Explicaciones detalladas de problemas de puntos móviles en matemáticas de secundaria.
El "problema de puntos en movimiento" se refiere a un problema abierto en el que hay uno o más puntos en movimiento en una gráfica, que se mueven sobre una línea recta, un rayo o un arco. La clave para solucionar este tipo de problemas es buscar la quietud en movimiento.
La clave: buscar la quietud en movimiento.
Pensamientos matemáticos: pensamientos de clasificación, pensamientos de función, pensamientos de ecuación, pensamientos de combinación de formas y números, pensamientos de transformación
Establecer funciones analíticas
Las funciones revelan la relación. entre cantidad y forma en el proceso de cambios de movimiento. Las reglas cambiantes entre cantidades y el problema del punto en movimiento encarnan una idea funcional. Debido a cambios en el movimiento condicional de puntos o gráficos, se produce una relación cambiante entre cantidades desconocidas y cantidades conocidas.
Primero, aplica el teorema de Pitágoras para establecer la función de resolución.
Ejemplo 1 (Shanghai, 2000) Como se muestra en la Figura 1, sobre el arco AB del sector OAB con un radio de 6 y un ángulo central de 90°, existe un punto en movimiento P, PH⊥ OA, pie vertical h, centro de gravedad △ OPH.
(1) Cuando el punto P se mueve en el arco AB, ¿hay segmentos de recta con la misma longitud entre los segmentos de recta GO, GP y GH? Si es así, indique dicho segmento de línea y encuentre su longitud correspondiente.
(2) Suponga PH y GP, encuentre la función de resolución y escriba el dominio de la función (es decir, el rango de valores de la variable independiente).
H
M
Normal
G
P
O p>
A
B
Figura 1
(3) Si △PGH es un triángulo isósceles, intenta encontrar la longitud del segmento de recta pH.
p>Solución: (1) Cuando el punto P se mueve en el arco AB, OP no cambia, por lo que entre los segmentos de recta GO, GP y GH, hay segmentos de recta con el mismo pH. longitud, es decir, GH= NH= OP=2.
(2) Rt△POH en ∴.
La unidad es Rt△MPH,
.
∴= gp = MP =(0 lt; lt6).
(3)△PGH es un triángulo isósceles. Hay tres situaciones posibles:
① Cuando gp = pH, se obtiene la solución que es la raíz de la ecuación original, consistente con el significado de la pregunta.
②Cuando gp = GH se obtiene la solución, que es la raíz de la ecuación original, pero no se ajusta al significado de la pregunta.
③Cuando pH = GH,.
En resumen, si △PGH es un triángulo isósceles, entonces la longitud del segmento PH es o 2.
En segundo lugar, se aplica la fórmula proporcional para establecer la función de resolución.
Ejemplo 2 (Shandong, 2006) Como se muestra en la Figura 2, en △ABC, AB=AC=1, los puntos D y E se mueven sobre la recta BC. Sea BD=CE=.
(1) Si ∠ BAC = 30, ∠ DAE = 105, intente determinar la función de resolución entre y
A
E
D
C
B
Figura 2
(2) Si el grado de ∠BAC es 0, y ∠ DAE El grado de es 0. Cuando se satisface qué relación, ¿sigue siendo válida la función de resolución entre (1)? Intenta explicar el motivo
Solución: (1) En △ABC, AB = AC, ∠ BAC = 30,
∴∠abd=∠ace=105 ∴∠abc=∠ ac = 75.
∠∠BAC = 30, ∠DAE=105, ∴∠DAB ∠CAE=75,
∠ DAB ∠ ADB =∠ ABC = 75,
∴∠CAE=∠ADB,
∴△ADB∽△EAC, ∴,
∴, ∴ .
O
●
F
P
D
E
A
C p>
B
3(1)
(2) Porque ∠DAB ∠CAE=, y ∠DAB ∠ADB=∠ABC=, y la relación funcional sostiene,
∴ =, organizado.
En ese momento se estableció la función resolutiva.
El ejemplo 3 (Shanghai, 2005) se muestra en la Figura 3(1). En △ABC, ∠ ABC = 90, AB = 4, BC = 3. El punto O es un punto en movimiento en el lado AC. El centro del punto O es un semicírculo, que es tangente al lado AB. La línea de intersección OC está en el punto e.
●
P
D
E
A
C p>
B
3(2)
O
F
(1) Verificación: △ADE∽ △PEA.
(2) Supongamos OA=, AP=, encuentre la función de resolución y escriba su dominio.
(3) Cuando BF=1, encuentre la longitud del segmento de línea AP.
Solución: (1) OD vinculada.
Según el significado de la pregunta, OD ⊥ AB, ∴∠ ODA = 90, ∠ ODA = ∠ DEP.
Y de OD=OE, obtenemos ∠ ode = ∠ OED. ∴∠ ade = ∠ AEP, ∴△ ade ∽△ AEP.
(2)∫∠ABC = 90, AB=4, BC=3, ∴AC=5.∠∠ABC =∠ado = 90, ∴∴od∥bc,,
∴OD=,AD=. ∴AE = =.
∴∴△ade∽△AEP. ∴ ( ).
③Cuando BF=1,
①Si la línea de extensión de la línea de intersección EP CB está en el punto F, como se muestra en la Figura 3(1), entonces CF=4 .
* ade = AEP, ∴∠PDE=∠PEC.∠∠FBP =∠DEP = 90, ∠FPB=∠DPE,
∴∠F=∠PDE,∴∠ F=∠FEC, ∴CF=CE.
Se obtiene ∴5- =4, es decir, AP=2.
②Si la línea de intersección EP CB está en el punto f, como se muestra en la Figura 3(2), entonces CF=2.
De manera similar a ①, podemos obtener CF=CE.
∴5- =2, sí.
Se puede obtener AP=6.
En resumen, cuando BF=1, la longitud del segmento de línea AP es 2 o 6.
En tercer lugar, utilice el método de encontrar el área de una gráfica para establecer una relación funcional.
A
B
C
O
Figura 8
H
Ejemplo 4 (Shanghai, 2004) Como se muestra en la figura, en △ABC, ∠BAC = 90°, AB = AC =, y el radio de ⊙ A es 1. Si el punto O se mueve en el borde de BC (no coincide con el punto B y el punto C), sea bo = y el área BO =, △AOC es.
(1) Encuentra la función de descomposición y escribe el dominio de la función.
(2) Tome el punto O como centro y la longitud de BO como radio para construir un círculo O. Encuentre el área △AOC cuando ⊙O es tangente a ⊙A.
Solución: (1) La intersección a es AH⊥BC y el pie vertical es h
∵∠BAC=90, AB=AC=, ∴BC=4, AH = antes de Cristo= 2. ∴OC=4-.
∵ , ∴ ( ).
(2)①Cuando ⊙O y ⊙A están circunscritos,
En Rt△AOH, OA=, OH =, ∴.
El área de △AOC en este momento =.
②Cuando ⊙O y ⊙A están inscritos,
En Rt△AOH, OA=, OH=, ∴.
En este momento, el área △AOC =.
En resumen, cuando ⊙O es tangente a ⊙A, el área de △AOC es o.
Dos: Problemas de geometría dinámica
Características de la geometría dinámica: el fondo del problema es una figura especial (ángulo especial, naturaleza de la figura especial, posición especial de la figura). ) Problema del punto móvil Siempre ha sido un tema candente en el examen de ingreso a la escuela secundaria. En los últimos años hemos examinado las peculiaridades del movimiento: triángulos isósceles, triángulos rectángulos, triángulos semejantes, paralelogramos, trapecios, ángulos especiales o el máximo de sus funciones trigonométricas, segmentos o áreas.
1. Preguntas con geometría dinámica como línea principal
(1) Clic.
1. Como se muestra en la figura, en el medio, el punto está en el borde, con el punto como vértice, el borde se cruza en el punto y los rayos se cruzan en el punto respectivamente.
(1) Cuando, encuentre la longitud;
(2) Cuando tome la longitud central del punto como el radio ⊙ y tome la longitud central del punto como el radio ⊙ son tangentes,
Encuentra la longitud;
(3) Cuando el diámetro ⊙ del lado es tangente al segmento de recta, encuentra la longitud.
[Antecedentes del problema y puntos de medición de la discriminación]
Solución: (1) Demuestre ∽ ∴, sustituya los datos, ∴AF=2.
(2) Suponga BE=, y luego use el método de (1),
Recta tangente considere dos situaciones: recta tangente, recta tangente y recta tangente;
Cuando ∴ y ⊙ son tangentes, la longitud es o.
(3) Cuando el diámetro ⊙ del lado es tangente al segmento de recta, .
(2) Problema de movimiento lineal
En el ángulo recto ABCD, AB = 3, el punto O está en la diagonal AC, y la recta L pasa por el punto O y se cruza AC perpendicularmente. AD está en el punto e (1) Si la recta L pasa por el punto B, dobla △ABE a lo largo de la recta L. El punto A coincide con el centro de simetría A' del rectángulo ABCD y encuentra la longitud de BC;
A
B
C
D
E
O
l
A
(2) Si la recta L corta a AB en el punto F, AO= AC, sea la longitud de AD y el área del pentágono BCDEF sea S. ① Encuentre la relación funcional sobre S, señale el rango de valores de
(1)∵A' es el centro de simetría A' del rectángulo ABCD ∴ B = AA' = AC.
∵AB=A'B, AB=3∴AC=6
(2)① , , ,
∴ ,
( )
②Si el círculo A es tangente a la recta L, esta situación no existe, entonces el círculo A es tangente a la recta L.
(3) Problema de movimiento de superficie
Como se muestra en la figura, en , y , están los dos puntos móviles en el lado y en la parte superior respectivamente (no coinciden con, y ), y manténgalos, con los lados como cuadrados en lados diferentes de los puntos.
(1) Área de prueba;
(2) Cuando los lados se superponen, encuentre la longitud del lado del cuadrado
(3) Establezca la longitud de; la parte superpuesta con el cuadrado El área es, encuentre la relación funcional y escriba el dominio;
(4) Cuando sea un triángulo isósceles, escriba la longitud directamente.
Solución: (1).
(2) Suponga que la longitud del lado del cuadrado es , luego resuelva.
(3) Cuando,
Cuando,.
(4) .
A
B
F
D
E
M
Común
C
Conocido: ¿En △ABC, AB=AC, ∠B=30? , BC=6, el punto D está en el lado BC, el punto E está en el segmento DC, DE=3, △DEF es un triángulo equilátero, los lados DF y EF intersecan a los lados BA y CA en los puntos M y N respectivamente.
(1) Verificación: △ BDM ∽△cen;
(2) Supongamos que BD =, el área de la parte superpuesta de △ABC y △DEF es, encuentre el función de resolución y dominio de escritura.
(3) Cuando los puntos M y N están en los lados BA y CA respectivamente, ¿existe un punto D tal que el círculo con M como centro y BM como radio sea tangente a la recta EF? Si existe, encuentre el valor de X; si no existe, explique por qué.
Ejemplo 1: Se sabe que la longitud de la cuerda AB de ⊙O es igual al radio de ⊙O, y el punto C cambia en ⊙O (no coincide con A y B), encuentre el tamaño de ∠ACB.
Análisis: ¿El cambio en el punto C afecta el cambio en el tamaño de ∠ACB? También podríamos cambiar el punto c. Puede variar en el arco superior AB o en el arco inferior AB. Evidentemente, los resultados de los dos son diferentes. Entonces, cuando el punto C cambia en el arco superior AB, el arco ∠ACB es el arco inferior AB, y su tamaño es la mitad del arco inferior AB. Entonces es natural pensar en su ángulo central, conectando AO y BO, entonces es natural pensar en su ángulo central, conectando AO y BO. debido a que AB=OA= OB, es decir, el triángulo ABC es un triángulo equilátero, entonces ∠AOB=600, entonces el ángulo central del mismo arco es igual a.
Cuando el punto C cambia en el arco inferior AB, el arco opuesto a ∠ACB es el arco óptimo AB, y su tamaño es la mitad del arco óptimo AB. Se obtiene mediante ∠AOB=600, y el arco óptimo AB es El grado de es 3600-600=3000, luego se obtiene de la relación entre el ángulo central y el ángulo circunferencial relativo al mismo arco: ∠ ACB = 6500.
Entonces hay dos respuestas a esta pregunta, 300 o 1500.
Tema 3: Problema de doble punto en movimiento
Los problemas causados por el movimiento puntual, el movimiento lineal y el movimiento de forma se denominan preguntas de geometría dinámica, que utilizan principalmente figuras geométricas como portador y movimiento. cambios como línea principal Integre múltiples puntos de conocimiento en una sola pregunta. Este tipo de preguntas es muy completo y tiene altos requisitos de capacidad. Puede evaluar de manera integral la capacidad práctica, la capacidad de imaginación espacial y la capacidad de análisis y resolución de problemas de los estudiantes. Entre ellos, la pregunta de puntuación de doble acción, famosa por su flexibilidad, se ha convertido en un tema candente en el examen de ingreso a la escuela secundaria de este año. Ahora seleccione algunos ejemplos para clasificar.
1 Utilice puntos de doble movimiento como soporte para explorar el problema de las imágenes funcionales.
Ejemplo 1 (Hangzhou, 2007) En el trapecio rectángulo ABCD, ∠C = 90°, altura CD = 6 cm (Figura 1). Los puntos en movimiento P y Q comienzan desde el punto B al mismo tiempo. El punto P se mueve a lo largo de BA, AD y DC hasta el punto C y se detiene a lo largo de BC y se detiene en el punto C. Los dos puntos tienen la misma velocidad. q parte del punto B al mismo tiempo. Cuando el tiempo transcurrido es t(s), el área de △BPQ es y(cm)2 (Figura 2). Establezca un sistema de coordenadas rectangular con t e y como abscisa y ordenada respectivamente. Se sabe que cuando el punto P se mueve de A a D en el borde AD, la imagen de la función de y y t es el segmento de línea MN en la Figura 3.
(1) Encuentre las longitudes de BA y AD en el trapezoide respectivamente
(2) Escriba las coordenadas de los dos puntos M y N en la Figura 3;
(3) Escriba la relación funcional entre Y y T cuando el punto P se mueve en los lados de Pasteur y DC respectivamente (observe el rango de las variables independientes) y complete la relación funcional entre Y y X en todo el movimiento en Figura 3. Imagen aproximada.
2. Utilizar puntos de doble movimiento como vehículo para explorar cuestiones abiertas de conclusión.
El ejemplo 2 (ciudad de Taizhou, 2007) se muestra en la Figura 5, Rt△A→B→C, ∠ B = 90, ∠ Cab = 30. Las coordenadas de su vértice A son (10, 0), las coordenadas del vértice B son (5, 53) y AB=10.
(1) Encuentre el grado de garantía ∠.
(2) Cuando el punto P se mueve sobre AB, la imagen de la función entre el área s (unidad cuadrada) de △OPQ y el tiempo t (segundos) es parte de una parábola (como se muestra en la Figura 6), Encuentre la velocidad de movimiento del punto P.
(3) Encuentre la relación funcional entre el área s y el tiempo t en (2), así como las coordenadas del punto p cuando el área s toma el valor máximo.
(4) Si el punto P y Q mantienen la misma velocidad en (2), cuando el punto P se mueve a lo largo del borde AB, el tamaño de ∠OPQ aumenta con el aumento del tiempo t cuando el punto P se mueve; borde BC El tamaño de ∠ OPQ disminuye a medida que el tiempo t aumenta cuando se mueve. Cuando el punto P se mueve a lo largo de estos dos lados, ¿cuántos puntos P hay para hacer ∠ OPQ = 90? Por favor explique por qué.
Resolver (1) ∠ Bao = 60.
(2) La velocidad de movimiento del punto P es 2 unidades/segundo.
3. Utilice puntos móviles dobles como portadores para explorar los problemas existentes.
El ejemplo 3 (ciudad de Yangzhou, 2007) se muestra en la Figura 8. En el rectángulo ABCD, AD = 3 cm, AB = A cm (A > 3). Los puntos móviles M y N comienzan desde el punto B al mismo tiempo y se mueven a lo largo de B→A y B→C respectivamente con una velocidad de 1 cm/seg. Al pasar por M, una línea recta es perpendicular a AB y los puntos AN y CD se cruzan en P y Q respectivamente. Cuando el punto N llega al punto final C, el punto M deja de moverse. Sea el tiempo de movimiento t segundos.
(1) Si a = 4 cm, t = 1 segundo, entonces PM = cm
(2) Si a = 5 cm, encuentre el tiempo t para hacer △PNB∽△PAD , Encuentre su relación de similitud;
(3) Si hay un momento durante el movimiento que hace que las áreas del trapezoide PMBN y el trapezoide PQDA sean iguales, encuentre el rango de a;
(4) ¿Existe este rectángulo? ¿Hay un momento en que las áreas del trapezoide PMBN, el trapezoide PQDA y el trapezoide PQCN sean todas iguales? Si existe, encuentre el valor de a; si no existe, explique el motivo.
4. Utilice el punto de doble movimiento como portador para explorar el problema de valores extremos de funciones.
Ejemplo 4 (Provincia de Jilin en 2007) Como se muestra en la Figura 9, en el cuadrado ABCD con una longitud de lado de 82 cm, E y F son dos puntos móviles en la diagonal AC, y se mueven desde A simultáneamente Partiendo del punto C y moviéndose en diagonal a la misma velocidad de 1 cm/s, EH es perpendicular a la intersección de AC y Rt△ACD. El lado rectángulo de E está en H, sea FG en G perpendicular a AC. y Rt△ACD. El ángulo recto conecta HG y EB. ¿Sea S el área de la figura rodeada por él, EF, FG y GH? 1. ¿Cuál es el área gráfica rodeada por AE, EB y BA? 2 (aquí el área del segmento de recta es 0). E llega a C y F se detiene cuando llega a a. Si el tiempo de movimiento de E es x(s), responda las siguientes preguntas:
(1) Cuando 0
(2) ①Si Y es S? 1 y s? 2. Encuentre la relación funcional entre y y x (la Figura 10 es un diagrama de respaldo)
② Encuentre el valor máximo de y.
Solución (1) Los vértices son E, F, G, El cuadrilátero de H es un rectángulo. Como la longitud del lado del cuadrado ABCD es 82, AC=16. Si b es BO⊥AC en o, OB=89. ¿Porque AE=x,S? 2=4x, porque él=AE=x, EF=16-2x, entonces s? 1=x(16-2x), cuando s? 1=S? 2, 4x=x(16-2x), la solución es x1=0 (truncada), x2=6, entonces cuando x=6, s? 1=S? 2.
(2)①Cuando 0 ≤ x
Cuando 8≤x≤16, AE=x, CE=HE=16-x, ef = 16-2 (16- x)= 2x-16,
Entonces s? 1 =(16-x)(2x-16), entonces y =(16-x)(2x-16) 4x =-2 x2 52x-256.
②Cuando 0 ≤ x
Cuando 8≤x≤16, y =-2 x2 52x-256 =-2(x-13)2 82,
Entonces, cuando x=13, el valor máximo de y es 82.
Resumiendo, el valor máximo de y es 82.
Comentarios: Esta pregunta es un problema de valor máximo de una función creada con un doble punto móvil como portador y un cuadrado como fondo. Se requiere que los estudiantes lean la pregunta detenidamente, comprendan el significado de la pregunta, dibujen gráficas en diferentes situaciones, establezcan la relación entre la variable de tiempo y otras variables relacionadas con base en la gráfica y luego construyan una expresión funcional de área. Esta pregunta se centra en el valor máximo de la función cuadrática en los puntos de conocimiento, lo que requiere que los estudiantes tengan conocimientos básicos sólidos, métodos flexibles de resolución de problemas y buena calidad de pensamiento. Preste atención a la combinación de números y formas, discusiones sobre clasificación y aplicación flexible de modelos matemáticos en la resolución de problemas.
Cuatro: Problemas de triángulos similares causados por puntos en movimiento en funciones.
Este ejemplo se muestra en la Figura 1. Se sabe que el vértice de la parábola es A(21), pasa por el origen O y el otro punto de intersección con el eje X es b.
(1) Encuentra la fórmula analítica de la parábola (la fórmula analítica de la parábola obtenida del vértice es)
(2) Si el punto C está en el eje de simetría de la parábola, el punto D está en la parábola, el cuadrilátero con cuatro vértices O, C, D y B es un paralelogramo, encuentre las coordenadas del punto D;
⑶ Conecte OA y AB, como se muestra en Figura 2. ¿Hay un punto P en la parábola debajo del eje X tal que △OBP sea similar a △OAB? Si existe, encuentre las coordenadas del punto P; si no existe, explique el motivo.
Ejemplo 1 Mapa Temático
Figura 1
Figura 2
Análisis: 1. Cuando se dan dos vértices de un cuadrilátero, considera si las líneas que conectan los dos vértices son los lados y las diagonales del cuadrilátero. Un cuadrilátero con cuatro vértices O, C, D y B es un paralelogramo. La discusión debe dividirse en dos categorías: el lado y la diagonal de OB.
2. Generalmente existen tres soluciones para problemas de triángulos similares causados por puntos en movimiento en funciones.
① Para encontrar el tercer vértice de un triángulo similar, primero analice las características de los lados y ángulos del triángulo conocido, y luego determine si el triángulo conocido es un triángulo especial. Clasifica la discusión basándose en los lados conocidos del triángulo desconocido y los posibles lados correspondientes del triángulo conocido.
(2) O use los ángulos correspondientes en el triángulo conocido y use el teorema de Pitágoras, funciones trigonométricas, simetría, rotación y otros conocimientos para deducir el tamaño de los lados en el triángulo desconocido.
(3) Si no se dan los lados de los dos triángulos, primero establezca las coordenadas del punto a encontrar, luego use la función de resolución para representar la longitud de cada lado y luego use la similitud para resolver el sistema de ecuaciones.
Bueno