Matemáticas de tercer grado de secundaria

1. Definición y definición:

La variable independiente x y la variable dependiente y tienen la siguiente relación:

y=kx b

p>

Se dice que y es una función lineal de x en este momento.

Específicamente, cuando b=0, y es una función proporcional de x. Es decir: y=kx? (k es una constante, k≠0)

2. Propiedades de las funciones lineales:

1. El valor de cambio de y es proporcional al valor de cambio correspondiente de x. la relación k? Es decir: y=kxb? (k es cualquier número real que no sea cero? b toma cualquier número real)

2. Cuando x=0, b es la intersección de la función en el eje y.

3. Gráficas y propiedades de funciones lineales:

1. Práctica y gráfica: a través de los siguientes tres pasos.

(1) Lista;

(2) Puntos de seguimiento;

(3) La conexión puede formar la imagen de una función: una línea recta. Entonces, la gráfica de una función lineal solo necesita conocer 2 puntos y conectarlos en una línea recta. (Generalmente encuentre la intersección de la imagen de la función y los ejes X e Y)

2 Propiedades: (1) Cualquier punto P(x, Y) en la función lineal satisface la ecuación: y. = kx b. (2) ) Las coordenadas de la intersección de la función lineal y el eje Y son siempre (0, b), y la imagen de la función proporcional siempre se cruza con el origen del eje X en (- b/k, 0).

3. El cuadrante donde se ubican k, B y la gráfica de la función:

Cuando k > 0, la recta debe pasar por el primer y tercer cuadrante, y y aumenta con el aumento de x Grande;

Cuando k < 0, la línea recta debe pasar por el segundo y cuarto cuadrante, y y disminuye a medida que x aumenta.

Cuando b > 0, la recta debe pasar por el primer y segundo cuadrante;

Cuando b = 0, la recta pasa por el origen.

Cuando b < 0, la recta debe pasar por tres o cuatro cuadrantes.

En concreto, cuando b=O, la recta que pasa por el origen o (0, 0) representa la imagen de la función de proporción. En este momento, cuando k > 0, la línea recta solo pasa por uno o tres cuadrantes; cuando k <0, la línea recta solo pasa por dos o cuatro cuadrantes.

4. Determina la expresión de la función lineal:

Dados los puntos A (x1, y 1); B (x2, y2), determina la linealidad que pasa por los puntos A y. B La expresión de la función...

(1) Supongamos que la expresión de una función lineal (también llamada expresión analítica) es y = kx b.

(2) Debido a que cualquier punto P(x, y) en la función lineal satisface la ecuación y = kx b, se pueden enumerar dos ecuaciones: y1=kx1 b. …?①? Entonces qué. y2=kx2b? …?②

(3) Resuelve esta ecuación lineal binaria y obtén los valores de k y b..

(4) Finalmente obtén la expresión de la función lineal.

5. Aplicación de funciones lineales en la vida:

1. Cuando el tiempo t es constante, la distancia s es una función lineal de la velocidad v..s=vt.

2. Cuando la velocidad de bombeo f de la piscina permanece sin cambios, el volumen de agua g en la piscina es una función lineal del tiempo de bombeo t, y se establece el volumen de agua original s en la piscina. g = S-pies.

6. Fórmulas de uso común:

1. Encuentra el valor k de la imagen de la función: (y1-y2)/(x1-x2).

2. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje X: |x1-x2|/2.

3. Encuentra el punto medio del segmento de recta paralelo al eje Y: |y1-y2|/2.

4. Encuentra la longitud de cualquier segmento de recta: √ (x1-x2) 2 (y1-y2) 2 (Nota: la suma de los cuadrados de (x1-x2) y (y1-y2) bajo el signo raíz).

2 ? Función cuadrática

1. Definición y expresión de definición

En términos generales, la relación entre la variable independiente X y la variable dependiente Y es la siguiente: Y = AX ^ 2 BX c

(a, b, c son constantes, a≠0, a determina la dirección de apertura de la función, a > 0, la dirección de apertura es hacia arriba, a

El lado derecho de la expresión de una función cuadrática suele ser un trinomio cuadrático

2. Tres expresiones de funciones cuadráticas

Fórmula general: y = ax ^ 2 bx c. (a, b, c son constantes, a≠0).

Vértice: y = a (x-h) 2 k? [Vértice P(h, k) de la parábola]

Punto de intersección: y=a(x-x?)(x-x)? [Solo si hay puntos de intersección A(x, 0) y ? B(x? 0) parábola]

Nota: En estos tres transformaciones mutuas En la forma, existe la siguiente relación:

k=(4ac-b^2)/4a? ,x? 2a

3. >

Dibuja la imagen de la función cuadrática y = x 2 en el sistema de coordenadas plano rectangular, y podrás ver que la función cuadrática parece una parábola /p>

Propiedades de la parábola

1. ¿El eje de simetría es la recta x?

El eje de simetría y la parábola El único punto de intersección es el vértice p de la parábola. Especialmente cuando b=0, el eje de simetría. de la parábola es el eje Y (es decir, la recta x=0)

2. La parábola tiene un vértice p, y las coordenadas son: p (?-b/2a?, (4ac? -b^2)/4a?) Cuando -b/2a=0, p está en el eje y; cuando δ =? Cuando b 2-4ac = 0, p en el eje x. >3. El coeficiente cuadrático A determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola.

Cuando a > 0, la parábola se abre hacia arriba; cuando a < 0, la parábola se abre hacia abajo. cuanto menor es la apertura de la parábola.

4. Tanto el coeficiente lineal b como el coeficiente cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría.

Cuando a y b tienen. el mismo signo (es decir, AB > 0), el eje de simetría está a la izquierda en el eje Y;

Cuando A y B tienen signos diferentes (es decir, AB < 0), el eje de simetría está en El lado derecho del eje Y.

5. El término constante c determina la intersección de la parábola y el eje Y.

La parábola se cruza con el eje y en (. 0, c)

6. El número de intersecciones entre la parábola y el eje X

Δ=?Cuando b 2-4ac > 0, hay dos intersecciones entre la parábola y Cuando -4ac = 0, la parábola tiene una intersección con el eje X

Δ= Cuando b 2-4ac < 0, el valor de x es un número imaginario (x=? -√b^2-4ac? El recíproco del valor de , multiplicado por el número imaginario I, toda la fórmula se divide por 2a).

Verbo (abreviatura de verbo) función cuadrática y ecuación cuadrática

En particular, función cuadrática (en adelante función) y = ax 2 bx c,

Cuando y=0, la función cuadrática es una ecuación cuadrática de una variable (en lo sucesivo, la ecuación) alrededor de X, es decir, AX ^ 2 BX C = 0.

En este momento, si la gráfica de la función intersecta el eje X significa si la ecuación tiene raíces reales. La abscisa de la intersección de la función y el eje X es la raíz de la ecuación.

1. Función cuadrática y = ax ^ 2, y = a (x-h) 2, y = a (x-h) 2? k, y = ax ^ 2 bx c (a≠0 en varios tipos) tienen la misma forma de imagen, pero en diferentes posiciones. Sus coordenadas de vértice y ejes de simetría son los siguientes:

Cuando h gt0, mueve la parábola y = ax 2 paralela a la derecha h unidades, y podrás obtener la imagen de y = a (x-h) 2. .

Cuando h < 0, se obtiene moviendo |h| unidades paralelas a la izquierda.

Cuando h gt0, k gt0, mueves la parábola y = ax 2 paralela a la derecha h unidades, y luego la mueves hacia arriba k unidades, ¿puedes obtener y = a (x-h) 2? k imagen;

Cuando h gt0, k lt0, mueva la parábola y = ax 2 paralela a la derecha h unidades, y luego muévala hacia abajo | k unidades para obtener y = a (x-h) 2 k Imagen ;

Cuando h < 0, k >; mueva la parábola paralela a la izquierda |h unidades, y luego muévala hacia arriba k unidades para obtener la imagen de y = a (x-h| 2 k ;

Cuando h < 0, k lt0, mueva la parábola paralela a la izquierda |h unidades, y luego muévala hacia abajo |k unidades para obtener la imagen de y = a (x-h| 2 k ;

Entonces, ¿aprender parábolas? Al convertir la imagen de Y = AX ^ 2 BX C(A≠0) en Y = A (X-H) 2 K mediante la fórmula, se puede determinar claramente la posición aproximada de sus coordenadas de vértice, eje de simetría y parábola, lo que proporciona conveniencia para dibujar imágenes.

2. La imagen de la parábola y = ax ^ 2 bx c(a≠0): cuando a >: 0, la apertura es hacia arriba, cuando a

3. = ax ^ 2 bx c(a≠0), si a>0, cuando x? ≤?En -b/2a, y disminuye a medida que x aumenta cuando x? ≥?Alt -b/2a, y aumenta a medida que aumenta x. Si a

4. La intersección de la imagen de la parábola y = ax 2 bx c y el eje de coordenadas:

(1) La imagen debe cruzar el eje Y, y las coordenadas de intersección son (0, c );

(2) Cuando △ = b 2-4ac >, la imagen intersecta el eje x en dos puntos A(x?, 0) y B. (x? 0), donde x1, x2 es la ecuación cuadrática ax^2 bx c=0.

(a≠0). ¿La distancia entre estos dos puntos AB=|x? -¿incógnita? |

Cuando △ = 0, solo hay un punto de intersección entre la imagen y el eje X

Cuando △ < 0. La imagen no tiene intersección con el eje X. Cuando A > 0, la imagen cae por encima del eje X. Cuando X es un número real, y > 0; cuando a lt0, la imagen cae por debajo del eje X. Cuando X es un número real, y

5. El valor máximo de la parábola y = ax ^ 2 bx c: Si a gt0 (a lt; 0), entonces cuando x =? En -b/2a, el valor mínimo (máximo) de y = (4ac-b 2)/4a.

La abscisa del vértice es el valor de la variable independiente cuando se obtiene el valor máximo, y la ordenada del vértice es el valor del valor máximo.

6. Utiliza el método del coeficiente indeterminado para encontrar la expresión analítica de la función cuadrática.

(1) Cuando la condición dada es que la imagen conocida pasa por tres puntos conocidos o tres pares de valores correspondientes de xey conocidos, la expresión analítica se puede establecer en una forma general:

y=ax^2 bx c(a≠0).

(2) Cuando la condición dada es la coordenada del vértice o el eje de simetría de la imagen conocida, la expresión analítica puede ser establecido en el vértice: y = a (x-h) 2 k (a ≠ 0).

(3) Cuando las condiciones dadas son las coordenadas de los dos puntos de intersección de la imagen conocida y el eje X, la fórmula analítica se puede establecer en dos fórmulas: y=a(x-x?)( x-x?)(a≠0).

7. El conocimiento de funciones cuadráticas se integra fácilmente con otros conocimientos para producir problemas integrales más complejos. Por lo tanto, las preguntas integrales basadas en el conocimiento de funciones cuadráticas son temas candentes en el examen de ingreso a la escuela secundaria y, a menudo, aparecen en forma de preguntas importantes.

3 funciones de triángulo agudo

Resumen de puntos de conocimiento

Métodos de inspección comunes

(1) Utilice tres relaciones importantes de funciones trigonométricas Simplificación y evaluación de los mismos ángulos;

(2) Usar funciones trigonométricas en ángulos especiales para resolver problemas de distancia en la vida real.

Recordatorio de malentendidos

(1) Al utilizar el concepto de funciones trigonométricas y sus relaciones, es fácil cometer errores en los cálculos y los nombres son fáciles de confundir (2) Es el triángulo; en Rt△ABC un triángulo rectángulo o ∠C = 90°¿No está claro? , obteniendo así incorrectamente el valor de la función trigonométrica de un ángulo agudo;

(3) El valor de la función trigonométrica de un ángulo especial es fácil de confundir, y también es fácil confundir el valor de la función trigonométrica de un ángulo con su ángulo complementario.

Ejemplo típico (examen mensual de Sanya de 2010) Rt△ABC, ∠C = 90, A, B y C son los lados opuestos de ∠A, ∠B y ∠C respectivamente. tipos es correcto (?)

A.? b=a pecadoB B? a=b cosB C? a=b tanB? ¿d? b=a tanB

Al analizar la definición de función trigonométrica de ángulo agudo, podemos saber que la razón del lado opuesto al lado adyacente de ∠B es la tangente de ∠B, es decir, tanb = B/a; b=a tanB.