¿Una pregunta para probar el valor propio de una matriz en el examen de ingreso al posgrado?

Necesitas sumar 1/2 al lado izquierdo de la desigualdad que quieres demostrar.

Los contraejemplos son fáciles de encontrar. Sólo necesitas tomar A como una matriz diagonal de segundo orden, siendo los elementos diagonales 1 y 2 respectivamente.

Establezca a+ib = 1, es decir, a=1.

Los valores propios de A+A' son 2, 4. ¡Obviamente tus resultados son incorrectos!

Déjame demostrarte que 1/2 min u _ t

x representa un vector propio de a+ib, es decir, Ax=(a+ib)x, puedes asuma que la longitud de es 1 (si no es 1, divida ambos lados por su longitud).

De ahora en adelante, usamos b ' para representar la * * * transpuesta del yugo de una matriz/vector, que para matrices reales es la transpuesta.

Multiplica ambos lados por x' para obtener x'Ax = (a+ib).

Toma los * * * yugos de ambos lados, transpónlos para obtener x'A' = (a-ib)x ', y multiplica x hacia la derecha para obtener x'A'x = (a- ib).

Suma las dos ecuaciones anteriores para obtener a = 1/2 * x' (a+a') x.

Entonces sólo necesitas estudiar los valores máximo y mínimo de x' (a+a') X.

Algunas propiedades simples de los valores propios te dicen que el valor mínimo es min u_t y el valor máximo es max u_t.

También te lo demostraré

A+A' es lo opuesto a la matriz real, por lo que la existencia de la matriz ortogonal P hace

A +A' = PSP ', donde S el tiempo y la matriz diagonal de elementos diagonales son sus valores propios.

Y y = P'x, debido a que x es una unidad de longitud, entonces y también es una unidad de longitud.

x '(a+a ')x = x ' p s p ' x = y ' sy = u_1*|y_1|^2+...+u_n*|y_n|^2

Obviamente

& gt=maximum|y|^2=maximum