Se explica la historia del desarrollo de la integral de Riemann y la integral de Lebesgue respectivamente.
La diferencia entre puntos radica en si el espacio formado por sus funciones integrables es completo.
Palabras clave: integral de Riemann; integral de Lebesgue; integración; compleción
Número de clasificación de la Biblioteca de China: O 172 Código de identificación del documento: a.
En los libros de análisis general sólo se revela Riemann.
Puntos. Pero no se señaló que Rie-
¿Cuál es la diferencia esencial entre la integral de Mann y la integral de Lebesgue?
¿Qué es esto? Comencemos con su definición, Lee.
Discutirlo utilizando el concepto de completitud espacial.
1. Integral de Riemann
La integral de Riemann se utiliza para resolver el problema cerrado superior del plano de cálculo.
Una curva cerrada se genera encerrando una región de la figura dibujada a partir de una línea recta.
Intervalo cerrado.
Supongamos que la función f(x) está definida en .
2. Integral de Lebesgue
Usando una idea similar a la integral de Riemann, la dividimos en dos partes.
La función rango comienza a definir Lebesgue con la idea de límite.
Integral, lo llamamos definición a.
Defina a, sea la función f(x).
Defina b, sea f(x) una reducción mensurable no negativa en Rn.
Una única función cuyo valor se toma del conjunto de puntos Ai (i =1, 2,..., p).
ci:f(x)=√
p
i=1
cixA
I, ∩
p
i=1Ai= Rn, Ai∩Aj
=ф(I≠j).
Si e es Un conjunto medible define una función simple mensurable no negativa.
La integral de Lebesgue del número f(x) en e es
(L)∫Ef(x)dx =∑pi=1cim(E∩Ai).
p>
Supongamos que f(x) es una función medible no negativa en Rn,
Definimos la integral de Lebesgue de f(x) en e como
(L )∫Ef(x)dx =suph(x)≤f(x)
x∈E
{∫Eh(x)dx:h(x)
es una función simple medible no negativa en Rn.
Si (l) ∫ ef (x) dx
Es integrable de Lebesgue.
Supongamos que f(x) es una función medible en Rn,
f+(x) =max{f(x), 0}, f-(x) =max{ -
F(x), 0}, si la integral (L)∫Ef+(x)dx,
al menos uno de (L)∫Ef-(x)dx es finito, entonces
Por ejemplo, (L)∫Ef(x)dxf(x) = (L)∫Ef+(x)dx-
(l) ∫ ef-( x) Lebesgue donde dx es la integral de f(x)
en e; si las dos integrales en el lado derecho de la fórmula anterior son finitas, se llama
F( x) en mi es integrable de Lebesgue.
Se puede ver a partir de la definición B de la integral de Lebesgue que este
dominio de valor de función no está dividido, pero a partir de la definición de un
no negativo función simple medible Funciones comprobables.
Integral de Lebesgue, por supuesto estas dos integrales de Lebesgue.
Estas definiciones son equivalentes. Aunque estoy aquí para explicarlo.
¿Recuerdas a Yi Lebesgue?
La medida converge a f, por lo que hay una subsecuencia que converge a f según la medida.
F. Lo siguiente demuestra que fnk→f es suficiente. Obviamente, fnk también es la columna básica, es decir:
Para el ε anterior, cuando NK, Ni >;
d(fn
k
, fn
i
)=(L)∫ba | fnk-fni(x)| dx <ε.
Por otro lado, cuando ni→∞, | fn
k(x)
Fni (x) | converge a | f(x)-
Función [Matemáticas]
i(x) |.
Se puede ver en el lema de Fatou
d(fn
k, f) = (L)∫ba| f(x)-fni(x) ) |dx
≤lim
i→∞
(L)∫ba| fnk(x)-fni(x) |dx
& ltε
Por lo tanto, f-fnk∈L[a, b], por lo tanto
f = fn
k
-(f-fn
k
)∈L[a, b]. Por lo tanto
d(fn, f) =d(fn, fn
k) +d(fnk, f)<ε.
Entonces, Lin
n→∞
Fn= f, entonces L[a, b] está completo.
Espacio.
De la proposición anterior, podemos saber que después de que el espacio incompleto R[a,
b] se extiende al espacio L[a, b], se obtiene un
completo. >Espacio vacío, que es la integral de Riemann y el producto de Lebesgue.
No te dejes engañar por su apariencia superficial.
La confusión radica en el intervalo [a, b] y el rango de la función.
La diferencia en las líneas divisorias también puede explicar mejor el producto Lebesgue.
La fracción es una generalización de la integral de Riemann.
Referencia
Liu Yulian et al. Apuntes de conferencias sobre análisis matemático [M Beijing: Educación popular].
Prensa, 1982.
[2] Jiang Zejian et al. Teoría de las funciones variables reales[M] Beijing: Higher Education Press.
Sociedad, 2000.
[3]Xia Daoxing et al. Introducción a las funciones variables reales y al análisis funcional [M Shanghai:
Shanghai Science and Technology Press, 1982.
[4]La teoría de la medición de Cohen. Burkhouse. Boston,
1980.
[5] M.M.Rao. Teoría de la medida e integrales.
John Wiley e hijos, 1987.
22
Volumen 18, Número 5, Journal of Higher Correspondence Education (Edición de Ciencias Naturales), Volumen 18, Número 5
5 de junio a octubre de 2004 38