unos pocos individuos aislados, la teoría del caos se convirtió gradualmente en una disciplina institucional interdisciplinaria, emergiendo principalmente bajo el nombre de análisis de sistemas no lineales. Refiriéndose al concepto de cambios de paradigma revelado por Thomas Kuhn en La estructura de las revoluciones científicas (1962), muchos "caosólogos" (como algunos se autodenominan) afirman que esta nueva teoría es un "cambio" apoyado por J. Gleick como ejemplo.

La llegada de ordenadores más baratos y potentes ha ampliado el alcance de las aplicaciones de la teoría del caos. Actualmente, la teoría del caos sigue siendo un campo de investigación muy activo que involucra muchas disciplinas diferentes (matemáticas, topología, física, biología de poblaciones, biología, meteorología, astrofísica, teoría de la información, etc.).

[editar]Dinámica del Caos

Para que un sistema dinámico sea clasificado como caótico, debe tener las siguientes propiedades:[30]

Debe ser sensible a las condiciones iniciales,

debe estar topológicamente mezclado y sus órbitas periódicas deben ser densas.

La sensibilidad a las condiciones iniciales significa que cada punto de dicho sistema puede ser aproximado arbitrariamente por otros puntos con trayectorias futuras muy diferentes. Por lo tanto, cualquier pequeña perturbación de la trayectoria actual puede conducir a un comportamiento futuro significativamente diferente.

La sensibilidad a las condiciones iniciales a menudo se denomina "efecto mariposa" después de que Edward Lorenz presentara un artículo a la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia en Washington, D.C., en 1972, titulado "Predictability" Sex: Can ¿Una mariposa brasileña que bate sus alas provoca un tornado en Texas?". El aleteo representa un pequeño cambio en las condiciones iniciales de un sistema que desencadena una cadena de eventos que conducen a fenómenos a gran escala. Si la mariposa no hubiera estado batiendo sus alas, la trayectoria de este sistema podría haber sido muy diferente.

En el lenguaje popular, la sensibilidad a las condiciones iniciales suele confundirse con el caos. También puede ser una propiedad sutil porque depende de la elección de la métrica o del concepto de distancia en el espacio de fase del sistema. Por ejemplo, considere el sistema dinámico simple producido al duplicar repetidamente un valor inicial (definido iterando el mapeo en la línea real mapeando x a 2x). Este sistema tiene una dependencia sensible de las condiciones iniciales en todas partes, ya que cualquier par de puntos cercanos eventualmente se alejarán. Sin embargo, tiene un comportamiento extremadamente simple ya que todos los puntos excepto 0 tienden al infinito. Si, en cambio, utilizamos una métrica acotada en una recta obtenida sumando puntos en el infinito y tratamos el resultado como un círculo, el sistema ya no es sensible a las condiciones iniciales. Por esta razón, al definir el caos, la atención suele limitarse a sistemas con métricas acotadas, o a subconjuntos cerrados, acotados e invariantes de sistemas ilimitados.

Incluso para sistemas acotados, la sensibilidad a las condiciones iniciales no es equivalente al caos. Por ejemplo, considere un toro bidimensional descrito por un par de ángulos (x, y), cada uno de los cuales varía de 0 a 2π. Defina una aplicación desde cualquier punto (x, y) a (2x, y a), donde a es cualquier número que haga que a/2π sea irracional. Debido a la duplicación de la primera coordenada, el mapa muestra una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Sin embargo, debido a rotaciones irracionales en la segunda coordenada, no hay órbitas periódicas, por lo que el mapa no es caótico según la definición anterior.

La mezcla topológica significa que el sistema evolucionará con el tiempo de modo que cualquier región dada o el conjunto abierto de su espacio de fase eventualmente se superpondrá con cualquier otra región dada. Aquí, "mezclar" en realidad significa consistente con la intuición estándar: una mezcla de tintes o líquidos coloreados es un ejemplo de un sistema caótico.

Un sistema lineal nunca puede ser caótico; para que un sistema dinámico exhiba un comportamiento caótico, debe ser no lineal. Asimismo, según el teorema de Poincaré-Bendixon, un sistema dinámico continuo sobre un plano no puede ser caótico entre los sistemas continuos, sólo aquellos espacios de fases no son planos (tienen al menos tres dimensiones, o tienen geometría no euclidiana). exhibir un comportamiento caótico. Sin embargo, un sistema dinámico discreto (como un mapa logístico) puede exhibir un comportamiento caótico en un espacio de fase uni o bidimensional.

[editar]Atractor

Algunos sistemas dinámicos son caóticos en todas partes (ver, por ejemplo, difeomorfismo de Anosov), pero en muchos casos el comportamiento caótico ocurre solo en subdivisiones del espacio de fase que se encuentra dentro. el conjunto. La situación más interesante ocurre cuando ocurre un comportamiento caótico en el atractor, porque entonces un gran conjunto de condiciones iniciales hará que la órbita converja en esta región caótica.

Una forma sencilla de visualizar un atractor caótico es comenzar en un punto de la cuenca de atracción del atractor y simplemente trazar su trayectoria posterior.

Debido a la condición de transitividad topológica, es probable que esto produzca una imagen de todo el atractor final.

Por ejemplo, en un sistema que describe un péndulo, el espacio de fase podría ser bidimensional y consistir en información de posición y velocidad. Se puede representar gráficamente la posición de un péndulo en relación con su velocidad. Un péndulo en reposo se representará como un punto, mientras que un péndulo en movimiento periódico se representará como una curva cerrada simple. Cuando dicha gráfica forma una curva cerrada, la curva se llama órbita. Nuestro péndulo tiene un número infinito de órbitas de este tipo, formando un conjunto de elipses anidadas alrededor del origen.

[editar]Atractores extraños

Si bien la mayoría de los tipos de movimiento mencionados anteriormente producen atractores muy simples, como puntos y curvas en forma de círculos llamados ciclos límite, el movimiento caótico crea así- llamados atractores extraños, que pueden tener gran detalle y complejidad. Por ejemplo, un modelo tridimensional simple del sistema meteorológico de Lorentz produce el famoso atractor de Lorentz. El atractor de Lorenz es quizás uno de los diagramas de sistemas caóticos más famosos, probablemente porque no solo es uno de los primeros diagramas de sistemas caóticos, sino también uno de los más complejos, lo que da como resultado uno que parece un ala de mariposa. patrón. Otro de esos atractores es R? Mapa más pequeño, que ha pasado por un segundo ciclo de duplicación que conduce al caos, al igual que el mapa logístico.

Los atractores extraños existen tanto en sistemas dinámicos continuos (como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (como el mapa de Hénon). Otros sistemas dinámicos discretos tienen una estructura repulsiva llamada conjunto de Julia, que se forma en los límites entre cuencas de atracción en puntos fijos; los conjuntos de Julia pueden considerarse extraños repulsores. Los atractores extraños y los conjuntos de Julia suelen tener estructuras fractales.

El teorema de Poincaré-Bendixon establece que un atractor extraño sólo puede aparecer en un sistema dinámico continuo si tiene tres o más dimensiones. Sin embargo, esta limitación no se aplica a los sistemas discretos, que pueden presentar atractores extraños en sistemas bidimensionales o incluso unidimensionales.

Las condiciones iniciales de tres o más objetos que interactúan a través de la gravedad (ver problema de n cuerpos) se pueden organizar para producir un movimiento caótico.

Complejidad mínima de los sistemas caóticos

Los sistemas simples pueden producir caos sin depender de ecuaciones diferenciales. Un ejemplo es un mapa logístico, que es una ecuación en diferencias (relación recursiva) que describe el crecimiento de la población a lo largo del tiempo. Otro ejemplo es el modelo de dinámica poblacional de Ricker.

La evolución de incluso sistemas discretos simples, como los autómatas celulares, puede depender en gran medida de las condiciones iniciales. Steve Wolfram estudió autómatas celulares con esta propiedad, a la que llamó Regla 30.

El mapa felino de Arnold proporciona un modelo mínimo de comportamiento caótico conservador (reversible).