Documento didáctico de funciones
Resumen: El conocimiento de funciones es muy importante en las matemáticas de la escuela secundaria. Para realizar bien esta parte de la enseñanza, debe comprender los conceptos básicos, aclarar la estructura del conocimiento y establecer? ¿Cambios de movimiento? La idea de combinar números y formas.
Palabras clave: formas numéricas combinadas con la enseñanza de funciones matemáticas en la escuela secundaria
La introducción de los conceptos de variables y funciones en las matemáticas de la escuela secundaria marca el progreso de las matemáticas de constantes a variables. matemáticas.
Aunque el contenido de las funciones de la escuela secundaria solo brinda algunos conocimientos básicos y preliminares de las funciones, las ideas y métodos matemáticos que contiene son muy beneficiosos para cultivar la capacidad de los estudiantes para observar, investigar y resolver problemas.
Y el concepto de funciones es una parte central del álgebra de la escuela secundaria. Aprender el conocimiento de funciones en la escuela secundaria puede sentar una cierta base para aprender varias funciones elementales en matemáticas de la escuela secundaria.
Por lo tanto, la función básica del concepto de función de la escuela secundaria es obvia.
En la enseñanza, se debe guiar a los estudiantes para que comprendan correctamente el concepto de funciones desde cuatro aspectos y luego dominen las características y propiedades de las funciones.
1. Comprender correctamente los tres conjuntos de relaciones y dominar sistemáticamente el concepto de funciones.
La definición de coordenadas de puntos y la correspondencia uno a uno entre puntos y coordenadas; el proceso cambiante de definición de función y la correspondencia entre variables independientes y funciones; imágenes.
¿Valor de la función? ¿Par de números ordinales? ¿Las coordenadas del punto? ¿punto? Imagen, fortalece la comprensión de estos tres conjuntos de relaciones y ayuda a combinar la fórmula analítica de la función, las coordenadas del punto y la imagen de la función para establecer un concepto relativamente completo de función.
En segundo lugar, aclare la estructura del conocimiento y construya un sistema de conocimiento.
Con un diagrama de estructura de conocimiento de este tipo, el sistema de coordenadas rectangulares planas, los puntos, las imágenes y las expresiones analíticas se pueden combinar orgánicamente Combinar a encontrar la relación entre ellos y la manera de transformar el problema.
En tercer lugar, establecer el punto de vista del cambio de movimiento.
El significado central del concepto de función es reflejar la dependencia entre dos variables en un determinado proceso de cambio, es decir, el cambio de una. la cantidad cambia con el cambio de la otra cambia con el cambio en la cantidad.
Esto establece una conexión dinámica entre los conceptos de números estáticos.
En el proceso de enseñanza, se debe guiar a los estudiantes para que comprendan esta relación variable buscando y descubriendo ejemplos a su alrededor.
Por ejemplo, la altura de la temporada de crecimiento cambia con la edad; la temperatura del día cambia con el tiempo; los ingresos de la fábrica aumentan con el aumento de la producción; existen innumerables soluciones para la ecuación lineal de dos variables; , en la Ecuación 3x-2y = 1, cuando el valor de X cambia, el valor de Y cambia con el cambio de X.
Mientras se desarrolla esta relación de movimiento, también es necesario utilizar fórmulas, tablas y gráficos para describirla y profundizar la comprensión intuitiva de los estudiantes sobre esta relación de movimiento abstracto, ayudando así a los estudiantes a establecer gradualmente una? ¿Cambios de movimiento? Punto de vista.
Cuarto, cultivar la idea de combinar números y formas.
El proceso de enseñanza de las matemáticas debe reflejar dos líneas de luz y oscuridad: una es la línea clara, es decir, la línea de enseñanza. del contenido del conocimiento matemático; la otra es la línea oscura, es decir, la formación de métodos de pensamiento matemático.
Porque los métodos de pensamiento matemático no son sólo el conocimiento básico de las matemáticas, sino también el puente que transforma el conocimiento en habilidades. Utilizar bien el pensamiento matemático es desarrollar habilidades matemáticas.
Por lo tanto, en la enseñanza, los profesores deben prestar atención a cultivar la penetración, generalización y resumen de los métodos de pensamiento matemático de los estudiantes, y mejorar la capacidad de aplicación de los estudiantes.
El método de pensamiento de combinar números y formas es un método de pensamiento importante en las matemáticas de la escuela secundaria.
¿Cuál es el método de pensamiento para combinar números y formas? Sabemos que las matemáticas son la ciencia que estudia relaciones cuantitativas y formas espaciales en el mundo real. Los números y las formas son dos conceptos básicos en el sistema de conocimiento matemático. Combinamos orgánicamente números que describen relaciones cuantitativas con gráficos concretos e intuitivos, y combinamos orgánicamente el pensamiento abstracto con el pensamiento de imágenes. Según las necesidades del problema de discusión, la comparación de relaciones cuantitativas se puede transformar en una discusión sobre la naturaleza de las imágenes o sus relaciones posicionales, o la relación indeterminada entre gráficos se puede transformar en un cálculo cuantitativo de factores relevantes, es decir, la transformación flexible y la interacción de números y formas. Luego explora soluciones a problemas.
En esta parte de las funciones, hay ricas ideas matemáticas, como las ideas de coordenadas y las ideas de combinación de formas numéricas, la más importante de las cuales es la idea de combinación de formas numéricas.
Entonces, es particularmente importante cómo penetrar y aplicar el método de pensamiento de combinar números y formas en el proceso de enseñanza de funciones.
Por ejemplo, una función lineal es una línea recta y las coordenadas de los puntos de esta línea recta satisfacen la fórmula analítica sin importar cómo cambien.
Una línea recta está compuesta de puntos y se puede describir mediante números.
Por el contrario, las líneas rectas reflejan las características cambiantes de los números.
Una función se puede representar mediante un gráfico. Con la ayuda de este gráfico, se pueden analizar algunas propiedades y características de la función de forma intuitiva, lo que proporciona una gran ayuda para la investigación y aplicación de las matemáticas. Si los profesores prestan atención a la penetración del método de pensamiento de combinar números y formas en la enseñanza, obtendrán el doble de resultado con la mitad de esfuerzo.
Los estilos comunes en la enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria incluyen: (1) la correspondencia entre números y puntos en el eje numérico (2) la correspondencia entre funciones e imágenes (3) la correspondencia entre curvas y ecuaciones; (4) Conceptos basados en elementos establecidos y condiciones geométricas; (5) La estructura de una ecuación o expresión algebraica dada tiene un significado geométrico obvio.
Por supuesto, el contenido anterior es solo mi propia experiencia en la práctica docente. De hecho, el contenido y los requisitos de las funciones de la escuela secundaria son extremadamente ricos. Cultivar la capacidad de pensamiento de los estudiantes y ser capaces de utilizar el conocimiento de manera flexible es el objetivo final de nuestro aprendizaje. Cuando se discuten cuestiones sociales, económicas, síntesis interdisciplinaria y otras cuestiones, se aplican cada vez más ideas y métodos matemáticos, entre los cuales el contenido de las funciones ocupa una posición muy importante.
Por lo tanto, en el proceso de enseñanza y aprendizaje, debemos estudiar cuidadosamente los materiales didácticos y explorar en profundidad las ideas, métodos y puntos de vista contenidos en los materiales didácticos para mejorar la capacidad de pensamiento, la capacidad de aplicación y la capacidad de aplicación de los estudiantes. nivel cognitivo.
Enseñanza de funciones de escuela secundaria 2
Los métodos de pensamiento matemático son las leyes y la esencia de las matemáticas. Si los estudiantes dominan los métodos de pensamiento matemático, podrán adquirir conocimientos más rápidamente y comprenderlos más a fondo.
La enseñanza de funciones en la escuela secundaria debe enseñar a los estudiantes a dominar el método de pensamiento para aprender funciones.
Este artículo sólo realiza una exploración preliminar de la enseñanza de funciones en las escuelas secundarias.
Enseñanza de la función de palabras clave
Primero, comprenda la idea de función y oriente la dirección de la enseñanza.
La función describe la dependencia de la cantidad en la naturaleza y refleja la dependencia. de una cosa sobre otra. La relación y ley de cambios en una cosa. El método de pensamiento de las funciones consiste en extraer las características matemáticas del problema, proponer objetos matemáticos desde la perspectiva de cambios de conexión, abstraer sus características matemáticas, establecer relaciones funcionales y utilizar las propiedades de las funciones para estudiar y resolver problemas.
Aunque el contenido no es mucho, la idea de función se refleja y sigue ocupando un lugar importante.
2. Clarificar el concepto de funciones en la escuela secundaria y dominar sistemáticamente el conocimiento de las funciones elementales.
1. Comprender la lógica del concepto.
Los conceptos matemáticos se pueden dividir en dos aspectos importantes: primero, la 'calidad' del concepto, es decir, la connotación del concepto (el atributo esencial del concepto); segundo, la 'cantidad'; del concepto es la extensión del concepto (el concepto es la suma de todos los objetos). La extensión de un concepto se puede dividir en diferentes tamaños. Los conceptos con grandes extensiones se denominan conceptos genéricos y los conceptos con pequeñas extensiones se denominan conceptos genéricos. La diferencia esencial entre un concepto genérico y otros conceptos genéricos también se llama distinción genérica. Si desea tomar una decisión final sobre un determinado concepto, primero debe señalar a los estudiantes cuál es el concepto más cercano al concepto definido y luego señalar los atributos del concepto definido, es decir, definición del concepto = una especie.
2. Clarificar los niveles de conceptos.
Los conceptos generales se derivan de generalizaciones abstractas de fenómenos experimentales o análisis de cosas específicas. Este es un proceso de formación. Muchos conceptos en la escuela secundaria se desarrollan a partir de varios conceptos y axiomas originales en una serie de definiciones y kilómetros a través de cierto razonamiento. Cada nuevo concepto es expresado o derrocado por conceptos antiguos.
3. Captar la abstracción de conceptos.
Muchos conceptos originales en matemáticas de la escuela secundaria se forman a partir de la percepción de números y formas específicos, y luego se abstraen y se resumen a partir de la representación.
Los conceptos son el producto de la abstracción de los materiales perceptivos por parte de las personas, y el conocimiento perceptual es la base para formar conceptos.
Si los estudiantes no tienen conocimientos perceptivos o sus conocimientos perceptivos son incompletos, es necesario utilizar objetos físicos, modelos, material didáctico multimedia o imágenes para llevar a cabo una enseñanza más intuitiva para que los estudiantes puedan adquirir conocimientos perceptivos.
En tercer lugar, dibuje la imagen de funciones elementales y comprenda la naturaleza de las funciones elementales.
El famoso matemático Sr. Hua dijo: "Sin números, es menos intuitivo, y sin números, es difícil ser meticuloso".
Entonces, debemos dibujar la imagen. de una función elemental y entender sus propiedades, primero debemos entender la idea de "combinación de números y formas".
Los problemas con números grandes en matemáticas contienen información sobre la forma y las características de los gráficos también reflejan la relación entre los números.
Es necesario abstraer la compleja relación cuantitativa y revelarla intuitivamente a través de la imagen de la forma, para lograr el propósito de unificar forma y número.
En cuarto lugar, utilizar las conexiones y prácticas entre funciones y otras materias para cultivar el interés de los estudiantes en el aprendizaje de funciones.
La función se define de la siguiente manera: "Si dos variables X e Y se establecen en un determinado proceso de cambio, y Y tiene un valor fijo único correspondiente a cada valor fijo de X dentro de un cierto rango, entonces Y se llama función A de X, donde X es la variable independiente e Y es la variable dependiente”.
Como se muestra en la Figura 1 (1), en el rectángulo ABCD, AB=10cm, BC=8cm.
¿El punto p parte del punto a y sigue la ruta a? ¿b? ¿do? d se mueve y se detiene en el punto d; el punto q comienza desde el punto d y sigue a d? ¿do? ¿b? La ruta a se mueve y se detiene en el punto a.
Si P y Q comienzan al mismo tiempo, la velocidad del punto P es de 1 cm/s y la velocidad del punto Q es de 2 cm/s.
En un segundo, el Velocidad de P y Q La velocidad cambia simultáneamente. La velocidad del punto P se convierte en b centímetros/segundo y la velocidad del punto Q se convierte en d centímetros/segundo.
La segunda imagen en la Figura 1 es △APD S1 (centímetros cuadrados) x segundos después de comenzar desde punto P ) en función de x (segundos).
La tercera imagen en la Figura 1 es la relación funcional entre el área S2 (centímetros cuadrados) de ΔAQD y x (segundos) después de x segundos comenzando desde el punto Q.
2. Función y economía de mercado
Ejemplo 2: Una empresa de venta de materias primas químicas compró 7.000 kilogramos de una determinada materia prima química a un precio de compra de 30 yuanes el kilogramo.
El departamento de precios estipula que el precio unitario de venta no será superior a 70 yuanes por kilogramo ni inferior a 30 yuanes por kilogramo.
La investigación de mercado encontró que el precio unitario se fija en alrededor de 70 yuanes por 60 kilogramos por día; si el precio unitario es 1 yuan más bajo cada vez, se venderán 2 kilogramos más cada día.
Durante el proceso de venta, se pagarán otras tarifas de 500 yuanes cada día (menos de un día se contará como un día completo).
Supongamos que el precio de venta unitario es X yuanes y el beneficio diario promedio es Y yuanes.
La coordenada del vértice es (65, 1950).
Diagrama esquemático de la función cuadrática (Figura 2).
Según el boceto, cuando el precio unitario se fija en 65 yuanes, el beneficio diario promedio es el más alto, que es de 1.950 yuanes.
(3) Cuando el beneficio diario promedio es el más alto, el precio unitario es 65 yuanes y las ventas diarias promedio son 60 2? (70-65) = 70 kg, ¿entonces la ganancia total es 1950? (7000?70)=195000 yuanes
Cuando el precio unitario de venta es el más alto, el precio unitario es 70 yuanes y el volumen de ventas diario promedio es 60 kilogramos. Cuesta 700 yuanes vender todas estas materias primas químicas. 60 a 117 días.
¿Entonces el beneficio total es (70-30)? 7000-117?500=221500 yuanes
∵221500 gt; 195000 y 221500-195000 = 26500
? Cuando el precio unitario de venta es el más alto, la ganancia total es la más alta, con una ganancia adicional de 26.500.
Se puede ver que las funciones se utilizan ampliamente y están estrechamente relacionadas con otras materias. Son herramientas importantes para resolver problemas prácticos, por lo que pueden mejorar y cultivar el interés de los estudiantes en el aprendizaje de funciones elementales.
En el mundo actual, la ciencia y la tecnología se están desarrollando rápidamente y el conocimiento científico está aumentando rápidamente. Los estudiantes tienen muchos problemas complejos que deben entenderse, discutirse, analizarse y resolverse en su trabajo, vida y estudios futuros.
¡Debemos darles a los estudiantes el método de pensamiento de funcionar como una llave de oro, para que puedan usar esta llave de oro para abrir el tesoro del conocimiento y enfrentar los desafíos de una nueva vida!
Enseñanza de funciones de escuela secundaria 3
Desde la perspectiva del proceso de desarrollo de las matemáticas en sí, la introducción de los conceptos de variables y funciones marca el progreso de las matemáticas de las matemáticas constantes a las matemáticas variables. . Aunque el contenido de las funciones de la escuela secundaria solo proporciona algunos conocimientos básicos y preliminares de las funciones, las ideas y métodos matemáticos que contiene son muy beneficiosos para cultivar la capacidad de los estudiantes para observar, investigar y resolver problemas.
Palabras clave aprendizaje situación de interés enseñanza
La función es un conocimiento matemático importante en las matemáticas de la escuela secundaria. La calidad del aprendizaje funcional tiene un profundo impacto en el aprendizaje continuo de los estudiantes. En particular, los nuevos estándares curriculares proponen un aprendizaje basado en la investigación, prestan más atención al cultivo de la capacidad de los estudiantes para leer imágenes y tratan de resolver problemas utilizando la idea de combinar números, formas y funciones.
Basado en muchos años de enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria, el autor tiene las siguientes ideas sobre cómo hacer un buen trabajo en la enseñanza de funciones en las escuelas secundarias.
1. Aclarar la importancia de las funciones de aprendizaje y cultivar el interés de los estudiantes en las funciones de aprendizaje.
El concepto de función juega un papel horizontal en el contenido principal de las matemáticas de la escuela secundaria, como fórmulas, ecuaciones y desigualdades. Esencialmente, una expresión algebraica puede verse como la expresión analítica o el valor de una función; dos expresiones algebraicas A y B tienen el mismo valor que la función y=A-B, que es igual a cero, puede verse como la raíz de una ecuación; intersección de la gráfica de la función y el eje X la abscisa. Al demostrar desigualdades, las propiedades de las funciones suelen ser herramientas poderosas.
Debido a que las funciones se usan ampliamente y la formación y desarrollo del concepto de funciones es un salto de constantes a variables en las matemáticas de la escuela secundaria, comprender y dominar el método de pensamiento de las funciones sin duda ayudará a lograr este salto.
Las funciones en nuestra escuela secundaria son relativamente simples y pertenecen a la iluminación de funciones, pero son el contenido principal de las matemáticas de la escuela secundaria e incluso de todo el sistema matemático. Por lo tanto, la etapa de la escuela secundaria es una etapa crítica para la formación de conceptos e ideas funcionales. El éxito o el fracaso de la enseñanza en esta etapa está directamente relacionado con el aprendizaje matemático de los estudiantes en la escuela secundaria y la universidad, e incluso con su alfabetización matemática a lo largo de su vida.
Hacer que los estudiantes sean plenamente conscientes de la importancia de las funciones ayudará a aumentar su interés en aprender funciones.
En segundo lugar, la enseñanza situacional
Los profesores pueden presentar puntos de conocimiento matemático en forma de preguntas para estimular el deseo de aprender de los estudiantes, profundizar su pensamiento sobre los puntos de conocimiento en el proceso de pensamiento, y create Situation les proporciona espacio para pensar, permitiendo que su pensamiento pase de la imagen a la abstracción, completando la transformación del pensamiento. En la enseñanza en el aula, muchos problemas dependen de la imaginación de los estudiantes, pero es imposible que los estudiantes sientan cada problema al aire libre. Esto requiere que fortalezcamos las habilidades de pensamiento abstracto de los estudiantes, especialmente cuando se trata de funciones de aprendizaje.
El objetivo final del aprendizaje del conocimiento de funciones es poder aplicarlo en la vida real. Por lo tanto, cuando la enseñanza funciona, los maestros utilizan materiales en situaciones específicas como materiales para inspirar el pensamiento de los estudiantes y mejorar la comprensión de los estudiantes sobre los puntos de conocimiento a través de la comunicación mutua, el aprendizaje cooperativo y el pensamiento independiente.
Los estudiantes pueden comprender mejor los problemas en situaciones problemáticas. En situaciones problemáticas, los profesores deben proporcionar cierta orientación y ayuda. Los profesores deben seguir un enfoque paso a paso para crear situaciones problemáticas y oportunidades de aprendizaje para los estudiantes. Al invitar a los estudiantes a nadar en situaciones problemáticas, los estudiantes pueden disfrutar de la actividad matemática. Las situaciones problemáticas son una forma eficaz de mejorar la comprensión matemática y la resolución de problemas.
En tercer lugar, adherirse a los conceptos de interconexión y desarrollo físico en la enseñanza.
La función muestra la interdependencia entre dos variables. Una variable cambiará a medida que cambie la otra. Son el orden de restricción mutua del desarrollo. Los conceptos aparentemente estáticos de los números tienen una conexión de movimiento.
En la enseñanza funcional de la escuela secundaria, los maestros deben guiar a los estudiantes para que aprendan conocimientos básicos de funciones y métodos de resolución de problemas, cultivar los conceptos matemáticos de interrelación y desarrollo del movimiento de los estudiantes, y dominar los conceptos básicos del conocimiento funcional en un Forma de pensar dinámica.
La interacción entre dos variables no es fácil de entender para los estudiantes nuevos en el conocimiento funcional.
¿Qué pueden hacer los profesores de función de secundaria según esto? ¿Cambia una cantidad cuando cambia otra cantidad? Esta relación permite a los estudiantes combinar conocimientos matemáticos familiares con ejemplos prácticos de la vida diaria, como? ¿El consumo de combustible de un automóvil varía con la distancia recorrida? ,¿aún? ¿El área de un círculo cambia con el radio? Espera un momento.
De esta manera, los estudiantes pueden comprender más rápidamente la definición de variables independientes y variables, y pueden ejercitar su capacidad para analizar y resolver problemas en un entorno de pensamiento activo.
La relación entre variables en una función tiene una relación integral con muchos campos del sistema de conocimiento matemático, como encontrar distancia. ¿Distancia = velocidad * tiempo? Y así sucesivamente, reflejando la importancia de la función.
El conocimiento de las funciones de aprendizaje en realidad abre más perspectivas en el campo de las matemáticas.
Además, las funciones están estrechamente relacionadas con otras disciplinas y son herramientas importantes para la resolución de problemas prácticos.
Los profesores de matemáticas de la escuela secundaria pueden utilizar las amplias conexiones de funciones para estimular el entusiasmo de los estudiantes por aprender en su reclutamiento, a fin de lograr una eficacia de enseñanza real.
Cuarto, preste atención a la aplicación de la analogía en la explicación.
Al explicar la imagen de una función, generalmente la derivamos de un caso especial.
Por ejemplo, dibuja la gráfica de las siguientes funciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares: (1)y = 2x 3(2)y = 2x 5(3)y = 2x-3; y= -2x 3(5)y=-2x-3
Luego, los estudiantes sacan la conclusión de que la gráfica de una función lineal es una línea recta y les piden que dibujen de la gráfica anterior: cuando ( 1)k >; 0, b gt0; (2)k gt 0, b lt0; El cuadrante de la gráfica de funciones y la monotonicidad son resumidos por el profesor y los alumnos los comprenden y memorizan.
Este procedimiento es muy general y difícil de recordar para los estudiantes.
Deje que los estudiantes recuerden la imagen y las propiedades de la función proporcional (1) y = 2x (2) y = -2x, y luego dibujen la imagen de la función anterior y obtengan la imagen y las propiedades de la función primaria por analogía.
Mostrar a los estudiantes los cambios de traducción de la imagen de la función de proporción, es decir, obtener una imagen de la función, puede evitar que los estudiantes los divida, capte su singularidad y distinga la particularidad de la función de proporción.
Desarrollar la capacidad de transferencia de conocimientos de los estudiantes a través de analogías.
En quinto lugar, fortalecer la comunicación entre disciplinas y mejorar la conciencia de los estudiantes sobre el uso de las matemáticas.
Una de las direcciones de la actual reforma educativa es fortalecer la aplicación integral del conocimiento en diversas disciplinas.
Las matemáticas, como materia básica, no sólo sirven a otras materias, si se pueden combinar con las características de otras materias y utilizan el conocimiento de otras materias para explicar sus principios básicos, también ayudarán a comprender. la aplicación de las matemáticas y cultivar la capacidad integral de los estudiantes.
Ejemplo 3: La longitud original del resorte es de 15cm. Como todos sabemos, la longitud del resorte tiene una relación lineal con la masa suspendida dentro de los 20 kilogramos.
Se mide que cuando el peso colgante es de 4 kg, la longitud del resorte es de 17 cm. Cuando la longitud del resorte es de 22 cm, ¿cuál es el peso que cuelga en kilogramos?
Análisis: basándose en las condiciones conocidas de que la longitud del resorte y el peso de la suspensión forman una relación funcional lineal, la relación funcional se obtiene utilizando el método del coeficiente indeterminado.
La solución a este problema se puede obtener mediante el cálculo.
Solución: Supongamos el peso colgante x (kg) (0?: Cuando x=0, y=15, es decir, b=15.
Cuando x=4, y=17, es decir, 4k 15=17, entonces K=
Por lo tanto, la función de resolución es: y= x 15 (0?x? 20)
Entonces, cuando y=22, x 15=22, x=14.
Respuesta: Cuando la longitud del resorte es de 22 cm, el peso colgante es de 14 kg.
Para los problemas físicos, debemos enumerar las relaciones funcionales basadas en conceptos físicos y conocimientos físicos, convertirlas en problemas matemáticos y luego utilizar métodos matemáticos para calcularlos. Lo mismo ocurre con otras materias.
En resumen, lo bien que se aprendan las funciones en la escuela secundaria afectará directamente el interés de los estudiantes en aprender matemáticas y la calidad de sus calificaciones en el futuro. Por lo tanto, la mayoría de los profesores de matemáticas de secundaria asumen responsabilidades clave, que deben atraer nuestra gran atención.
Los puntos anteriores son mi humilde opinión. Espero que puedan ayudar a mis colegas.
Referencia
[1]. Una breve discusión sobre la enseñanza de funciones en las escuelas secundarias [J Learning, 2009(15).
[2]Xu Deben. ¿Qué debemos captar en la enseñanza funcional en las escuelas secundarias? ¿Cuatro uno? [J]. Referencia de enseñanza de matemáticas en la escuela secundaria.
[3] Wang; Investigación sobre las dificultades de los estudiantes de secundaria en las funciones de aprendizaje y las estrategias de enseñanza [J]: Éxito (Calificación Académica 2011 18);