¿Cuáles son los puntos clave del examen parcial de matemáticas de octavo grado? Urgente, urgente, es mejor darse prisa.

1. Función lineal: si la relación entre dos variables xey tiene la forma y=kx b (k≠0, k, b son constantes), entonces se dice que y es una función. de x.

Nota: (1) k≠0, de lo contrario el coeficiente del término de orden más alto de la variable independiente x no es 1

(2) Cuando b=0, y=; kx, y se llama función proporcional de x.

2. Imagen: La imagen de una función lineal es una línea recta.

(1) Dos puntos especiales comunes: se cruzan con el eje y en (0, b); El eje x se cruza en (-, 0).

(2) La imagen de la función proporcional y=kx(k≠0) es una línea recta que pasa por (0, 0) y (1, k) la función lineal y=kx b(); k≠0 ) es una línea recta que pasa por (-, 0) y (0, b).

(3) De la imagen podemos saber que la recta y=kx b es paralela a la recta y=kx. Por ejemplo, la recta: y=2x 3 y la recta. y=2x-5 son ambas paralelas a la recta y=2x.

3. Propiedades de la imagen de una función lineal:

(1) La posición de la imagen en el sistema de coordenadas plano rectangular:

(2) Propiedades de aumento y disminución:

kgt; cuando 0, y aumenta a medida que x aumenta;

klt; cuando 0, y disminuye a medida que x aumenta.

4. Métodos para encontrar la expresión analítica de una función lineal

Hay tres métodos principales para encontrar la expresión analítica de una función:

Uno es la derivación a partir de funciones conocidas, como el problema de ejemplo 1;

La segunda es enumerar las ecuaciones con dos incógnitas basadas en problemas reales y luego convertirlas en expresiones analíticas funcionales, como la primera pregunta del Ejemplo 4. .

El tercero es utilizar el método del coeficiente indeterminado para encontrar la fórmula analítica de la función, como la segunda pregunta del Ejemplo 2 y el Ejemplo 7.

Los pasos son: ① Escribir una fórmula analítica que contenga coeficientes indeterminados de acuerdo con las condiciones dadas en la pregunta ② Sustituir varios pares de valores de xey o las coordenadas de varios puntos en la superficie; imagen en la fórmula analítica anterior, Obtenga una ecuación o sistema de ecuaciones con coeficientes indeterminados como incógnitas ③ Resuelva la ecuación y obtenga los valores específicos de los coeficientes indeterminados ④ Sustituya los coeficientes indeterminados calculados en la fórmula analítica requerida de la función; .

2. Preguntas de ejemplo:

Ejemplo 1. Se sabe que la relación entre las variables y e y1 es y=2y1, y la relación entre las variables y1 y x es y1=3x. 2. Encuentra la variable y Relación funcional con x.

Análisis: Se conocen dos conjuntos de relaciones funcionales, entre las cuales la variable más idéntica es y1, por lo que la relación entre y y x se puede encontrar a través de y1.

Solución: ∵ y=2y1

y1=3x 2,

∴ y=2(3x 2)=6x 4,

Es decir, la relación entre las variables y y x es: y=6x 4.

Ejemplo 2, responda las siguientes preguntas

(1) (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Gansu) Se sabe que la línea recta se cruza con el eje y en el punto A, entonces las coordenadas del punto A son ( ).

(A) (0, –3) (B) (C) (D) (0, 3)

(2) (Preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de Hangzhou) Proporcional conocido Funciones, cuando x=–3, y=6. Entonces la función proporcional debería ser ( ).

(A) (B) (C) (D)

(3) (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la ciudad de Fuzhou) La gráfica de la función lineal y=x 1, la El cuadrante que no pasa es ( ).

(A) El primer cuadrante (B) El segundo cuadrante (C) El tercer cuadrante (D) El cuarto cuadrante

Análisis y respuesta:

( 1) Las coordenadas del punto de intersección de la recta y el eje y se caracterizan porque la abscisa es 0 y la ordenada se puede obtener sustituyendo la relación funcional.

O use directamente el punto de intersección de la línea recta y el eje y como (0, b) para obtener el punto de intersección (0, 3), y la respuesta es D.

(2) La clave para encontrar la fórmula analítica es determinar el coeficiente k. En esta pregunta, se sabe que cuando x = -3, y = 6 y se sustituye en y = kx, el Se puede determinar la fórmula analítica. Respuesta D: y=-2x.

(3) De las propiedades gráficas de la función lineal y=kx b, se pueden extraer las siguientes conclusiones:

En la pregunta, y=x 1, k=1gt; 0, entonces la gráfica de la función debe pasar por el primer y tercer cuadrante; b=1gt;0, luego la línea recta y el eje y se cruzan en el semieje positivo. Puedes determinar la posición de la línea recta. , también puedes dibujar un boceto, o tomar dos puntos y dibujar un boceto para juzgar La imagen no excede el cuarto cuadrante.

Respuesta: D.

Ejemplo 3. (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Liaoning) Cierta unidad necesita un automóvil con urgencia, pero no están preparadas para comprarlo y planean firmar un contrato de alquiler mensual. un propietario de un automóvil individual o una de las compañías de taxis estatales. Supongamos que el automóvil viaja x kilómetros por mes, la tarifa mensual pagadera al propietario individual del automóvil es y1 yuan y la tarifa mensual pagadera a la compañía de taxis es y2 yuanes. Las imágenes de la relación funcional entre y1, y2 y x respectivamente (dos rayos). ) Como se muestra en la figura, responda las siguientes preguntas observando la imagen:

(1) ¿Dentro de qué rango de distancia de conducción mensual es rentable alquilar un coche en una empresa estatal?

(2) Cuando la distancia recorrida mensualmente es igual a ¿a qué, el costo de alquilar dos autos es el mismo?

(3) Si esta unidad estima que la distancia recorrida por mes es de 2.300 kilómetros, ¿qué automóvil le resulta más rentable alquilar a esta unidad?

Análisis: Dado que se dan las gráficas de dos funciones, se puede ver que una es una función lineal y la otra es una forma especial de una función proporcional de una función lineal. La abscisa de la intersección de. las dos líneas rectas son 1500, lo que indica que cuando x = 1500 Cuando, los valores de función y de las dos líneas rectas son iguales, se puede saber por la imagen que cuando xgt es 1500, y2 está por encima de y1; ; xlt; cuando 1500, y2 está por debajo de y1. Tres preguntas se responden fácilmente utilizando imágenes.

Respuesta: (1) Cuando la distancia de conducción mensual es inferior a 1.500 kilómetros, resulta rentable alquilar un coche en una empresa estatal.

[O respuesta: Cuando 0≤x<1500 (km), es rentable alquilar un coche en una empresa estatal].

(2) Cuando la distancia recorrida mensualmente es igual a 1.500 kilómetros, el coste de alquilar dos coches es el mismo.

(3) Si la distancia de conducción mensual es de 2.300 kilómetros, entonces es rentable para esta unidad alquilar un coche a un propietario individual.

Ejemplo 4. (Pregunta del examen de ingreso a la escuela secundaria de la provincia de Hebei) Una determinada fábrica tiene dos líneas de producción A y B puestas en producción una tras otra. Antes de que se pusiera en funcionamiento la línea de producción B, la línea de producción A había producido 200 toneladas de productos terminados; desde que se puso en funcionamiento la línea de producción B, las líneas de producción A y B produjeron 20 toneladas y 30 toneladas de productos terminados respectivamente cada día.

(1) Encuentre la relación funcional entre la producción total y (toneladas) de las dos líneas de producción A y B después de su puesta en operación y el tiempo x (días) desde el inicio de la producción de B y encuentre Al final de los primeros días, la producción total de las dos líneas de producción A y B es la misma;

(2) En el sistema de coordenadas rectangulares como se muestra en la figura, dibuje el ecuaciones de las dos funciones anteriores en el primer cuadrante Imagen; observe la imagen e indique qué línea de producción tiene la producción total más alta al final del día 15 y del día 25.

Análisis: (1) Primero enumere las fórmulas funcionales de y y x de acuerdo con las condiciones dadas, =20x 200, =30x, cuando =, encuentre x.

(2) Dibuja las gráficas de las dos funciones en el sistema de coordenadas rectangular dado. Según las coordenadas de los puntos, se puede ver que al final de los días 15 y 25, los valores ​. ​de las dos líneas de producción A y B El nivel de producción total.

Solución: (1) Del significado de la pregunta:

La expresión de relación funcional correspondiente para la línea de producción A es: y=20x 200,

Producción línea B La relación funcional correspondiente durante la producción es: y=30x,

Sean 20x 200=30x, y la solución es x=20, es decir, al final del día 20, la salida del Dos líneas de producción son iguales.

(2) Se puede ver en (1) que la imagen de la función de producción correspondiente a la línea de producción A debe pasar por dos puntos A (0, 200) y

B (20 , 600);

La imagen de la función de producción correspondiente a la línea de producción B debe pasar por dos puntos O (0, 0) y B (20, 600).

Entonces la imagen es como se muestra a la derecha. Se puede ver en la imagen: al final del día 15, la producción total de la línea de producción A es alta al final del día 25; , la producción total de la línea de producción B es alta.

Ejemplo 5. La línea recta y = kx b es paralela a la línea recta y = 5-4x y se cruza con la línea recta y = -3 (x-6). El punto de intersección está en el eje y. línea recta.

Análisis: La posición de la recta y=kx b está determinada por los coeficientes k y b: k determina la dirección y b determina la intersección con el eje y. Si las dos rectas son. paralelo, entonces el primer grado de la expresión analítica Los coeficientes k de los términos son iguales. Por ejemplo, y=2x, y=2x 3 imágenes son paralelas.

Solución: ∵ y=kx b es paralelo a y=5-4x,

∴ k=-4,

∵ y=kx by y = -3(x-6)=-3x 18 se cruza en el eje y,

∴ b=18,

∴ y=-4x 18.

Explicación: La posición de la gráfica de una función lineal y=kx b está determinada por los coeficientes k y b: k determina la dirección y b determina el punto, es decir, la gráfica de la función es paralela a la línea recta y = kx, que pasa por el punto (0, b), y viceversa, es decir, k está determinado por la dirección del gráfico de funciones y b está determinado por la intersección con el eje y.

Ejemplo 6. La línea recta cruza el eje x en el punto A (-4, 0) y cruza el eje y en el punto B. Si la distancia desde el punto B al eje x es 2, encuentre la fórmula analítica de la línea recta .

Solución: ∵ La distancia del punto B al eje x es 2,

∴ Las coordenadas del punto B son (0, ±2),

Supongamos que la recta La fórmula analítica es y=kx±2,

∵ La recta pasa por el punto A (-4, 0),

∴ 0=-4k± 2,

La solución es: k=±,

La fórmula analítica de la recta ∴ AB es y= x 2 o y=- x-2.

Explicación: Este ejemplo parece muy simple, pero en realidad implica muchos procesos de razonamiento, y estos razonamientos son necesarios para encontrar la expresión analítica de una función lineal.

(1) La función de la imagen es una línea recta y es una función lineal

(2) La línea recta y el eje y se cruzan en el punto B, entonces; punto B (0, yB);

p>

(3) La distancia del punto B al eje x es 2, entonces |yB|=2;

(4) La ordenada del punto B es igual al término constante de la fórmula analítica de la recta, es decir, b= yB;

(5) Dada la ordenada yB del punto de intersección de la línea recta y el eje y, podemos establecer y=kx yB;

Lo siguiente solo necesita determinar k.

3. Mejora y pensamiento

Ejemplo 1. Se sabe que la ordenada de la intersección de la gráfica de la función lineal y1=(n-2)x n y el eje y es -1, determine qué función es y2=(3-)xn 2, escriba las expresiones analíticas de las dos funciones, y señale la posición y el aumento y disminución de las dos funciones en el sistema de coordenadas rectangular.

Solución: Según el significado de la pregunta,

La solución es n=-1,

∴ y1=-3x-1,

y2=(3- )x, y2 es una función proporcional;

La imagen de y1=-3x-1 pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante, y y1 disminuye a medida que x aumenta;

La imagen de y1=-3x-1 pasa por el segundo, tercer y cuarto cuadrante, y y1 disminuye a medida que x aumenta;

La imagen de y2= (3-)x pasa por el primer y tercer cuadrante, y y2 aumenta con el aumento de x.

Explicación: Dado que la fórmula analítica de una función lineal contiene un coeficiente n indeterminado, la clave para encontrar la fórmula analítica es construir una ecuación sobre n. Esta pregunta utiliza "El término constante de la fórmula analítica de. una función lineal es la imagen y la "ordenada de intersección" del eje y para construir la ecuación.

Ejemplo 2. Se sabe que la gráfica de una función lineal corta el eje x en A (-6, 0), corta la gráfica de la función proporcional en el punto B, y el punto B está en el tercer cuadrante, su abscisa es -2, y el área de △AOB Para 6 unidades cuadradas, encuentra las expresiones analíticas de la función proporcional y la función lineal.

Análisis: El boceto autodibujado es el siguiente:

Solución: Supongamos la función proporcional y=kx,

La función lineal y=ax b,

∵ El punto B está en el tercer cuadrante y la abscisa es -2,

Supongamos B (-2, yB), donde yBlt 0,