¿Cuál es la diferencia entre el movimiento browniano geométrico y el movimiento browniano fraccionario?

El movimiento browniano geométrico (GBM) (también llamado movimiento browniano exponencial) es un proceso estocástico de tiempo continuo en el que el logaritmo de una variable aleatoria sigue el movimiento browniano, [1] también llamado proceso browniano geométrico. Tiene aplicaciones en matemáticas financieras para modelar los precios de las acciones en el modelo de precios de Black-Scholes.

Movimiento browniano fraccional

El mundo es no lineal. La mayoría de las cosas en el universo no son ordenadas, lineales y estables, sino caóticas, no lineales, inestables e inestables. mundo que fluye y refluye. Lo ordenado, lo lineal y lo estable sólo existen en los palacios teóricos construidos por nosotros mismos, mientras que el universo real está lleno de fractales. En una gran cantidad de fenómenos naturales y sociales, como las fluctuaciones de precios en el mercado de valores, las fluctuaciones del ritmo cardíaco y de las ondas cerebrales, el ruido en los componentes electrónicos, las formas naturales del terreno, etc., existe una clase de fenómenos casi completamente aleatorios que tienen los siguientes. características: en el dominio del tiempo O hay autosimilitud, correlación a largo plazo y herencia en el dominio espacial; en el dominio de la frecuencia, su densidad espectral de potencia básicamente se ajusta a la ley de atenuación polinómica de 1/f dentro de un cierto rango de frecuencia. Por lo tanto, se denomina proceso aleatorio de familia 1/f. El modelo de movimiento browniano fraccionario (FBM) propuesto por Benoit Mandelbrot y Van Ness es el más utilizado. Tiene dos propiedades importantes: autosimilitud y no estacionariedad, y es una característica inherente de muchos fenómenos naturales y sociales. El movimiento browniano fraccional recibe diferentes nombres, como movimiento browniano fractal, paseo aleatorio sesgado, series de tiempo fractales, proceso de Wiener fractal, etc. Su definición es la siguiente:

Supongamos que 0lt; Hlt; 1, el movimiento browniano fraccionario con parámetro de Hurst H es un proceso gaussiano continuo y la covarianza es . Cuando H=1/2, es movimiento browniano estándar.

La característica del movimiento browniano fraccionario es la función de correlación temporal C(t)≠0, es decir, tiene persistencia o antipersistencia, o tiene "correlación de largo alcance sin pérdida de generalidad". , movimiento browniano unidimensional de situaciones y definición de movimiento browniano fraccionario. El movimiento browniano fraccional no es un proceso de Markov ni una semimartingala, por lo que no puede analizarse mediante aleatoriedad ordinaria. La principal diferencia entre el movimiento browniano fraccionario y el movimiento browniano es: los incrementos del movimiento browniano fraccionario no son independientes, mientras que los incrementos del movimiento browniano son independientes en el nivel profundo del movimiento browniano fraccionario y en el nivel del movimiento browniano son independientes; Los valores de dimensión son diferentes. El valor de dimensión fractal alfa del movimiento browniano fraccionario (ruido fractal) es igual a 1/H, H es el índice de Hurst, mientras que el valor de dimensión fractal del movimiento browniano (ruido blanco) es 2.

Hurst encontró en una serie de estudios empíricos que los fenómenos naturales siguen un "camino aleatorio sesgado", es decir, una tendencia más ruido, y por ello propuso el método de análisis de rango reescalado (Rescaled Range Analysis, R/S análisis). Supongamos que R/S representa el rango reescalado, N representa el número de observaciones, a es una constante fija y H representa el índice de Hurst. En más de 40 años de investigación y a través de una gran cantidad de estudios empíricos, Hurst ha establecido lo siguiente. relación:

R/S=(aN)H

Al tomar el logaritmo de la fórmula anterior, podemos obtener:

log(R/S) =H(logN Ten loga)

Siempre que encuentres la pendiente de la gráfica log/log de R/S con respecto a N, puedes estimar el valor de H. El índice de Hurst H se utiliza para medir la correlación serial y la fuerza de la tendencia: cuando H=0,5, movimiento browniano estándar, la serie de tiempo obedece a un paseo aleatorio cuando H≠0,5, C(t)≠0, y es independiente del tiempo; es la fracción Características del movimiento browniano. Cuando 0,5lt; Hlt; 1, la secuencia mejora la tendencia y sigue un proceso de caminata aleatoria sesgada; cuando 0lt;

Se puede ver que el índice Hurst puede describir bien las características de fluctuación del mercado de valores. La aplicación del análisis R/S al mercado financiero puede determinar si la secuencia de retorno tiene memoria y si la memoria es sostenible o antisostenible. Por lo tanto, el movimiento browniano fraccional es una herramienta adecuada para las finanzas matemáticas bajo el sistema científico de sistemas complejos. Tiene un importante significado teórico y práctico como generalización y profundización del proceso de Wiener que describe el modelo de comportamiento de fluctuación de precios de los mercados financieros.