100 preguntas y respuestas de la Olimpiada de Matemáticas de sexto grado [Preguntas y respuestas de la Olimpiada de Matemáticas de sexto grado: factores primos [3]]
Primer artículo
1. Prime Factor
Los profesores y alumnos de una determinada escuela donaron 1.995 yuanes a zonas pobres. Esta escuela cuenta con 35 profesores y 14 clases. El número de alumnos en cada clase es el mismo, con más de 30 personas y no más de 45 personas. Si la cantidad promedio de dinero donada por cada persona es un número entero, ¿cuál es la donación promedio?
El análisis muestra que esta escuela tiene un mínimo de 35 14×30=455 profesores y alumnos y un máximo de 35 14×45=665 profesores y alumnos. El número total de profesores y alumnos puede ser equitativo. divisible por 1995,1995 = 3×5×133.
2. Factor primo
Tres personas A, B y C disparan tres tiros cada una. El producto del número de anillos en sus respectivos objetivos es, según el número total de. anillos en un solo objetivo, de mayor a menor, son A, B y C. ¿Quién disparó el cuarto anillo al objetivo? (El número de timbres es un número natural que no excede)
Análisis El producto del número de timbres para tres personas y tres armas es 60, es decir, el número de timbres para cada objetivo de arma es un divisor de 60. El factor primo de la descomposición de 60 es 60=22×3×5, y debido a que el número de anillos en cada arma no excede 10, solo hay cuatro casos en los que 60 se escribe como el producto de tres números naturales que no exceden 10:
60 =3×4×5; 60=2×6×5; 60=2×3×10; 60=1×6×10.
Entre ellos, el total El número de anillos es 12, 13 y 15 respectivamente y 17. En el caso de cuatro anillos, ① tiene el menor número total de anillos, por lo que el cuarto anillo lo toca c.
Artículo segundo
Números primos: Un número no tiene otros divisores excepto 1 y él mismo. Este número se llama número primo, también llamado número primo.
Números compuestos: Además del 1 y de sí mismo, un número tiene otros divisores. Este número se llama número compuesto.
Factores primos: Si un número primo es divisor de un número, entonces el número primo se llama factor primo del número.
Factorización prima: Un número se representa multiplicándolo por un número primo, lo que se llama factorización prima. Los factores primos generalmente se descomponen mediante división corta. El resultado de factorizar cualquier número compuesto en factores primos es positivo.
La expresión estándar para factorizar factores primos: N=, donde a1, a2, A3...an son todos factores primos del número compuesto n y a1.
La fórmula para encontrar el divisor: p =(r 1 1)×(R2 1)×(R3 1)×…×(rn 1).
Números primos: Si el divisor común de dos números es 1, los dos números se llaman números primos.
El tercer artículo
Los conceptos de números primos, factores primos y números coprimos se confunden fácilmente porque todos tienen las palabras "primo" y "número". Distinguir correctamente estos conceptos es de gran importancia para dominar los conocimientos básicos de la divisibilidad de números.
(1) Números primos: números naturales. Si 1 y él mismo tienen solo dos divisores, el número se llama número primo (también llamado número primo).
Por ejemplo:
El divisor de 1 es: 1
El divisor de 2 es: 1, 2; divisor de 3 Los divisores de 4 son: 1, 3
Los divisores de 4 son: 1, 2, 4
Los divisores de 6 son: 1, 2, 3; , 6;
p>Los divisores de 7 son: 1, 7;
Los divisores de 12 son: 1, 2, 3, 4, 6, 12;
……
Se puede ver a partir de los divisores de los números anteriores que hay tres casos de divisores de números naturales:
Solo hay un divisor, como 1. Entonces el 1 no es un número primo ni un número compuesto.
②Solo hay dos divisores (1 y él mismo), como 2, 3, 7...
(3) Hay más de dos divisores, como 4, 6 , 12...
El segundo caso se llama número primo.
Pertenece al tercer caso, es decir, además de 1 y él mismo, existen otros divisores. Estos números se denominan números compuestos.
(2) Factores primos: En términos generales, el factor de un número es un número primo, al que se le llama factor primo de este número.
Por ejemplo: 18=2×3×3.
Aquí 2, 3 y 3 son todos factores de 18, y todos son números primos, por eso los llamamos factores primos de 18. Cabe señalar aquí que 18 también se puede escribir como el producto de 3 y 6, es decir, 18=3×6. No hay duda de que tanto 3 como 6 son factores de 18, pero el 3 en sí es un número primo y puede llamarse número primo de 18, mientras que el 6 es un número compuesto y no puede llamarse número primo de 18.
(3) Números primos: Dos o más números naturales cuando su divisor común es 1, estos dos o más números se llaman números primos (también llamados números primos).
Por ejemplo: 5 y 7, 4 y 11, 8 y 9, 7, 11 y 15, 12, 20 y 35.
El divisor común de estos grupos de números es 1, por lo que todos son números primos. Entre los dos números primos anteriores, como 7, 11 y 15, 7 y 11 son números primos, 11 y 15 son números primos, 7 y 15. En este caso, llamamos a estos tres números "primos mutuamente por pares". Pero en el grupo de los números 12, 20 y 35, aunque también son números primos, no son números primos pareados, porque 12 y 35 son números primos, mientras que 12, 20, 20 y 35 no son números primos.
Cabe señalar que, ya sea que dos números sean primos entre sí o que dos o más números sean primos entre sí, estos números en sí mismos no son necesariamente números primos. Por ejemplo, 5 y 7 son números primos entre sí y ellos mismos son primos. los números 4 y 11 son números primos, de los cuales 4 no es número primo; 8 y 9 son números primos, pero ninguno es número primo;
En resumen, un número primo hace referencia a un número. Por ejemplo, "2 es un número primo, 11 es un número primo", etc. Aunque los factores primos también hacen referencia a un número, están hablando de otro número. Por ejemplo, "5 es un factor primo de 35". Si dejas 35 solo y dices: "5 es un factor primo" no sería apropiado. Por tanto, los factores primos tienen identidades duales: primero, deben ser números primos; segundo, deben ser factores de otro número.
Los números primos se diferencian en homogeneidad y factores primos. No se refiere a un número, sino a dos o más números que no tienen otros divisores comunes excepto 1.
Se puede ver que se han dominado los conceptos de números primos, factores primos y números coprimos. Los números primos son la base y existen conexiones y diferencias entre ellos. Sólo comprendiéndolos a fondo y distinguiéndolos correctamente se podrá evitar la confusión.