Una pregunta sobre la ecuación de Schrodinger en mecánica cuántica

Respuesta: La función de onda no es un concepto exclusivo de la mecánica cuántica en su significado original. Cualquier onda tiene un diagrama de onda correspondiente, pero es habitual que este término se utilice habitualmente para describir estados cuánticos en lugar de ondas clásicas. Por ejemplo, una onda clásica es una onda monocromática plana que se propaga a lo largo de la dirección del eje. La función de onda es una función de y - la función de onda se puede escribir como y su forma exponencial compleja es La función de onda da el estado de vibración en a. apuntar en la dirección de propagación en cualquier momento. La función de onda de una onda clásica suele denominarse: expresión de onda o ecuación de movimiento ondulatoria. En mecánica cuántica, sustituyendo las relaciones de De Broglie p = k y E = ω en la ecuación anterior, se obtiene la función de onda de la partícula libre (la expresión de la onda de la partícula libre).

Ondas clásicas y probabilidad La única propiedad única es la coherencia de superposición. Pero la función de onda de probabilidad es una función de estado, y la superposición de estados es esencialmente diferente de la superposición de ondas clásicas. La función de onda clásica describe la relación funcional entre cantidades de onda clásicas y variables espacio-temporales. El significado de la función de onda de probabilidad en la mecánica cuántica es diferente al de cualquier cantidad física en la física clásica. Aunque la función de onda de probabilidad es una función de estado, no es una cantidad mecánica en sí misma. Lo que da la función de estado no es la relación entre cantidades físicas. El significado de la función de onda de probabilidad es: el análisis de probabilidad de varias cantidades mecánicas del sistema microscópico se describe mediante el efecto de la función de onda. Como método de procesamiento convencional, las ondas clásicas se pueden expresar en forma de funciones exponenciales complejas, pero sólo su parte real tiene significado físico. La función de onda de probabilidad debería ser generalmente una función compleja. En la mecánica cuántica no relativista, las partículas ni se crean ni se destruyen. Las partículas deben aparecer en todo el espacio, lo que conduce al problema de la normalización de la probabilidad por funciones, pero este problema no existe para las ondas clásicas. Después de multiplicar la función de onda de probabilidad por una constante, la probabilidad relativa de que aparezcan partículas en cada punto del espacio permanece sin cambios. Por lo tanto, todavía se describe el estado original. En las ondas clásicas, las ondas con diferentes amplitudes representan diferentes estados de onda, y el estado con amplitud cero representa un estado estacionario. En mecánica cuántica, un estado con amplitud cero en todas partes indica la ausencia de partículas. Además, la función de onda clásica y el cálculo cuántico satisfacen sus propias ecuaciones de onda con características diferentes.

2． El significado físico de la función de onda: el estado de las partículas microscópicas se describe completamente por su función. ¿Qué significa aquí "completamente"? ¿Cuál es el significado de la normalización de la función de onda? función La interpretación estadística de la función de onda describe estadísticamente el estado cuántico del sistema. Si se conoce la función de onda de una sola partícula (sin considerar el espín), no sólo se puede determinar la distribución de probabilidad de posición de la partícula, sino también la probabilidad. La distribución de otras mecánicas y otras partículas, como la movilización, también se pueden determinar por completo. Debido a que la teoría cuántica es diferente de la teoría clásica, generalmente solo puede predecir los resultados estadísticos de las mediciones. Se conoce la función del sistema, se puede obtener toda la información física posible del sistema. De acuerdo con lo anterior, toda la información sobre el sistema obviamente está incluida en la función de onda, por lo que el estado de nuestra partícula microscópica está completamente descrito por su onda. función, y la función de onda se llama función de estado En la mecánica cuántica no relativista, las partículas no se generan, no se aniquilan. Según la interpretación estadística de la función de onda, las partículas deben aparecer en el espacio en cualquier momento, por lo que el descubrimiento de. Las partículas en todo el espacio son un evento inevitable. En la teoría de la probabilidad, la probabilidad de un evento inevitable es igual a 1. La probabilidad de que ocurra, es decir, la densidad de probabilidad integrada en todo el espacio, debe ser igual a 1. El infinito. El signo debajo del signo integral en la fórmula representa la integral en todo el espacio. Esta condición se llama condición de normalización, y la función de onda que satisface la condición de normalización se llama normalización. Es obvio que la función de onda cuadrada integrable se puede normalizar.

3. Demuestre que el campo de velocidad de las partículas derivado de la ecuación de Schrödinger de una sola partícula es no rotacional, es decir, demuestre que, donde está la densidad de probabilidad, es la densidad de flujo de probabilidad.

Prueba: Las expresiones de densidad de probabilidad y densidad de flujo de probabilidad son:

,,

Entonces el campo de velocidades es:

La rotación El grado es:

4. Las partículas se mueven en un campo potencial unidimensional V(x). Intente demostrar que las funciones de onda de estado ligado que pertenecen a diferentes niveles de energía son ortogonales entre sí.

Demostración: Sean, las funciones de onda de estado ligado pertenecientes a los niveles de energía, respectivamente. Dado que son estados ligados unidimensionales y son funciones reales, sólo necesitamos demostrar que

debe satisfacer la ecuación estacionaria de Schrödinger, es decir,

(1)

( 2)

Multiplica la expresión (1) de la izquierda, multiplica la expresión (2) de la izquierda y luego resta, obtenemos

Integrar sobre el todo espacio, obtenemos

(La función de onda del estado ligado debe tender a 0 en el infinito). Por lo tanto, existe

(3)

Es decir, ortogonal a .

5. Las partículas se mueven en un pozo de potencial en ángulo recto con una profundidad Vo y un ancho a (como se muestra en la figura siguiente). Encuentre:

(a) Un estado ligado. El nivel de energía simplemente aparece en las condiciones de entrada del pozo (es decir).

(b) El número total de niveles de energía del estado del haz. Y compárelo con un potencial infinito y profundo.

Solución: Cuando la energía de la partícula E es menor que Vo, está en estado ligado, y cuando E es mayor que Vo, está en estado libre. La ecuación de estado estacionario de Xue Dingfang es:

(1)

Sea (2)

La ecuación (1) se puede escribir como

(en el pozo) (3)

(Fuera del pozo) (4)

La función de onda de estado ligado en el infinito debe tender a 0, por lo que la solución de la ecuación (4 ) debe tomarse como

(5)

Cuando el nivel de energía del estado ligado aparece en la entrada del pozo, por lo tanto

(6)

La función de onda dentro del pozo se puede expresar mediante la fórmula (3) Resuelva, cuando, la solución es

(7)

La suma dentro y fuera del pozo bien debería ser continuo, y de la ecuación (6) podemos ver que esta condición se aplica a la ecuación en (7), es decir,

(8)

Es decir, la condición para que aparezca el nivel de energía de enlace en la boca del pozo es

(9)

Es decir

(10)

El pozo de potencial unidimensional tiene al menos un nivel de energía formador de haz. Por lo tanto, si , sólo hay un estado ligado, incluso paridad (estado fundamental). Como, excepto el estado fundamental. Habrá otro nivel de energía en estado de paridad impar en la entrada de la trampa y, finalmente, dos niveles de energía. Por ejemplo, el tercer nivel de energía (nombre de palabra par) aparecerá en la boca del pozo. Etcétera. Se puede observar que para cualquier expansión, el número total de niveles de energía del estado ligado es

, (11)

donde el símbolo representa el número entero máximo no excedido

Cuando la partícula Cuando se mueve en un pozo de potencial infinitamente profundo con ancho a, el nivel de energía es

Entonces el número de niveles de energía es

(12)

Es decir, si solo se calcula el número de niveles de energía, el número de niveles de energía del pozo potencial de profundidad finita ( ) es uno más que el número de niveles de energía del pozo potencial de profundidad infinita. Tenga en cuenta que cada nivel de energía de este último es uniformemente mayor que el nivel de energía correspondiente del primero.