¿Cómo calcular el problema del punto móvil en el eje en el primer grado de la escuela secundaria?
Conocimientos básicos:
1. ¿Cómo expresar la distancia entre dos puntos en el eje numérico?
Se puede expresar mediante valor absoluto, es decir, el valor absoluto de la diferencia entre los números representados por los dos puntos. Por ejemplo, los números representados por los puntos A y B en el eje numérico son A y B, entonces AB=|a-b| o |B-A|.
2. ¿Cómo usar letras para representar un punto en movimiento en la recta numérica?
Se puede resolver sumando o restando números racionales, es decir, sumando y restando la distancia de movimiento del punto en movimiento desde el punto inicial, sumando en dirección positiva y restando en dirección negativa. Por ejemplo, el número correspondiente al punto A en la recta numérica es -1. El punto P comienza desde el punto A y se mueve hacia la derecha a una velocidad de 2 unidades de longitud por segundo. Suponga que el tiempo de movimiento es t y que el número representado por el punto P es -1+.
3. ¿Cómo encontrar el punto medio del segmento de recta entre dos puntos cualesquiera del eje?
La suma de los números representados por los dos puntos se divide por 2. Si los números representados por los puntos en el eje numérico son A y B, entonces el número representado por el punto medio del segmento AB es (a+b)/2.
Método estratégico:
Para resolver el problema del punto en movimiento, primero debes comprender cuidadosamente el significado del problema, comprender todo el proceso de movimiento y los cambios en los gráficos, y luego discutir y dibujar los gráficos de acuerdo con la clasificación del proceso de movimiento, y finalmente encontrar las ecuaciones de relación equivalentes para diferentes situaciones a resolver.
Para problemas de puntos móviles basados en el eje numérico, debido a las características del propio eje numérico, suelen existir dos soluciones diferentes. Una es encontrar la relación de equivalencia basándose en el análisis de la relación de "forma", es decir, resolver la ecuación utilizando la relación cuantitativa entre cada segmento de línea, la otra es encontrar la relación de equivalencia desde el aspecto del "número"; es decir, utilizar los puntos representados por el eje numérico. Las relaciones internas entre los números forman un sistema de ecuaciones.
Investigación sobre las reglas del eje tipo 1
Truco: Utiliza la idea de especial a general.
Ejemplo 1. (Fin de primavera del distrito de Yinzhou, 2018) Como se muestra en la figura, la posición inicial del punto A está en el punto 1 en el eje numérico. Ahora, mueva el punto A de la siguiente manera: la primera vez, se mueve 3 unidades hacia la izquierda hasta el punto B, la segunda vez, se mueve 6 unidades desde el punto B al punto C, y la tercera vez, se mueve desde el punto C al punto C. Muévete 9 unidades hacia la izquierda.
Análisis: Esta pregunta pone a prueba el eje numérico. Las cantidades con significados opuestos se pueden expresar mediante números positivos y negativos. También examinamos los cambios de coordenadas y las reglas de traducción de puntos en el eje numérico (suma izquierda menos derecha) y examinamos las reglas de una serie de números. Explorar los términos pares e impares de esta columna por separado es la clave para resolver este problema.
De acuerdo con los cambios de coordenadas y las reglas de traducción de los puntos en el eje numérico (izquierda menos derecha más), calcule los números correspondientes a los puntos y luego calcule la distancia desde el punto hasta el origen; explora los términos pares e impares respectivamente, encuentra el patrón (la diferencia entre dos números adyacentes es 3) y escribe la expresión para resolver el problema.
Respuesta: En el primer momento el punto A se mueve 3 unidades hacia la izquierda hasta el punto B, entonces el número representado por B es 1-3 =-2
La segunda vez desde; Si el punto B se mueve 6 unidades al punto C, el número representado por C es -2+6 = 4;
Si se mueve 9 unidades del punto C al punto D por tercera vez, el número representado por D Es 4-9 = -5;
La cuarta vez que mueves 12 unidades del punto D al punto E, entonces el número representado por el punto E es -5+12 = 7;
La quinta vez que mueves 15 unidades del punto E al punto F, el número representado por F es 7-15 =-8;
…;
Según lo anterior datos, al moverse Cuando el número de veces es un número impar, el número representado por un punto en el eje numérico satisface: -1/2 (3n+1).
Cuando el número de movimientos es un número par, el número representado por un punto en el eje numérico satisface: 1/ 2(3n+2),
Cuando el número de movimientos es un número impar, -1/2(3n+1) =-2018, n=1345,
Cuando el número de movimientos es par Cuando, 1/2(3n+2)=2018, n=4034/3 (irrelevante).
Entonces la respuesta es: 1345.
Percepción: un punto en el eje numérico representa el número A. Después de mover B unidades hacia la izquierda, representa el número A-B; después de mover b unidades hacia la derecha, el número es a+B. esta característica para explorar cambios Al seguir las reglas, preste atención a los cambios de dirección durante el movimiento circular alternativo.
Problema de distancia en eje numérico tipo 2
Consejo: Utilice la idea de clasificación y combinación de formas numéricas
Ejemplo 2. (Distrito de Huangpu, finales de otoño de 2017) Se sabe que M y N están en el eje numérico. El número correspondiente a M es -3. El punto N está en el lado derecho de M y está a 4 unidades de M. Los puntos P y. Q son dos partes móviles en el eje numérico;
(1) Escribe directamente el número correspondiente al punto n;
(2) Cuando se suma la distancia al punto P. al punto M y al punto N son 5 unidades, ¿cuál es el número correspondiente al punto P?
(3) Si P y Q comienzan desde el punto M y el punto N respectivamente, y ambos se mueven hacia la izquierda a lo largo del eje numérico, el punto P se mueve 2 unidades de longitud por segundo, comenzando con 5 segundos, y punto Q se mueve por segundo Recorre 3 unidades de largo. Cuando dos puntos P y Q están separados por 2 unidades de longitud, ¿cuál es el número de puntos correspondientes a P y Q respectivamente?
En este análisis se examina la distancia entre dos puntos y la recta numérica. Al resolver problemas, es necesario adoptar la idea matemática de "discusión de clasificación".
(1) se puede resolver según la fórmula de distancia entre dos puntos
(2) Hay dos situaciones: ① el punto P está a la izquierda del punto ②; P es apuntar N a la derecha; discutir y resolver;
(3) Hay dos situaciones: ① el punto P está a la izquierda del punto Q; ② el punto P está a la derecha del punto Q; discutir y resolver.
Resolver (1)-3+4 = 1.
Entonces el número correspondiente al punto n es 1;
(2)(5﹣4)÷2=0.5,
①﹣3﹣0.5= ﹣ 3,5,
②1+0,5=1,5.
Entonces el número correspondiente al punto P es -3,5 o 1,5.
(3)①(4+2×5﹣2)÷(3﹣2)
=12÷1
=12 (segundos),
El número correspondiente al punto P es -3-5× 2-12× 2 =-37, y el número correspondiente al punto Q es -37+2 =-35
>②( 4+2×5+2)÷(3﹣2)
=16÷1
=16 (segundos);
El número correspondiente al punto P Es -3-5× 2-16× 2 = -45, y el número correspondiente al punto Q es -45-2 = -47.
Problemas de viaje tipo 3 en rectas numéricas
Consejo: ecuaciones e ideas de clasificación
Ejemplo 3. (Punto final de la ciudad de Qiuyue en 2017) Como se muestra en la Figura 1, hay dos puntos móviles A y B en el segmento de línea MN que realizan un movimiento alternativo ininterrumpido a una velocidad constante (es decir, siempre que el punto móvil coincida con un extremo del segmento de línea MN, inmediatamente girará y se moverá en la misma dirección. La velocidad se mueve hacia el otro extremo del segmento de línea MN hasta que coincide con el punto final, y la dirección y velocidad del movimiento del punto en movimiento no lo harán. cambiar). Se sabe que la velocidad de A es 3 m/s.
(1) Se sabe que MN=100 metros si B comienza desde el punto M primero, cuando MB=5 metros, A comienza desde el punto M. Después de que A comienza, se encontrará con B _ _ _. _ segundos después La primera coincidencia;
(2) Dado MN=100 metros, si A y B parten del punto M al mismo tiempo, A y B coinciden por primera vez después de _ _ _ _ _ segundos;
(3) Como se muestra en la Figura 2, si A y B comienzan desde el punto M al mismo tiempo, A y B coinciden con el punto E por primera vez y coinciden con el punto F durante la segunda vez, EF = 20m, sea MN = s·M, supongamos que la ecuación se usa para encontrar s.
Este artículo analiza la aplicación de ecuaciones lineales de una variable y el eje numérico. La clave para resolver el problema es comprender el significado del problema, encontrar la relación de equivalencia adecuada, enumerar las ecuaciones de acuerdo con las condiciones dadas en el problema y luego resolverlo.
(1) Supongamos que A coincide con B por primera vez después de la salida y resuelve la ecuación según la relación de equivalencia: diferencia de distancia = diferencia de velocidad × tiempo
(2) Sí Suponiendo que A y B se superponen por primera vez después de y segundos, las ecuaciones se pueden enumerar y resolver de acuerdo con la relación de equivalencia: suma de distancia = velocidad y x tiempo;
(3) Si a y b comienza desde el punto m al mismo tiempo. Comenzando, a y b se superponen por primera vez * * * y se superponen por segunda vez * * * dejando 4 MN, por lo que podemos obtener ME=2/(3+2)×2MN= 4/5MN, MF = 2mn - 2/(3+2).
Respuesta (1) Sea A coincidir con B por primera vez después de X segundos.
(3 ~ 2) x = 5, la solución es x = 5.
Respuesta: A y B coinciden por primera vez después de 5 segundos
(2) Supongamos que a y b coinciden por primera vez después de y segundos, según el significado de la pregunta
(3+2)x=100×2,
La solución es x = 40.
Respuesta: Después de 40 segundos, A y B se superponen por primera vez.
(3) Si a y b comienzan desde el punto m al mismo tiempo, a y b se superponen; la primera vez* * *Segunda superposición* * *Solo quedan 4 MN, por lo que puedes obtener ME=2/(3+2)×2MN=4/5MN, MF = 2mn - 2/(3+2).
Según el significado de la pregunta: 4/5s-2/5s = 20,
La solución es s = 50.
Respuesta: s=50 metros.
El autor utiliza esta pregunta como pregunta de repaso para el examen de ingreso a la escuela secundaria de séptimo grado, especialmente el ítem (3). Los estudiantes están demasiado mareados y no pueden hacerlo, o utilizan los métodos aritméticos utilizados en las competiciones de la escuela primaria. Muchos estudiantes no pueden entenderlo usando los métodos aritméticos utilizados en las competencias de la escuela primaria, pero usar "las letras representan puntos en movimiento" para resolverlo parece "muy fácil".
Nuevo problema de definición sobre eje numérico tipo 4
Trucos: Transformación, ecuaciones, ideas de clasificación
Ejemplo 4. Comprensión de lectura (examen de ingreso a la escuela secundaria de otoño de Jurong City 2017)
Los puntos A, B y C son tres puntos en la recta numérica. Si el punto C está entre A y B, y la distancia a A es tres veces la distancia del punto C a B, entonces llamamos al punto C un punto singular de {A, B}.
Por ejemplo, como se muestra en la Figura 1, el número representado por el punto a es -3 y el número representado por el punto b es 1. La distancia desde el punto C, que representa 0, al punto A es 3, y la distancia al punto B es 1, por lo que el punto C es el punto singular de {A, B} para otro ejemplo, la distancia desde el punto d al punto; a, que representa -2, es 1, la distancia al punto b es 3, por lo que el punto d no es un punto singular de {A, B}, sino un punto singular de {B, A}.
Aplicación del conocimiento
Como se muestra en la Figura 2, M y N son dos puntos en el eje numérico. El número representado por el punto M es -3 y el número representado por el punto N. es 5.
(1) El punto representado por el número _ _ _ _ es el punto singular de {M, N}; el punto representado por el número _ _ _ _ _ es el punto singular de {N, M};
(2) Como se muestra en la Figura 3, a y b son dos puntos en el eje numérico. El número representado por el punto a es -50 y el número representado por el punto b es 30. Cuando el punto en movimiento existente P comienza desde el punto B y se detiene en el punto A, ¿exactamente uno de P, A y B es el punto singular de los otros dos puntos?
Analice este problema y examine la distancia y el punto en movimiento entre dos puntos en el eje numérico, y comprenda cuidadosamente la nueva definición: la distancia entre el número representado por el punto singular y el punto anterior A es tres veces el del último número B, usando La fórmula da el resultado.
(1) Según la definición, se encuentra que entre los números {M, N} representados por puntos singulares, el punto anterior M está a tres veces la distancia al siguiente número N, y la conclusión se dibuja de acuerdo con la definición, se encuentra que en el número {N, M} representado por el punto singular, el punto anterior N es tres veces la distancia al siguiente número M, y se llega a la conclusión;
(2) La distancia del punto A al punto B es 6. Según la definición de singularidad, hay dos fórmulas: ①Pb = 3pa; ②PA = 3PB;
Respuesta (1) 5-(-3) = 8,
8÷(3+1)=2,
5-2=3;
﹣3+2=﹣1.
Entonces el punto representado por el número 3 es el punto singular de {M, N}; {N, M} Singularidad de =-30.
Por lo tanto, cuando el punto P se mueve a la posición de -30 o 10 en el eje numérico, resulta que hay un punto entre P, A y B. ese es el punto singular de los otros dos puntos.
Entonces la respuesta es: 3; -1.
Resumen final:
El primer paso es usar letras para representar los puntos en movimiento en el eje numérico. ;
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El segundo paso es escribir expresiones algebraicas sobre letras según las necesidades de la pregunta;
El tercer paso es enumerar las ecuaciones y resolverlas según al significado de la pregunta.
La esencia del aprendizaje de las matemáticas es simplificar "problemas complejos".
Al resolver el problema del punto fijo, la primera dificultad es analizar el proceso de movimiento del punto fijo. La imaginación espacial y la capacidad de análisis lógico no son suficientes. Al resolver problemas, especialmente cuando te encuentras con problemas de puntos móviles durante los exámenes, mi sugerencia es trabajar más durante el ejercicio y dibujar más gráficos. Para muchos momentos de movimiento diferentes, dibuje más gráficos para comparar y, a menudo, podrá ver la tendencia de movimiento de los puntos en movimiento. Por ejemplo, podemos dibujar gráficas de nodos en momentos especiales y encontrar las reglas del movimiento mediante observación y comparación. Necesitamos dibujar gráficas para algunas posiciones especiales de puntos en movimiento, como dos puntos que coinciden o un punto que alcanza una posición especial, que. es a menudo el foco de las discusiones sobre clasificación. Al hacer dibujos, puedes comprender todo el proceso de movimiento y luego puedes clasificarlo y discutirlo según diferentes situaciones y encontrar ecuaciones y cálculos de relaciones iguales. La clave de este paso es usar expresiones algebraicas para representar varias cantidades en la gráfica, principalmente las longitudes de cada segmento de línea en la gráfica. Finalmente, encuentre la relación de equivalencia entre los segmentos de línea y enumere las ecuaciones a resolver.