Algunas preguntas de matemáticas para el tercer grado de la escuela secundaria

1. Supongamos que hay n+1 números, n es un múltiplo entero de 17 y n es alrededor de 70 (una secuencia aritmética), por lo que n = 68, la secuencia es de 1 a 69, y la suma es 2415. Después de borrar y contar, la suma es 2408, con 7 borrados

2 (extraído de las preguntas de la prueba del Concurso Nacional Conjunto de Matemáticas de Escuela Secundaria de 1990

Respuestas de referencia y puntuación estándares)

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Solución 1 Primero demuestre que mientras se dispongan 12 filas horizontales, todos los estudiantes pueden sentarse. ………………(5 puntos)

Dividir todos los clics en dos categorías si superan los 33. También se podría suponer que Ci ≥ 34 existe para i ≤ m, y Ci ≤ 33 existe para otros i ≥ m + 1. …(10 puntos)

Supongamos m=5k+r,0≤r<5

Ahora deje que los estudiantes se sienten en el orden de la escuela, comenzando desde la primera fila, y cada persona en las primeras k filas Sienta a 5 estudiantes sobresalientes en filas, comenzando desde la fila k+1, y siéntate en cada fila hasta que los asientos restantes ya no puedan acomodar a este estudiante de la siguiente escuela, y luego fila hacia abajo. ………………(15 puntos)

De esta forma, el número de vacantes en las primeras K filas no excederá de 199-5×34=29 en cada fila. A partir de la fila k+1, el número de asientos vacíos en cada fila no excederá de 32. …(20 puntos)

Después de que se hayan ocupado las 11 filas de asientos actuales, el número de vacantes en estas 11 filas no excederá 11×32=352, lo que indica que el número de estudiantes que ya están sentados es no menos de 199 × 11-352 = 1837, y quedan como máximo 1990-1837 = 153 estudiantes que no se han sentado. Estos estudiantes naturalmente pueden sentarse en la fila 12. …………(25 puntos)

El siguiente ejemplo muestra que si solo se disponen 11 filas, a veces no hay suficientes asientos. Supongamos que n = 80, las primeras 79 escuelas envían cada una 25 estudiantes y la escuela 80 envía 15 estudiantes, entonces = 25 × 79 + 15 = 1990. Si se organizan 11 filas, excepto una fila que tiene capacidad para 25 × 7 + 15 = 190 estudiantes, cada otra fila solo puede acomodar a 25 × 7 = 175 estudiantes como máximo. De esta forma, el número total de estudiantes en las 11 filas es 175190=1940, y todavía quedan 50 estudiantes que no están sentados. Esto demuestra que 12 filas es el número mínimo de filas para garantizar que todos los estudiantes puedan sentarse. …………………………………………(35 puntos)

Solución 2 Primero demuestre que todos los estudiantes pueden sentarse disponiendo 12 filas horizontales. ………(5 puntos)

Como sólo hay números finitos de Ci, también hay números finitos de sumas finitas de Ci. Seleccione la suma finita más cercana a 199 y configúrela en Ci1+Ci2+...+Cik, incluso si x1=199-(Ci1+Ci2+...+Cik) alcanza el mínimo. ……………… (10 puntos)

Deje que los estudiantes de estas k escuelas se sienten en la fila 1, luego x1 es el número de vacantes en la fila 1. Por lo tanto, todos los js de j≠i1,i2,...,ik deberían tener Cj≥x1+1 (de lo contrario, el siguiente Cj se puede organizar en la primera fila). Afirmamos que debe haber x1≤32. De hecho, si x1 ≥ 33, entonces para todos los Cj restantes, debería haber Cj ≥ 34. Elija 5 de ellos, también podría configurarlos como C1, C2, C3, C4 y C5

a=199-(C1+C2+C3+C4+C5)≤199-170= 29

Esto contradice la minimalidad de x1. …………………………………………………………… (15 puntos)

Selecciona la suma Cj1+Cj2+…+Cjt de todos los Cj restantes para hazlo el mejor Cerca de 199, deja que estos estudiantes se sienten en la segunda fila.

Sea x2=199-(Cj1+Cj2+…+Cjt)

De manera similar, se puede demostrar que x2≤32.

Haga lo mismo para la fila 3, la fila 4,... y la fila i en secuencia. Después de organizar la fila i, sea xi el número de vacantes en la fila i, luego hasta la escuela. Se selecciona Si hay al menos 5 escuelas, entonces debe haber xi≤32. (El razonamiento es el mismo que antes)... (20 puntos)

Si después de disponer 11 filas, los alumnos han terminado de sentarse, el problema está demostrado.

Si los asientos no se han ocupado, hay dos situaciones: primero, quedan menos de 5 escuelas. Dado que 4 × 39 <199, los estudiantes restantes naturalmente pueden sentarse en la fila 12 si hay al menos 5 escuelas; restante, entonces todavía hay x11≤32, por lo que hay al menos 11 × (199-32) = 1837 estudiantes en las primeras 11 filas. No quedan más de 153 estudiantes, por lo que, naturalmente, pueden sentarse en la fila 12. …………(25 puntos)

Lo siguiente es lo mismo que la Solución 1. ……………………………………………… (35 puntos)

Solución 3: El probando 12 filas puede asegurar que todos los estudiantes puedan sentarse. …………………………(5 puntos)

Sea x1, x2,…,x12 el número de vacantes en cada fila establecido en la Solución 2. Entonces según la definición de xi, debe haber x12≥x11...≥x2≥x1...(15 puntos)

De esta forma, los estudiantes han sido ordenados en las primeras 12 filas. Si las 12 filas no están terminadas, el Cj restante debe tener Cj>x12, por lo que 1990-(2388- )>x12,

Es decir, x1+x2+…+ x11>398

De esto, x11=37………………………………………… ……………………( 20 puntos)

Indica que después de terminar 11 filas, cada una Cj>37 restante. Entonces puede haber 5 de estos Cj dispuestos en la fila horizontal 12, al menos 38 × 5 = 190 estudiantes. Entonces x12=9, lo cual es contradictorio con x12=x11. ……………………………………………………………… (25 puntos)

Lo siguiente es lo mismo que la Solución 1. ………………………………………………………………… (35 puntos)

3. Sean las dos diagonales a y b respectivamente. La longitud del lado es /p>

x/2=h

Es decir, sinA=1/2, ∠A=30 grados