¿Qué es la continuidad de una función?
La continuidad de una función describe un estado que cambia continuamente de una función, es decir, un pequeño cambio en la variable independiente solo provocará un pequeño cambio en el valor de la función. Para ser precisos, una función es continua en un punto determinado: cuando la variable independiente se acerca al punto, el límite del valor de la función es consistente con el valor que toma la función en ese punto.
En cuanto a la continuidad, hay muchos fenómenos en la naturaleza, como cambios de temperatura, crecimiento de las plantas, etc., que están cambiando continuamente. El reflejo de este fenómeno en las relaciones funcionales es la continuidad de las funciones. En pocas palabras, si puedes dibujar la imagen de una función de un solo trazo sin levantar el lápiz durante todo el proceso, entonces la función es continua.
Propiedades de las funciones continuas:
1. Acotación
La llamada acotación significa que existe un número positivo M tal que para cualquier x∈[a , b], todos tienen |f(x)|≤M.
Demostración: Utilice el teorema de la compacidad: una secuencia acotada debe tener una subsecuencia convergente.
2. Valor máximo
El llamado valor máximo significa que hay un punto x0 en [a, b], de modo que para cualquier x∈[a, b], si hay f (x) ≤ f (x0), entonces f (x0) se llama el valor máximo de f (x) en [a, b]. El valor mínimo se puede definir de la misma manera, simplemente invierta el signo de desigualdad anterior.
3. Propiedad del valor intermedio
Esta propiedad también se llama teorema del valor intermedio, y contiene dos casos especiales:
(1) Teorema del punto cero. Es decir, cuando los valores de función A y B de f (x) en los dos puntos finales tienen signos diferentes (en este momento, hay 0 entre A y B), debe haber al menos un punto ξ en el intervalo abierto (a, b), de modo que f (ξ) = 0.
(2) Una función continua en un intervalo cerrado debe obtener todos los valores entre el valor máximo y el valor mínimo en el intervalo.
4. Continuidad consistente
Una función continua en un intervalo cerrado es consistente y continua en el intervalo.
La llamada continuidad consistente significa que para cualquier εgt; 0 (no importa cuán pequeño sea), siempre hay un número positivo δ Cuando dos números cualesquiera x1 y x2 en el intervalo que satisfago | x1-x2|lt; cuando δ, hay |f(x1)-f(x2)|lt ε, se dice que f(x) es consistente y continua en I.